Trouver l'intersection de deux polyèdres

Pour déterminer l'intersection de deux polyèdres P, P', on considère une face A du premier polyèdre et une face A' du second, et l'on construit la droite d'interseclion des plans de ces deux faces; si cette droite n'a aucune partie à la fois dans les deux faces A et A', elle n'appartient pas à la ligne d'intersection ; mais si une portion ab de cette ligne est située à la fois dans les faces A et A', cette portion de droite ab est un élément de

la ligne d'intersection. Le point b appartient à une arête de la face A ou à une arête de la face A'; supposons qu'il appartienne à une arête de la face A'; pour trouver l'élément suivant de la ligne d'intersection, on prendra l'intersection de la face A du polyèdre P et de la face B' du polyèdre P' qui a avec la face A' une arête commune passant par le point b\ la portion bc située à la fois dans les faces A et B' est le second élément de la ligne d'intersection. Si le point c appartient à une arête de la face B' t on obtiendra l'élément suivant en prenant l'intersection de la face A du premier polyèdre et de la face du second polyèdre qui a avec la face B' une arête commune passant par le point c ; si au contraire le point c appartient à une arête de la face A, on prendra l'intersection de la face B' du second polyèdre et de la face du premier polyèdre qui a avec la face A une arête commune passant par le point c. En continuant ainsi, on reviendra nécessairement au point a, après avoir décrit une ligne polygonale fermée abc... a. La ligne d'intersection des deux polyèdres peut comprendre une ou plusieurs lignes fermées , telles que abc. ...a.

92. Appliquons celte méthode à la recherche de la ligne d'intersection d'un prisme droit dont la base abede repose sur le plan horizontal, et d'une pyramide triangulaire ayant pour base le triangle qrs situé dans le plan horizontal, cl pour sommet le point (0,0'). (Fig. 15, pl. III.)

On voit ici, à la seule inspection de la figure, que les faces latfrales ab et cd du prisme, ne rencontrent pas la pyramide, et que la ligne d'intersection se compose de deux lignes distinctes, savoir une ligne plane située dans la face latérale bc, et une ligne gauche située dans les faces latérales ae et ed. La ligne plane située dans la face bc du prisme, est le triangle (fgh, fg'h'), dont on obtient les projections sans difficulté. Cherchons maintenant la ligne gauche; la face latérale ac du prisme coupe la face (oqr, o'q'r') de la pyramide suivant une droite dont la partie kl, k'l\ située à la fois dans les faces des deux polyèdres, est un élément de la ligne d'intersection. Le

point (/, l') appartenant à l'arête (oq, o'q') de la pyramide, pour avoir l'élément suivant, on prendra l'intersection de la même face ae du prisme et de la face (oqs, o'q' s'} de la pyramide ; les plans de ces faces se coupent suivant la droite (It, IV); la partie (le, l'm') située dans les deux faces, est le second élément de la ligne d'intersection. Le point (e , m') appartenant à l'arête verticale e du prisme, pour avoir l'élément suivant, on prendra l'intersection de la face (oqs, o'q's') de la pyramide et de la face ed du prisme; la portion (en, ra'n'), située dans ces deux faces, est le troisième élément de la ligne cherchée. Le point (n, n') étant sur l'arête (os, o's') de la pyramide, nous prendrons maintenant l'intersection de la face ed du prisme et de la face (osr, o's'r') de la pyramide; les plans de ces faces se coupent suivant la droite (nu, n'u') ; la portion (ne, n'p') située dans les deux faces considérées, est le quatrième élément de la ligne cherchée. Enfin le point (e, p') étant sur l'arête e du prisme, on prendra l'intersection de la face (osr, o's'r') de la pyramide et la face ea du prisme, ce qui donne l'élément (ek, p'k'); on revient ainsi au point de départ (k, k') et l'opération est terminée.

95. Cherchons ce que devient la ligne d'intersection lorsqu'on développe la surface de l'un des deux polyèdres sur un plan.

Si on fend le prisme suivant l'arête latérale c, et si on applique la surface développée sur le plan vertical , les faces latérales cb, ba, ae, ed du prisme se placeront en c'0iBC,&ia,AB, etc. On obtiendra la position N du point (n, n') situé dans la face de, en portant sur la ligne de terre, à partir du point c x , une longueur dni égale à cdn et prenant sur une perpendiculaire à la ligne de terre n t N égale à vn'. En opérant de même pour chacun des sommets de la ligne'd'intersection, on aura sur le développement les deux lignes FGH, KLMNP.

Ouvrons maintenant la pyramide suivant l'arête oq, o'q', et développons la surface latérale sur le plan vertical, en plaçant l'arête oq, (o'q') sur o'q! ; le triangle (oqr, o'q'r') s'applique sur le triangle o'qo\ que l'on construit après avoir déterminé les

GÉOM. DESC. 6

longueurs des trois côtés. De môme les triangles (ors, oW), (osq, o's'q') s'appliquent sur les triangles o'r^,, o's x q u et la surface latérale de la pyramide se développe suivant le secteur polygonal o'qxTxSfa. Pour obtenir la position N t du point (n, ri) situé sur l'arête (os, oY), il suffit de prendre sur o's iy à partir du point o', une longueur 0% égale à la distance des points (0, 0'), (n,n'). On déterminera ainsi les deux points où chacun des éléments de la ligne d'intersection, prolongé si cela est nécessaire, rencontrent les arêtes de la face de la pyramide da ns laquelle il est situé, et l'on aura, sur le développement de la pyramide, les deux lignes G1F1H ,G„ L»KiP,N|lt,U.

Problème XIV.