rr— l-W-H l-H-H-l

cotes 48 m ,67 et 5l m ,48 dont la distance horizontale est 53 m , l;i distance du point 48,67 au point qui a pour cote le nombre en-

lier 49, est 56 >< 51 ^—48 67 ~ 6m ' 2 et Ia lon S ueur de chaque

division de l'échelle de pente est 56X ; , , 0 1 , /?ft = 19 m > 9.

i 1 1. L'échelle de pente une fois construite, on peut s'en servir pour résoudre immédiatement ce double problème : Connaissant la cote d'un point situé sur une droite donnèe y trouver la projection de ce point, et vice versa.

Supposons l'échelle de pente de la droite construite (jig. 92);

Fig. 92.

on demande, par exemple, la projection m du point qui a poil^ cote 50 m ,34. Ce point m est entre les points 50 et 51, à une àis& tance du point 50 qui est les 0,34 d'une division de l'échelle de pente; sur la division qui a été partagée en 10 parties égales, prenez avec un compas une longueur qui comprend 3 de ces petites divisions, plus une fraction 0,4 de division que l'on évalue à vue d'œil; portez cetle longueur sur la droite à partir du point 50 du côté de 51, vous aurez le point demandé. Inversement, étant donnée la projection m d'un point de la géom desc 7

M GEOMÉTRJE DESCRIPTIVE.

droite, trouver sa cote. On voit d'abord qu'elle est égale à 50 m , plus une fraction de mètre; on évalue celte fraction en prenant avec un compas la distance du point 50 au point m, et la portant sur la division de l'échelle partagée en 10 parties égales. On trouve 3 divisions, plus environ 0,4 de division ; la cote du point est donc 50 m ,34.

Problème V.

112. Trouver l'inclinaison d'un chemin tracé sur un plan coté. Soit a b c d f un chemin tracé sur un plan coté (fig. 93).

our trouver l'inclinaison du chemin entre les deux points t B situés sur les courbes de niveau 80 et 75, que l'on supose assez rapprochées pour que le chemin puisse être regardé comme sensiblement rectiiigne dans cet intervalle, il suffit de construire un triangle rectangle BÀ'A, dans lequel le côté de l'angle droit A'B est égal à ab, et l'autre côté AA' à 5 mètres. L'angle ABA' est l'inclinaison du chemin. La pente du chemin entre les mômes points est le quotient de 5 par la longueur ab-

PLANS COTÉS

Manière de représenter un plan.

' U3. Un plan est déterminé lorsqu'on donne deux droites

conque, sur un plan coté, par les projections et les échelles de pente de deux droites situées dans ce plan.

Telles sont ( fig. 94) les droites ab et cd, projections de AB et de CD. Si l'on joint les points 0-0, l-i, 2-2,...

des droites ab et cd, on obtiennes horizontales du plan j« qui ont pour cotes 0, 1,

7 2, ces projections sont parallèles et équidistanles et

8 peuvent être prises pour représenter le plan sur le pa-

Fig. 94.

pier; celle qui a pour cote 0 est la trace du plan sur le plan horizontal de projection.

Outre l'avantage de montrer aux yeux d'une manière trèsexpressive la position du plan, ces parallèles permettent encore de trouver immédiatement la pente d'une droite située dans le plan, quand on connaît la projection- de cette droite. Soit, en effet, ab la projection d'une droite AB située dans le plan, p et q les points où elle rencontre les projections des horizontales 3 et 4, on obtient la pente dç la droite en divisant la différence de niveau des points P et 0, c'est-à-dire 1», par la distance horizontale pq de ces points.

114. Il suit de là que, si par le point m da plan on mène dans ce plan une droite quelconque ayant pour projection mû r l* la pente de cette droite est d'autant plus grande que la portion pg, comprise entre deux horizontales consécutives, est plus

uigi

petite; 2° de toute» les lignes que l ; on peut mener par le point m dans le plan, celle qui a la plus grande pente est celle dont la projection mf est perpendiculaire aux projeclions des horizontales du plan. On a démontré- (n* 10) que, dans l'espace, cette ligne de plus grande pente est elle-même perpendiculaire aux horizontales du plan.

