Mener par une droite donnée un plan faisant avec le

Fig. 66.

plan horizontal un angle donné.

Soient (a 6, a'b') (fig. 66) la droite donnée, et a l'angle donné ; supposons le problème résolu, et soit ABC le plan demandé. En abaissant du point b une perpendiculaire bc sur d\ a' la trace horizontale

AB du plan, et faisant tourner le triangle rectangle b'bc au-

tour de V b pour le rabattre sur le plan vertical, l'angle b'cib est l'angle que fait le plan avec le plan horizontal. Pour résoudre le problème , on mènera du point b' une droite b' c t faisant avec la ligne de terre un angle égal à l'angle donné a; du point b comme centre, avec bc^ pour rayon, on décrira un cercle, et du point a, trace horizontale de la droite, on mènera une tangente AB à ce cercle; cette tangente sera la trace horizontale du plan cherché; la trace verticale BC passe par le point b\

58. Remarque. Pour que le problème soit possible, il faut que la trace horizontale a de la droite donnée soit en dehors du cercle, et alors, comme on peut mener du point a deux tangentes au cercle, il y a deux plans ABC, DEF qui satisfont à la question. Cette condition signifie que l'angle donné supposé aigu est plus grand que l'angle aigu que la droite donnée fait avec le plan horizontal ; car ces deux angles, dans les deux triangles rectangles b'bc, Vba, sont opposés au côté commun b'b ; si 6 c est plus petit que b a, le premier ^angle est plus grand que le second.

Problème XXI.

Fig. 67.

59. Par un point donné mener un plan qui fasse avec les plans

de projeotim des angles donnés.

Proposons-nous d'abord de mener le plati par un point b' (fig. 67) du plan vertical ; appelons «, p les angles aigus donnés ; supposons le problème résolu, et soit ABC le plan demandé. Répétons les constructions expliquées au n° 56, pour trouver les angles formés par le plan avec les plans de

DROITE ET PLAN. 51

projection, en ayant soin de mener les plans auxiliaires par le même point b de la ligne de terre; les angles b f a t b y cd! x b se* ront les angles * et p. Remarquons en outre que les deux plans auxiliaires 6' 6a, cbd', qui sont tous deux perpendiculaires au plan ABC, se coupent suivant une droite 61 perpendiculaire à ce plan, et par conséquent perpendiculaire aux deux droites ali et câ!\ dans les rabattements des deux triangles, cette perpendiculaire b\ se place sur les droites M, et b\ respectivement perpendiculaires à V a* et à cd\, et par conséquent ces deux perpendiculaires b\ et 6I 2 sont égales. Pour résoudre le problème, on mènera du point b 9 une droite Va* faisant avec la ligne de terre un angle égal à « ; du point b comme centre, on décrira un cercle tangent à cette droite ; ensuite, on mènera à ce cercle une tangente d\c faisant avec la ligne de terre un angle égal à ^ Le point c où cette droite rencontre la perpendiculaire à la ligne de terre menée par le point b appartient à la trace horizontale du plan. Si du point 6 comme centre, avec un rayon égal à ba t , on décrit un cercle, la trace horizontale AB du plan cherché est une tangente menée du point c à ce cercle ; en joignant le point B au point b', on a la trace verticale.

Il est évident, d'après la construction même, que ce plan fait avec le plan horizontal l'angle « ; il est aisé de voir qu'il fait aussi avec le plan vertical l'angle p. Car, si l'on mène le plan auxiliaire cbd perpendiculaire à la trace verticale BG, la hauteur bl du triangle cbd' devant être, d'après ce que nous avons dit, égale à Ht, et par conséquent à bl 2 , le triangle cbd\ est le rabattement du triangle cbd' sur le plan horizontal, et par conséquent l'angle en d! est égal à p.

Si le point donné est quelconque, on mènera d'abord le plan par un point du plan vertical, et ensuite par le point donné un plan parallèle.

80. Remarque. Pour que le problème soit possible, il faut et il suffit que le point c soit extérieur au cercle décrit du point b comme centre, avec ba A pour rayon, c'est-à-dire que bc

soit plus grand que ba t . Les triangles rectangles b] 2 c, bl i a l ont un côté de l'angle droit égal; si l'hypoténuse bc du premier est plus grande que l'hypoténuse ba t du second, l'angle bc\ % sera plus petit que l'angle 6aJ, ; mais le premier angle est complémentaire de p, on a donc 90° — p< a, ou a + p > 90°.

Lorsque cette condition est remplie, le problème admet quatre solutions, car on peut d'abord mener au cercle bl x deux tangentes faisant l'angle p avec la ligne de terre, ce qui donne deux points c ; de chacun d'eux on peut ensuite mener deux tangentes au cercle ba ± .

Il est bon d'observer que ces quatre pjans sont deux à deux symétriques par rapport au plan vertical de projection, et par rapport à un plan perpendiculaire à la ligne de terre mené par le point b.

On aurait pu ramener le problème actuel au problème XV, en remarquant que la normale au plan fait avec les plans de projection des angles complémentaires des angles a et p. Cette droite étant construite, on lui mènera par le point donné un plan perpendiculaire.

Problème XXII.