Trouver V intersection de deux plans

Soient ABC, DEF (fig. 40) les deux plans donnés, a le point

d'intersection de leurs traces horizontales, b' le point d'intersection de leurs traces verticales. Le point a, appartenant à la fois aux deux plans, est la trace horizontale de la droite d'intersection; de même le point b' en est la trace verticale. Ces traces se projettent sur la ligne de terre, la première en a', la seconde en b ; pour avoir les projections de la droite d'intersection, il suffit de mener les droites ab, a'b'.

Cas particuliers.

50. Supposons que les deux plans donnés ABC, DEP (fig. 41), aient leurs traces horizontales parallèles. Le point V, où se

coupent les traces verticales, appartient à la droite d'intersection des deux plans. Si par le point 6' on mène une droite parallèle aux droites BA, ED, cette droite sera contenue dans chacun des deux plans donnés, et par conséquent coïncidera avec leur intersection; on en conclut que la droite d'intersection des deux plans donnés est parallèle à leurs traces horizontales; c'est donc une droite horizontale, dont la projection verticale b'a' est parallèle à la ligne de terre, et la projection horizontale ba parallèle aux traces horizontales des plans.

Ceci résulte d'ailleurs de la construction générale; car, si Ton • se reporte à la figure 40, et que l'on fasse tourner la trace horizontale ED de l'un des plans autour du point E, jusqu'à ce qu'elle devienne parallèle à la trace BA de l'autre plan, le point a s'éloigne indéfiniment sur BA, et la projection horizontale de l'intersection devient parallèle à BA; en même temps, la projection verticale a' du point a s'éloigne indéfiniment sur la ligne de terre, et la projection verticale b'a' de l'intersection devient parallèle à la ligne de terre.

51. Supposons maintenant les deux plans donnés parallèles à la ligne de terre. Soient AB, CD' les traces du premier plan,EF, G'H' celles du second (fig. 42). Les plans étant tous deux parallèles à la ligne de terre, leur intersection est. parallèle à cette même ligne (Théorie, liv. V, th. 13); il suffit donc, pourdéter-'

Fig. 42. Fig. 43.

miner la droite d'intersection, de trouver un de ses points. Prenons un plan auxiliaire quelconque MNP; ce plan coupe les deux plans donnés, le premier suivant la droite (ab, a'b') t le second suivant la droite (cd, c'd') ; ces deux droites, étant situées dans le même plan MNP, se coupent en un un point (o, o'), qui, appartenant à la fois aux deux plans donnés, est un point de leur intersection ; si par les points o et o' on mène des parallèles mn, m'n' à la ligne de terre, on aura les projections de la droite cherchée.

52. Nous examinerons enfin le cas où l'un des plans passe par la ligne de terre et un point donné (m, m'), l'autre étant un plan quelconque ABC (fig. 43). Le point B, où ce second plan coupe la ligne de terre, appartient évidemment à la droite d'intersection des deux plans; il reste à trouver un second point de celte droite. Par le point (m, m') menons un planEDF perpendiculaire à la ligne de terre; ce plan coupe le plan ABC suivant la droite qui a pour traces a et o', et l'autre plan suivant la droite qui joint le point D au point M de l'espace ; ces deux droites, situées dans le même plan EDF, se coupent en un certain point 0, qui, appartenant à la fois aux deux plans donnés, est un point de leur intersection. Pour trouver les projections de ce point 0, je fais tourner le plan EDF autour de sa trace horizontale, pour le rabattre sur le plan horizontal ; les deux droites dont nous venons de parler, et qui sont située dans le plan, viendront se placer sur le plan horizontal, où elles se couperont en un point 0,, rabattement du point 0. La trace horizontale a de la première droite, étant située sur l'axe de rotation DE, reste immobile ; la trace verticale b' décrit dans le plan vertical un arc de cercle b'b t \ dont le point D est le centre, et 1)6' le rayon ; quand le plan EDF est rabattu sur le plan horizontal, ce point se place sur la ligne de terre en et la droite rabattue est a&,'. Le point D de la seconde droite, étant sur l'axe de rotation DE, reste immobile; voyons ce que devient le point M : ce point est situé sur la verticale mM, élevée au point m, et à une hauteur au-dessus du plan horizontal égale à Dm'; dans le mouvement du plan, celte droite mM reste perpendiculaire à DE, et se rabat suivant une droite «iM,j perpendiculaire à DE, et égale à Dm'; la droite DM se rabat donc suivant DM,. Les deux droites rabattues se coupent au point 0 o rabattement du point O.Si maintenant on fait tourner le plan rabattu autour de la droite DE , pour le ramener à sa première position, la droite oO it perpendiculaire à la droite DE, reste perpendiculaire à cette droite, et se place dans le plan EDF perpendiculaire au plan horizontal ; elle devient donc verticale, et se projette sur le plan vertical suivant une droite Do' perpendiculaire à la ligne de terre et égale à oO ;

le point 0 de l'espace a donc pour projection o et o\ La droite d'intersection demandée, passant par les points B et 0, a pour projection Bo, Bo'.