Étant donnée la projection de la ligne de plus grande pente d'un plan et .son échelle de pente, il suffit, pour tracer les projections des horizontales équidistantes du plan, de mener par les points de division de la ligne de plus grande pente des perpendiculaires à cette ligne. Il y a un grand avantage à représenter un plan sur Un plan coté par la projection de la ligne de plus grande pente, avec son échelle de pente. Cette échelle porte elle-même le nom d'échelle du plan, et pour la distinguer des échelles des droites, on la construit sur deux droites voisines et parallèles.

Problème VI.

1 lo. Trouver V échelle d'un plan passant par trois points donnés.

Soient a, 6, c, les projections des trois points donnés. Sur la droite ab (fig. 95) je cherche le point c' dont la cote est la même Fig. 9s. que celle du point c, et je joins ce* ; celte

m ligne est la projection d'une horizontale du plan. Je mène une perpendiculaire quelconque mn à ce', c'est la projection d'une ligne de plus grande pente du ~~* c plan; celle ligne coupe l'horizontale ce' en un point c it dont la cote est la même que celle du point c; elle coupe aussi l'horizontale du plan mené par le point b «n un point b lt dont la cote est la môme que celle du point b. On connaît ainsi les projections et les cotes de deux points fr, et c, d'une ligne de plus grande pente; on peut construire l'échelle du plan (o* iiO).

PLANS COTÉS

Problème VII.

110. Deux plans étant donnés par leurs échelles de pente, construire la projection et Vêchelle de leur intersection.

Soient mn, pq (h'g. 96) les projections des lignes de plus Fig. 96. grande pente des deux plans. Je con-

çois un plan horizontal dont la cote est a; il coupe le plan mn suivant une horizontale ayant pour projection- la perpendiculaire à menée + i par le point qui a pour cote a, et le plan pq suivant une horizontale qui a pour projection la perpendiculaire à pq, menée par le point de celte ligne ,10 qui a pour cote a. Ces deux liorï- \ q zonlules, étant dans un même plan, se coupent en un point A, qui a pour projeclion a, pour cote a, et qui appartient à l'intersection des deux plans. *

En imaginant de môme un second plan horizontal ayant pour cote p, on obtient un second point B de l'intersection ayant pour projection 6, et pour cote p.

On connaît ainsi deux points A et B de la ligne d'intersection parleurs projections et leurs cotes; il est facile de construire l'échelle de pente de cette droite. On l'obtient d'ailleurs immédiatement en menant par les points de division de l'échelle mn des perpendiculaires à mn; ces lignes coupent ab précisément aux points de division de l'échelle de ab.

Problème VIII.

i 17 . Connaissant F échelle de pente d'un plan , la projeclion et l'échelle d'une droite, trouver la projection et la cote du point où la droite perce le plan.

Soient mn l'échelle de pente du plan, celle de la droite (fig. 97),

maginons le plan qui a pour échelle de pente pq, et construits. »t. sons son intersection ab avec

le plan mn. Prolongeons cette droite ab jusqu'à sa rencontre en r avec la droite pq; la droite AB dans l'espace, élaht située dans un môme plan avec la droite PQ (le plan dont l'échelle de pente est pq), rencontre cette ligne en un point R, qui a pour projection r; cette droite AB étant d'ailleurs située dans le plan mn, le point R appartient à la fois au plan mn et à la droile PQ; c'est le point cherché. On obtiendra facilement la cote de ce point au moyen de l'échelle de pente de la droite PQ.

Problème IX.

118. Trouver Véchelle de pente d'un plan passant par un point dont on donne la projection et la cote, et parallèle à deux droites

dont on donne les projections et les ècMles de pente. -

Soit a la projection du point donné A, dont nous représentons la cote par a ; mn et pq les projections et les échelles des deux droites données (fig. 98).

Par le point A, menons une droite M'N' parallèle à MN; sa \' projection m'n' est parallèle à mn, et les divisions de son échelle de pente sont égales à celles de l'échelle de pente de mn; si donc on porte à partir du point a sur m'n', dans un sens convenable, une longueur ab égale à l'une des divisions de l'échelle de pente delà ligne mn, on obtiendra la pro-

PLANS COTES. 103

jection b du point B de M'N' qui a pour cote «+!, Par le point A menons de "même une droite P'Q' parallèle à PQ, et portons sur cette ligne à partir de a une longueur ac égale à Tune des divisions de pq, nous aurons la projection c du point C de la ligne P'Q' qui a pour cote a-(-l. Le plan cherché contient les deux droites M'N', FQ', et par suite l'horizontale BG qui s'appuie sur ces deux droites ; celte horizontale a pour projection bc; si donc on mène une ligne rs perpendiculaire à bc, on aura la projection d'une ligne de plus grande pente du plan.

