DES METHODES EN GEOMETRIE DESCRIPTIVE

Rabattements.

55. Rabattre un plan P sur un plan H, c'est faire tourner le plan P autour de la droite d'intersection MN des deux plans Fig.c... pour l'appliquer sur le plan H

(fig. 65). Quand le plan P est rabattu sur le plan H, un point A du plan P vient en A, sur le plan H, et, en général, toute figure ABC... située dans le plan P se place en AiBjC,....

sur le plan H. Si ensuite on relève le plan en le faisant encore tourner autour de la droite MN, pour le ramener à sa position primitive, le point A, revient en A, et la figure A^C,...

reprend sa posilion primitive ABC...

Pour déterminer les véritables dimensions d'une figure plane dont on connaît les projections, il suffit de rabattre le plan qui la contient sur l'un des plans de projection; le plan une fois rabattu, on pourra effectuer les constructions nécessaires pour déterminer de nouvelles parties de la figure; en relevant ensuite le plan, on en déterminerait les projections. C'est ainsi que nous avons opéré pour trouver la distance de deux points donnés par leurs projections (21), et pour porter une longueur donnée à partir d'un point donné sur une droite définie par ses projections (22); nous avons rabattu sur le plan horizontal un plan mené par la droite perpendiculairement au plan horizontal. C'est encore de celte manière que nous avons déterminé l'angle de deux droites (43) ; nous avons rabattu le plan de ces deux droites sur le plan horizontal. Mais il est bon de reprendre en détail les opérations nécessaires pour effectuer un rabattement.

Fij. 66.

36. Quand on veut rabattre un plan ABC sur le plan horizontal, en le faisant tourner autour de sa trace horizontale AB, il est avantageux de construire d'abord le rabattement de la trace

verticale BG (flg.66). Soit p' un point de cetle trace ; menons du point p' une perpendiculaire p'p à la ligne de la terre, et du point p une perpendiculaire pq à la trace horizontale AB du plan. La droite qui joint le point q au point p' reste perpendiculaire à l'axe de rotation AB, et se rabat sur qp\, prolongement de pq ; le point B reste immobile ; la longueur Bp' ne varie pas ; si donc du point B comme centre, avec un rayou égal à B/>', on décrit un arc de cercle, le point p' { , où cet arc coupe la droite qp' u est le point où se place le point p', de sorte que la droite B;/,C, est le rabattement de la trace verticale du plan.

On peut encore obtenir le point p\ d'une autre manière. Si l'on construit le triangle rectangle qpp\ y dont les côtés de l'angle droit sont pq et pp^ on obtient la longueur qp\ de la droite qui joint le point q au points'; en portant celte longueur sur le prolongement de pq en qp\, on a le point p' it et par suite le rabattement BC, de la trace verticale du plan.

Une fois qu'on a construit le rabattement de la trace verticale du plan, on peut s'en servir pour toutes les constructions ultérieures. Considérons d'abord une droite (ab, a'b') située dans le plan ; sa trace horizontale a reste immobile; en prenant sur BCj une longueur Bb\ égale à W, on a le point b\ où se place la trace verticale b' ; le rabattement de la droite est ab\. Comme vérification, on peut remarquer que la droite bb\ doit être perpendiculaire à AB.

GÉOM. DESCR. 4

On reconnaît qu'un point M est situé dans le plan ABC lorsqu'il est sur une droite (ab, a'b') contenue dans ce plan; nous avons construit le rabattement ab\ de cette droite; menons du point m une perpendiculaire mh à AB; la droite M/t, qui est perpendiculaire à AB, reste perpendiculaire à celte droite et se place sur le prolongement de mh ; le point M vient en M t à l'intersection des droites ab\ et mh.

Quand on a à considérer un grand nombre de points situés dans le plan ABC, au lieu de mener par ebacun d'eux une droite quelconque située dans le plan, il est préférable de se servir des horizontales du plan. Soient me, m'e' les projections de la parallèle menée par le point M à la trace horizontale du plan; cette droite reste parallèle à l'axe de rotation ; si donc sur BC! on prend une longueur Bc' t égale à Bc', et si par le point c\ on mène une droite c'jM, parallèle à AB, on aura le rabattement de la droite (me, m'c'). Le point M, sera donné par l'intersection de cette parallèle et de la perpendiculaire mh prolongée.

