Trouver V angle de deux plans

Il est un cas où l'on a immédiatement l'angle des deux plans, Fig. 58. c'est lorsque ces plans

sont tous deux perpendiculaires à l'un des plans de projection. Soient les deux plans ABC, DEP (fig. 58), tous deux perpendiculaires au plan vertical; les angles dièdres formés par ces plans sont mesurés par les angles de leurs traces verticales BG, EF.

Fig- S9. Considérons mainte-

\k nant deux plans quelcon-

léi/fc ques ABC, DEF (fig. 59),

Nous les couperons par un plan perpendiculaire à leur intersection ; ce plan >Pjra sa trace horizontale cd perpendiculaire à la projection horizontale ab de l'interscclion; désignons par la lettre 0 le point où il coupe cette droite ; les angles dièdres des deux plans donnés sont mesurés par les angles que forment entre elles les droites Oc, Od suivant lesquelles ces plans sont coupés par le plan perpendiculaire. Pour avoir ces angles, nous rabattrons le plan auxiliaire sur le plan horizontal, en le faisant tourner autour de sa trace horizontale cd. Le point 0 de l'intersection des deux plans à sa projection horizontale sur la projection horizontale ab de celle droite; la droite ab élant perpendiculaire au point f à la droite cd, il en résulte que la droite fO est aussi |>erpendiculairc à la

droite cd; elle se rabat donc dans la direction fa. Pour avoir la longueur de la droite /O, nous remarquerons que cette droite est perpendiculaire à la ligne d'intersection des deux plans, comme étant située dans un plan perpendiculaire à cette ligne , et nous rabattrons le plan abb' qui la contient sur le plan vertical, en le faisant tourner autour de sa trace verticale bb'. Le point a vient en a* sur la ligne de terre à une distance du point b égale à ba; de môme le point f vient en /"„; la droite d'intersection se rabat en en b'a 2 ; quant à la droite /O, elle se rabat suivant une perpendiculaire /j0 2 , menée du point f a à la droite &'a 2 ; on a donc une longueur f 2 0 2 . Nous avons dit que, dans le premier rabattement, la droite fO prend la direction fa ; si donc on porte à partir du point /"dans cette direction une longueur fO t égale à f 2 0 2 , on obtient le rabattement O» du point O; les droites cO,, dO l sont les rabattements des droites cO, dO, suivant lesquelles les plans proposés sont coupés par le plan perpendiculaire, et les angles qu'elles forment entre elles mesurent les angles dièdres de ces plans ; l'un d'eux est l'angle cOjd, l'autre l'angle supplémentaire.

49. Proposons-nous de mener les plans bissecleurs des angles dièdres formés par les plans proposés. On remarquera que ces plans passent par la droite d'intersection des plans proposés, et que les droites suivant lesquelles ils sont coupés par le plan perpendiculaire sont les bisseclrices des angles formés par les droites d'intersection du plan auxiliaire avec les plans proposés. Après avoir rabattu le plan perpendiculaire et les droites d'intersection comme nous l'avons expliqué, on mènera les bissectrices des angles de ces droites, et on aura ainsi une droite située dans chacun des plans bissecleurs; comme d'ailleurs ces plans contiennent la droite d'intersection des plans donnés, chacun d'eux sera déterminé.

Menons, par exemple, la bissectrice O t g de l'angle cOrf; quand on relève le plan auxiliaire, cette droite tourne autour du point g, qui est sa trace horizontale, pour prendre la position #0 dans l'espace; le plan bissecteur mené par cette droite #0 a pour

trace horizontale la droite qui passe parla trace g de la droite #0 et la trace a de la droite d'intersection des deux plans; il a pour trace verticale Hb'.

oO. Examinons le cas où les deux plans ABC, DBF coupent la ligne de terre en un même point B (fig. 60). On peut rame-

est rabattu sur le plan horizontal comme le premier. Les traces d'un plan quelconque sur les deux plans verticaux parallèles sont parallèles, et quand on rabat les plans sur le plan horizontal, en les faisant tourner autour des droites parallèles LT, L,Ti, elles restent parallèles. Ainsi, le plan ABC aura pour nouvelle trace verticale la droite aCj parallèle à BC, et de même le plan DBF aura pour nouvelle trace verticale la droite pF 4 parai* lèle à BF. On est ainsi ramené au cas précèdent.

81. Nous avons résolu un certain nombre de questions sur la ligne droite et le plan ; il arrive souvent qu'une construction indiquée ne peut être effectuée, parce que deux lignes dont on a à prendre l'intersection ne se rencontrent pas dans les limites de l'épure. On remédie à cet inconvénient en déplaçant l'un des

Cas particulier.

Fig. 60.

ner ce cas au précédent en changeant l'un des plans de projection. Concevons, par exemple , que l'on prenne un nouveau plan vertical de projection parallèle au premier et coupant le plan horizontal suivant la droite L/Ti parallèle à LT; dans l'épure, on imaginera que ce nouveau plan de projection

Hemarque sur les constructions précédentes.

fil. ci-

plans de projeclion. Il suffira ordinairement d'avancer ou de reculer le plan vertical, en laissant fixe le plan horizontal, ou bien, au contraire, d'élever ou d'abaisser le plan horizontal, en laissant fixe le plan vertical. On imagine que le plan de l'épure coïncide, dans le premier cas avec le plan horizontal, dans le second cas avec le plan vertical.

Supposons, par exemple, que l'on cherche le point d'intersection de la droite (ab t a'b') et du plan AaB (fig. 61). La trace

verticale du plan qui projette la droite sur le plan horizontal ne rencontre pas la trace verticale ah du plan donné dans les limites de l'épure, et de même la trace horizontale du plan qui projette la droite sur le plan vertical ne rencontre pas la trace horizontale «A du plan donné dans les limites de l'épure. La construction que l'on effectue d'ordinaire* ne peut pas être appliquée immédiatement. Mais, si l'on déplace l'un des plans de projection, la difficulté disparaît.

Élevons le plan horizontal, en laissant fixe le plan vertical, et soit LiTt la nouvelle ligne de terre; nous prenons pour plan de l'épure le plan vertical , qui est fixe. Le plan proposé a pour nouvelle trace horizontale la droite «,Aj parallèle à «A; la droite proposée a toujours pour projection verticale a'b' ; .sa nouvelle projection horizontale est parallèle à l'ancienne; pour la trouver, nous prendrons un point quelconque G de cette droite; la projection verticale de ce point est toujours c', et, comme le point G est à une distance du plan vertical égale à yc, on obtiendra la nouvelle projection horizontale c x , en prenant égale à yc; on obtient donc la nouvelle projection horizontale de la

droite en menant par le point c % la droite da, parallèle à ca. On appliquera maintenant la construction ordinaire; on cherchera l'intersection {Ud iy f'd') du plan A^Bavecle plan f'd'd l9 qui projette la droite donnée sur le plan vertical; le point (m lt m'), où celte droite d'intersection rencontre la droite donnée, est le point demandé; par rapport aux plans primitifs, les projections de ce point sont (m, m').

Problème XVI.