Par le point a, menons af parallèle à bc; cette ligne af est la projection de l'horizontale du plan, qui a pour cote «; les points fet g, où les horizontales af et bc rencontrent rs, sont les points de la ligne de plus grande pente qui ont pour cotes b et « + la longueur /&est donc égale à une division de l'échelle de pente du plan.

Problème X.

119. Étant données] l'échelle de pente d'un plan, et la projection d'un point situé dans ce plan, mener dans ce plan une droite d'une Fig.99. pente donnée,

m Soient mn l'échelle du plan, a

la projection du point donné (fig. 99). Si Ton appelle d la distance horizontale de deux points de la droite demandée tels que la différence de leurs cotes soit

l m , on sait que l'on a cT= i. D'un

point p pris sur la projection d'une horizontale du plan , comme centre, avec une ouverture de compas égale à d, on décrira un arc de cercle qui coupera la projection de l'horizontale suivante en q ei q'; si du point a on mène des parallèles bc et bc' à pq et pa*, on aura étidemment les projections des deux droites demandées.

Pour que le problème soit possible, il faut que la longueur d soit supérieure ou égale à l'une des divisions de l'échelle du plan; quand la longueur d est égale à l'une des divisions de l'échelle du plan, il n'y a qu'une solution, c'est la ligne de plus grande pente menée par le point a.

Problème XI.

120. Tracer sur un plan coté un chemin, une rigole d'irrigation.

Lorsqu'on veut tracer sur un terrain un chemin ou une rigole d'irrigalion, on»fait choix d'une certaine pente, celle qui paraît la plus avantageuse pour le but qu'on se propose, et l'on a à résoudre le problème suivant : par un point donné du sol

Fig. 100.

mener une ligne qui ait une pente uniforme égale à une pente donnée.

Si le terrain est plan, la ligne est droite, et nous venons d'indiquer le moyen de la tracer. Si le terrain n'est pas plan, on peut ramener le problème au précédent, pourvu qu'on ait levé des courbes de niveau équidistantes, suffisamment rapprochées. Considérons, en effet, le terrain représenté par la figure 100, et

PLANS COTÉS. 105

proposons-nous de mener par le point a une ligne dont la pente

soit uniforme et égale à p. Soit d la distance horizontale de deux

points de cette ligne dont les cotes diffèrent de 5 m (distance con-

slante, puisque la penle est uniforme); on a d = -. Du point a

comme centre, avec une ouverture de compas égale à rf, décrivons un arc de cercle qui coupera la courbe 75 au point b; du point b comme centre, avec la même ouverture de compas, décrivons un arc de cercle qui coupera la courbe 70 au point c, et ainsi de suite; joignons ces points par un trait continu, nous aurons la ligne demandée. Car chacun des éléments de celte ligne , considéré comme sensiblement recliligne, a la pente voulue p.

121. Il est à remarquer que la question admet en général un très-grand nombre de solutions ; car il y a généralement deux chemins pour aller d'un point d'une courbe de niveau à la courbe immédiatement inférieure suivant une pente donnée. Ainsi, du point a pris sur la courbe 80, on peut aller à la courbe 75, suivant la pente voulue, par Tune des deux lignes ab ou ab'; du point b on peut aller de même à la courbe 70, suivant la pente voulue, par l'un des deux chemins bc ou bc', etc.

Le problème est impossible, quand la distance d est moindre que la plus courte distance des projections de deux courbes de niveau consécutives. — De toutes ces solutions, l'ingénieur choisira celle qui est la plus avantageuse, d'après la position du point d'arrivée, et les mouvements de terre à effectuer pour tracer la route ou le canal dans la direction projetée.

122. Quand on laisse couler les eaux naturellement, elles suivent une ligne de plus grande pente, c'est-à-dire une ligne normale à toutes les courbes de niveau. La ligne de plus grande pente passant par le point a esiamnpq; on l'obtient en menant du point a un premier élément am perpendiculaire à la courbe de niveau 75, du point m un second élément mn perpendiculaire à la courbe 70, etc.

Problème XII.