35. Remarque. La méthode générale, pour trouver l'intersection de deux plans, consiste à chercher deux points de celte droite. Dans le cas général, lorsque les traces des plans se coupent respectivement dans les limites de l'épure, on a de suite les traces de la droite cherchée. Si les traces des plans ne se rencontraient pas dans les limites de l'épure, on couperait les deux plans par un plan auxiliaire convenablement choisi, le point commun aux deux droites d'intersection serait un point de la ligne cherchée. Un second plan auxiliaire donnerait un autre point de cette môme ligne.

Fig. 44.

Problème VIII.

54. Trouver le point d'intersection d'une droite et d'un plan.

Pour résoudre ce problème, par la droite donnée on fait passer un plan quelconque, on cherche la droite suivant laquelle ce plan coupe le plan donné ; cette droite et la droite donnée, étant situées toutes deux dans le plan auxiliaire, se rencontrent, et leur point d'intersection, appartenant à la fois à la droite donnée et au plan donné, est le point où cette droite perce le plan.

Soit ABC le plan donné, (0.6, a'b' ) la droite donnée (fig. 44). Considérons le plan qui projette la droite donnée sur le plan horizontal; ce plan a pour trace horizontale ab, et pour trace verticale la perpendiculaire dd' à la ligne de terre au point où la droite «6 rencontre cette ligne; il coupe le plan donné suivant la droite (crf, c'd'). Les deux droites (ab t a'b') % (cd c'd'), situées

dans le même plan vertical cdd', se rencontrent en un point, qui a pour projection verticale le point de rencontre m' des projections verticales des deux lignes, et pour projection horizontale le point d'intersection m de la projection horizontale commune cd des deux lignes et de la perpendiculaire à la ligne de terre menée par le point m'. On a ainsi le point (m, m') où la droite donnée perce le plan donné.

Cas particulier.

38. Considérons en particulier le cas où le plan donné passe par la ligne de terre et le point (m, m'), et où la droite donnée Fi e 45> est située dans un plan per-

pendiculaire à la ligne de terre et passe par les deux points (a, a'), (6, b') (fig. 45). Le plan mené par la droite donnée, perpendiculairement à la ligne de terre, a pour traces aa, aa'.

Cherchons d'abord l'intersection de ce plan et du plan donné. Le point a appartient aux deux plans ; la droite menée par le point (m, m'), parallèlement à la ligne de terre, et qui est contenue dans le plan donné, perce le plan ma' en un point (n, n') qui appartient aussi aux deux plans; leur intersection est donc la droite «N. Cette droite et la droite donnée, étant situées toutes deux dans le même plan a«a', se coupent en un point qui est évidemment le point cherché. Pour trouver le point d'intersection de ces deux droites, je fais tourner le plan aaa' autour de sa trace horizontale aa, pour le rabattre sur le plan horizontal ; la droite qui passe par les points (a, a'), (6, b') se rabat suivant A,B, ; la droite aN se rabat suivant aN,; les droites rabattues se coupent au point Pi,qui, lorsque le plan rabattu est ramené à sa première position, se projette en (p, p') ; le point (p, p') est le point cherché.

/ ! fs

Droite perpendiculaire à un plan.

36. Nous démontrerons d'abord que, lorsqu'une droite est perpendiculaire à un plan, les projections de la droite sont respectivement perpendiculaires aux traces du plan.

Supposons que la droite (ab, a'b') soit perpendiculaire au

rig.46. P lan RAG ( fi S- 46 )•

Le plan DEF, qui projette la droite sur le plan horizontal, passant par une droite perpendiculaire au plan BAC , est lui - môme perpendiculaire à ce plan (Théorie, liv. V, th. 25); il est d'ailleurs perpendiculaire au pla n horizontal de projection ; ce plan projetant, étant perpendiculaire à la fois au plan horizontal et au plan BAC, est perpendiculaire à la ligne d'intersection AB de ces deux plans (Théorie, liv. V, th. 24) ; la projection horizontale ab, qui est située dans ce plan projetant, est donc perpendiculaire à la ligne AB.

Ou démontrera de la même manière que la projection verticale a'b' est perpendiculaire à la trace verticale AG du plan. Le plan GHI, qui projette la droite sur le plan vertical, étant à la fois perpendiculaire au plan vertical et au plan proposé, est perpendiculaire à la ligne d'intersection AG de ces deux plans, et la droite a'b', qui est située dans ce plan, est elle-même perpendiculaire à AC.

