Trouver la plus courte distance de deux droites

On sait que la plus courte distance de deux droites AB, CD est

la perpendiculaire commune à ces deux droites (Théorie, liv. V, th. 28). Pour construire cette perpendiculaire commune en géométrie descriptive, il est commode d'opérer de la manière suivante : parla droite AB (fig. 62) on mène un plan PQR parallèle à la droite CD ; d'un point quelconque G de la droite CD on abaisse une perpendiculaire GH sur le plan PQR ; par le pied H de cette perpendiculaire on mène une droite HK parallèle à CD ; cette parallèle, contenue dans le plan PQR, rencontre la droite AB en un point K ; parce point on mène une droite KL parallèle à GH ; cette droite KL, contenue dans le plan CGH, rencontre la droite CD en un point L. La droite KL étant parallèle à GH, est perpendiculaire au plan PQR, et par conséquent pendiculaire aux deux droites AB, KH situées dans ce plan, et aussi à la droite CD parallèle à KH ; c'est donc la perpendiculaire commune demandée.

Voici comment on effectue ces constructions : les droites AB, CD sont définies par leurs projections (ab, a'6'), (crf, c'd') (fig. 14, planche III). Par un point de la droite AB, par sa trace verticale b' y par exemple, on mène une droite (6/*, Vf) parallèle à DC, et on construit les traces du plan PQR, qui contient les deux droites (a&, a'b% (bf, b'f) ; par un point quelconque

(£• <f) de la droite CD on mène une perpendiculaire au plan PQR, et on détermine le point (/i, h!) où cette droite perce le plan. Si on demandait seulement la longueur de la perpendiculaire commune, il suffirait de déterminer la distance des points 07> i fl * 'O» car l cs parallèles GH, LK sont égales.

Si l'on veut en outre les projections de la perpendiculaire commune, on mènera du point (/», h') une parallèle à la droite CD, et on cherchera le point (A-, A') où cette parallèle rencontre la droite AB ; de ce point (A, A') on mène une parallèle à la droite GH, et on cherche le point (/, /') où cette parallèle rencontre la droite CD. La droite (Af, k'I') est la perpendiculaire commune aux deux droites données ; et sa longueur K,L, mesure la plus courte distance des deux droites.

Fig. 63.

Cas particuliers.

#5. La construction se simplifie beaucoup quand Tune des droites est perpendiculaire à l'un des plans de projection. Si la

première droite est perpendiculaire au plan horizontal, elle a pour projection horizontale un point a, et pour projection verticale une droite a'b' perpendiculaire à la ligne de terre (fig. 63). La perpendiculaire commune est horizontale ; l'angle droit qu'elle fait avec la seconde droite se projette sur le plan horizontal suivant un angle droit (n° Ai). Pour avoir la projection horizontale de la perpendiculaire commune, il suffit donc de mener par le point a une perpendiculaire al à la projection horizontale cd de la seconde droite; on en déduit facilement la projection verticale l'k' qui est parallèle à la ligne de terre. Cette perpendiculaire commune se projette d'ailleurs en vraie grandeur sur le plan horizontal.

54. Considérons encore le cas où les projections des deux droites données sur l'un des plans de projection sont parallèles. F '8- 64 - Supposons, par exemple, que les pro-

jections horizontales ab, ci des deux droites soient parallèles (fig. 64); le plan vertical mené par la droite AB est parallèle à la seconde droite ; si donc d'un point {g, g') de la seconde droite T on mène une perpendiculaire (gh , g'Iï) à ce plan, cette droite, qui est horizontale, se projette en vraie grandeur sur le plan horizontal, et gh est la plus courte distance des deux droites données. Pour obtenir les projections kl, kT de la perpendiculaire commune, on achèvera la construction ordinaire.