CHAPITRE V

PROJECTIONS D 9 VK CERCLE

Projections d'une .courbe quelconque. — Projections d'un cercle situé dans un plan perpendiculaire au plan vertical. — Projections d'un cercle situé dans un plan quelconque. — Sphère inscrite et sphère

circonscrite à un tétraèdre.

Fig. 90.

85. On appelle projection d'une courbe ÀB sur un plan le lieu des projections de tous les points de la courbe. Si des différents points de la courbe on abaisse des perpendiculaires sur le plan de projection LM, on formera un cylindre projetant dont la trace ab (fig. 90) sur le plan de projection sera la projection de la courbe proposée.

Pour déterminer complètement la courbe dans l'espace, il faut donner ses projections a&, a' &', sur deux plans LM,LN. Si par la projection horizontale a b on élève un cylindre perpendiculaire au plan horizontal de projection, et si par la projection verticale a' V on mène un cylindre perpendiculaire au plan vertical, l'intersection de

ces deux cylindres donnera la courbe AB dans l'espace.

Soit a b la projection d'une courbe A B (fig. 9 1), la projection mt de la tangente MT en un point quelconque M de la ligne AB est tangente à la courbe ab. En effet, par lepointMet un pointvoisinM' faisons passefune sécante MS, la projection de cette sécante est une droite ms passant par les deux points m et m', projections de M et M'; si l'on fait tourner la sécante M S autour du

Fig. 91.

PROJECTIONS D'UN CEftGLE. 75

point M de manière que le point M' s'approche Mdéfinimeiit du point M, là sécante teiid vers une positiôft lîînite MT, qui est la tangente à la courbé AB au point M; en même temps le point m' s'approche indéfiniment du poiiit m, et la Sécante m$, projection dé M S, tend Vers une position limite rrit 9 qui est la tângetite à la courbe ab au point th\ on éti conclût que la tangente ml à la couritè ab est la projection de là tangente MT à là courbe AB.

Nous appliquerons au cercle ce Mode de représentation des lignes.

Problème I.

, 84. Construire ki projections d'un cercle situé dans un plan perpendiculaire au pian vertical.

Lorsque le plan du cercle est parallèle au plan horizontal, il est clair que le cercle se projette sur le plan horizontal suivant un cercle égal, et sur le plan vertical suivant une droite parallèle à la ligne de terre, droite qui est la trace du plan du cercle.

Supposons maintenant le cercle situé dans un plan P Q R , oblique à l'horizon, mais perpendiculaire au plan vertical de projection (fig. 1, pi. I). Le plan du cercle étant perpendiculaire au plan vertical, le cylindre qui projette le cercle sur le plan vertical se réduit'au plan même du cercle ; la projection verticale du cercle se réduit donc dans ce cas aune ligne droite &d', égale au diamètre, et située sur la trace verticale du plan. Soient o, o' les projections du centre. Par le point o' menons une droite perpendiculaire au plan vertical de projection; cette droite, passant par le centre, sera un diamètre AB du cercle. Imaginons que le plan du cercle tourne autour de ce diamètre, jusqu'à ce qu'il devienne parallèle au plan horizontal, alors le cercle se projettera sur le plan horizontal suivant un cercle ad t bc i , décrit du point o comibe centre avec le rayon donné , et sur le plan vertical suivant la droite c\ d\ , parallèle à la ligne de terre et égale à un diamètre. Traçons ce cercle. Supposons maintenant que le plan du cercle tourne de

v 76 GÉOMÉTRIE DESCRIPTIVE.

nouveau autour du diamètre AB, mais en sens inverse, pour revenir à sa position primitive* Dans ce mouvement, un point quelconque m f du cercle décrira un arc de cercle ayant son centre sur Taxe de rotation AB et son plan perpendiculaire à cet axe.Cet arc se projette en vraie grandeur sur le plan vertical, suivant un arc de cercle m\m r décrit du point & comme centre, et sur le plan horizontal suivant une droite m i m parallèle à la ligne de terre; la projection verticale du point vient en m' sur la trace verticale du plan, et une perpendiculaire m' m à la ligne de terre détermine la projection horizontale m. En répétant la même construction pouf différents points du cercle, et faisant passer à la main un trait continu par tous les points ainsi obtenus, on aura la courbe adbc, suivant laquelle le cercle donné se projette sur le plan horizontal.

Remarques.

85. Cette courbe est arrondie et a la forme ovale. On lui a donné le nom d?ellip$e. Voici quelques-unes de ses propriétés.

Remarquons d'abord que les deux extrémités a et b du diamètre ab, étant situées sur Taxe de rotation, restent immobiles, et par conséquent appartiennent à l'ellipse. On voit sur la figure que ce diamètre a b est un axe de l'ellipse, c'est-à-dire partage la courbe en deux parties symétriques. Car, si Ton prend dans le cercle une corde m^^ perpendiculaire à a 6, cette corde, d'abord horizontale, tournant autour de son milieu *, deviendra parallèle à QR, et se projettera suivant mn\ le point i, milieu de la corde m^i, restera encore le milieu de la projection mn. Ainsi, tous les points de l'ellipse sont deux à deux symétriques par rapport à la ligne ab qui est le grand axe de l'ellipse.

Considérons dans le cercle le diamètre Cid 4 perpendiculaire à ab. Ce diamètre, tournant autour du point o, se projette suivant la ligne cd qui est un second axe de l'ellipse. Car, si dans le cercle on prend une corde k i m i parallèle à a 6, cette corde reste parallèle kab dans le mouvement de rotation; elle décrit un cylindre et se projette en vraie grandeur suivant km\ les