57. Réciproquement, lorsque les deux projections cCunc droite sont respectivement perpendiculaires aux traces d'un plan, la droite est perpendiculaire au plan.

Nous supposons la projection horizontale ab de la droite per-

pendiculaire à la trace horizontale AB du plan, et la projection verticale a'b' perpendiculaire à la trace verticale AC. Le plan projetant DEF est perpendiculaire au plan horizontal ; la droite AB, qui, située dans le plan horizontal, est perpendiculaire à la ligue d'intersection ab des deux plans, est perpendiculaire au plan DEF {Théorie, liv. V, th. 22) ; le plan BAC, passant par la droite AB, est lui-même perpendiculaire au plan DEF. Par la môme raison, le plan BAC est perpendiculaire au second plan projetant GHI. Ainsi, les deux plans projetants DEF, GHI sont tous deux perpendiculaires au plan BAC; la droite proposée, qui est l'intersection de ces deux plans projetants, est elle-même perpendiculaire au plan BAC.

Il y a cependant un cas où la réciproque n'est pas vraie; c'est lorsque le plan est parallèle à la ligne de terre; dans ce cas la droite n'est pas délinie par ses deux projections.

Problème IX. *

58. Par un point mener une droite perpendiculaire à un plan donné y et trouver la distance du point au plan.

F 'g Pour avoir les projections de

la perpendiculaire abaissée du point (m, m') sur le plan ABC (fig. 47), il suffit de mener par les projections du point des droites mn, m'n' respectivement perpendiculaires aux traces du plan. On déterminera ensuite le point (p, />') où cette perpendiculaire perce le plan, par la méthode expliquée au n° 34, et enfin on cherchera la dislance des deux points (m, m'), (p, *>'), comme nous l'avons expliqué au n° 21.

GÉOM. DESCR. •

Problème X.

59. Par un point mener un plan perpendiculaire à une droite donnée, et trouver la distance du point à la droite.

Soient (m, m 1 ) le point donné (ab, a'b'), la droite donnée

zontale du plan, ou, ce qui revient au même, une perpendiculaire menée par le point m à la projection horizontale ab de la droite donnée. Cherchons la trace verticale c' de cette ligne; c'est un point de la trace verticale du plan. iNous obtiendrons cette trace en menant par le point c' une droite BC perpendiculaire à a'b' ; nous aurons ensuite la trace horizontale en menant par le point B, où la trace verticale coupe la ligne de terre, une droite BA perpendiculaire à ab.

Déterminons maintenant le point («, n') où le pbn ABC coupe la droite donnée (n° 34) ; joignons ce point au point donné, la droite (mn, mV) ainsi obtenue sera la perpendiculaire abaissée du point donné sur la droite donnée. La longueur MiNi de cette perpendiculaire est la distance du point à la droite.

Fig. 48.

(fig. 48). Le plan mené par le point (m, m') perpendiculairement à la droite donnée a ses traces respectivement perpendiculaires aux projections ab y a'b' de la droite.

Concevons dans ce plan une horizontale menée par le point (m, m') ; elle a pour projection verticale une parallèle à la ligne de terre menée par le point m\ et pour projection horizontale une parallèle à la trace hori-

Cas particuliers.

40. Supposons que la droite soit parallèle à l'un des plans de

F'g. w. projection, par exemple au plan

£ n- ^ y horizon lai. Le plan mené paV le

pN*' point M perpendiculairement a la

| | droite horizontale AB est per-

a\ T pendiculaire au plan horizontal

>J > /\ ( fi S- 49 )' sa trace horizontale est

n<T y M la perpendiculaire mn menée à

\/ la droite ab. Il est évident que

"Y cette droite mn est la projection

horizontale de la perpendiculaire demandée ; la projection verticale est m'n'.

41. Remarque. En général, la projection d'un angle droit n'est pas un angle droit; cependant, quand l'un des côtés de

Fig. 5o. l'angle droit est parallèle au plan de pro-

jection , la projection est aussi un angle droit. C'est ce qu'on voit sur la figure précédente ; mais il est bon de le démontrer directement. Soit ABC, un angle, dont un côté AB est parallèle au plan de projection (fig 50); comme les projections d'une figure sur des plans parallèles sont égales, on peut supposer que le plan de projection P passe par la droite AB. Par le point B menons un plan perpendiculaire à la droite AB; ce plan sera perpendiculaire au plan P et coupera le plan P suivant une droite BD perpendiculaire à BA; donc l'angle ABD, projection de ABC, est droit.