87. Réciproquement, soit ABC, le rabattement du plan ABC sur le plan horizontal ; dans le plan rabattu traçons une droite quelconque ab\, et cherchons les projections de cette droite quand on ramène le plan à sa première position en le faisant tourner autour de la droite AB. Le point a qui est sur Taxe reste immobile; c'est la trace horizontale de la droite. Le point b\ se place en b' sur la trace verticale BG du plan , à une dislance Bb' égale àB&\; le point b' est la trace verticale de la droite, dont les projections sont ainsi ab, a'b'.

De même, soit un point M, quelconque dans le plan rabattu; pour déterminer la position de ce point quand le plan est ramené à sa position primitive, menons par le point M, une droite arbitraire ab\ dont nous construirons, comme nous l'avons dit, les projections ab, a'b'. La perpendiculaire M,/t abaissée du point M t sur l'axe AB reste perpendiculaire à cet axe, et sa projection horizontale est le prolongement de M,/*; la projection horizontale m du point M est à l'intersection des droites ab et M t /i; on en déduit la projection verticale m'.

Si l'on donne plusieurs points dans le plan ABC, , au lieu de

mener par chacun d'eux une droite arbitraire, il sera préférable de mener des parallèles à h droite AB. Soit }A l c\ la parallèle menée par le point M, , celte droite reste parallèle à la trace horizontale du plan; en prenant surBG une longueur Bc' égale à Bc', , on a sa trace verticale c' ; sa projection verticale c'm' est parallèle à la ligne de terre; sa projection horizontale cm est parallèle à AB. La projeclion horizontale m du point M est à l'intersection des droites cm et M,/i.

Des rotations.

i>8. Les constructions à effectuer pour résoudre un problème deviennent souvent très-simples lorsque la figure occupe une position particulière par rapport aux plans de projection; il est donc très-avantageux de pouvoir déplacer la figure; on y parvient quelquefois en la faisant tourner autour d'un axe perpendiculaire à l'un des plans de projection.

Supposons d'abord que l'on fasse tourner la figure d'un certain angle autour d'un axe perpendiculaire au plan horizontal ; chaque point décrit un arc de cercle , dont le centre est le pied de la perpendiculaire abaissée du point sur l'axe, et dont le plan est perpendiculaire à l'axe ; cet arc de cercle, étant dans un plan horizontal, se projette en vraie grandeur sur le plan horizontal, et suivant une parallèle à la ligne de terre sur le plan vertical.

Soit o la projection horizontale del'axe, et oV sa projection verticale (fig. 67); la perpendiculaire abaissée d'un point (m, m') sur l'axe a pour projection horizontale mo } et pour projection verticale une parallèle m'e' à la ligne de terre.

L'arc décrit par le point M se projette sur le plan horizontal suivant un arc de cercle wwn, décrit du point o comme centre avec om pour rayon, et tel que l'angle mom A soit égal à l'angle de rotation a ; ce même arc se projette sur le plan vertical suivant une pa-

Fig. 67.

rallèle w!m\ à la ligne de terre. Après la rotation, le point M a pour projections m l9 m\.

89. On déterminera la nouvelle position d'une droite à l'aide

Fig 68. Fig. 69.

de deux de ses points. Lorsque la droite rencontre Taxe (fig. 68), le point de rencontre c' reste immobile, et la droite décrit une surface conique; il suffit alors de considérer un second point, F ig. 7o. par exemple sa trace horizon'ale a.

Lorsque la droite est parallèle à l'axe, elle décrit un cylindre; il suffit alors de considérer sa trace horizontale (fig. 69). Enfin, quand la droite n'est pas dans un môme plan avec l'axe, elle décrit une surface à laquelle on a donné le nomd'hyperboloïdc de révolution.

Soient (ab, a'b') (fig. 70) les projections de la droite dans le cas général ; la perpendiculaire commune à l'axe et à la droite se projette en vraie grandeur sur le plan horizontal, suivant une perpendiculaire oa abaissée du point o sur la projection horizontale ab, et sur le plan vertical suivant une parallèle de' à la ligne de terre. Après la rota'ion, le point (o, a!) Yient en (ch, a\)\ la projection horizontale de la droite reste tan-

gente au cercle décrit par le point a„ et vient en ; on obtiendra la nouvelle position d'un second point delà droite, celle de la trace horizontale b y par exemple, en décrivant un arc de cercle du point o comme centre avec ob pour rayon, et on en déduira la nouvelle projection verticale b\a\ de la droite.

60. Pour déterminer la nouvelle position d'un plan ABC, il suffira de considérer deux droites situées dans ce plan. On prendra de préférence deux horizontales du plan , par exemple la trace horizontale AB et l'horizontale (ob f c'b') qui rencontre l'axe. La trace horizontale AB (fig. 71), comme nous l'avons vu ,

Pi g . 7i. reste tangente au cercle dé-

crit du point o comme centre, avec un rayon égal à la perpendiculaire oa abaissée du point o sur cette droite , et vient en A^; la seconde droite restant pendant la rotation parallèle à AB, sa nouvelle projection horizontale obi est parallèle à A^; sa projection verticale étant toujours b'c\ sa nouvelle trace verticale est d\ . En joignant le point A, au point d\, on obtient la nouvelle trace verticale du plan.

Lorsque le plan donné est vertical, comme il reste vertical pendant la rotation, il suffit de déterminer la nouvelle position de sa trace horizontale.

61. Appliquons ce procédé à la recherche de la distance de deux points. Lorsque la droite qui joint les deux points est parallèle au plan vertical, elle se projette sur ce plan en vraie grandeur; si la droite occupe une position quelconque dans l'espace, on la fera tourner autour d'un axe vertical jusqu'à ce qu'elle devienne parallèle au plan vertical de projection.

Soient (a, a') (6, b') les projections des deux points donnés (fig. 72) ; faisons tourner la droite AB autour de la verticale

menée par le point A, jusqu'à ce qu'elle devienne parallèle au plan vertical de projection. Le point Arcste immobile; la projection horizontale ab de la droite tourne autour du point a et vient se placer sur une parallèle ab t à la ligne de terre; le point B se projette alors en b ly b\. Dans celte nouvelle position, la droite se projette en vraie grandeur sur le plan vertical suivant a'b\.

Si l'on veut porter sur la droite AB, à partir du point A, une longueur donnée, on fera tourner la droite autour de la verticale menée par le point A, pour la rendre parallèle au plan vertical de

projection, et l'on déterminera sa nouvelle projection verticale à l'aide d'un secondpointquclconque(6,6') pris sur celte droite; sur cette projection verticale on portera une longueur a'c\ égale à la longueur donnée; ramenant ensuite la droite à sa position primitive, on aura les projections (c, <f) du point cherché.

62. Gomme second exemple, cherchons les points d'intersection d'une sphère et d'une droite donnée (ab, ab'). Soit (o, o') le centre de la sphère (fig. 73) ; le grand cercle horizontal se projette sur le plan horizontal suivant un cercle

Fig. 73.

décrit du point o comme centre, avec un rayon oc égal au rayon de la sphère ; de môme le grand cercle parallèle au plan vertical se projette sur le plan vertical suivant un cercle égal décrit du point o' comme centre. La sphère étant comprise dans le cylindre vertical qui la louche suivant la circonférence du grand cercle horizontal, tout point de sa surface se projette sur le plan horizontal à l'intérieur du cercle oc ; on verrait de môme que la surface de la sphère se projette sur le plan vertical à l'intérieur du cercle oV.

Faisons tourner toute la figure autour de Taxe vertical passant par le centre de la sphère, jusqu'à ce que la droite donnée devienne parallèle au plan vertical de projection, et soient a,^ , a\b\ les nouvelles projections de la droite. Dans ce. mouvement de rotation, la sphère coïncide toujours avec elle-même. Le plan vertical mené par la droite coupe la sphère suivant un cercle qui, après la rotation, se projette en vraie grandeur sur le plan vertical ; le centre de ce cercle est situé sur une droite menée par le centre de la sphère perpendiculairement au plan sécant ; cette droite est ici perpendiculaire au plan vertical de projection, et par conséquent le centre du cercle se projette en o' sur ce plan. Le diamètre horizontal de ce cercle, étant une corde du grand cercle horizontal, se projette en vraie grandeur sur le plan horizontal suivant Si donc du point o' comme centre, avec un rayon égal à la moitié de /",</,, on décrit un cercle , on aura la projection verticale du cercle d'intersection de la sphère et du plan vertical mené par la droite.

Les deux points 7n\, n\, où la projection verticale a\b\ de la droite rencontre la projection verticale du cercle, sont les projections verticales des points où la droite perce la surface de la sphère ; on en déduit les projections horizontales m, , n\ de ces mêmes points. Par une rotation en sens contraire de la première, on ramènera ensuite la sphère et la droite à leur première position, et on déterminera les projections (m, m'), (n, n') des points d'intersection.