PROJECTIONS D'UN CERCLE

deux points ft 4 et m t sont symétriques par rapport au diamètre c,d 4 , et il en est de même des deux points k et m. Ainsi la courbe est divisée en deux parties symétriques par le diamètre cd qui est le petit axe de l'ellipse.

Le centre du cercle est aussi centre de l'ellipse. Car, un diamètre quelconque du cercle étant divisé parle centre en deux parties égales, sa projection sera aussi divisée en deux parties égales par la projection o ducentre. Ainsi, dans l'ellipse, toutes les droites menées par le point o sont divisées en ce point en deux parties égales ; c'est pourquoi le point o est dit centre de l'ellipse.

86. On conclut de ce qui précède que la projection d'un cercle sur un plan qnelconque est une ellipse. Car on peut toujours imaginer que les deux plans de projection rectangulaires soient , # l'un le plan sur lequel on projette le cercle, l'autre un plan perpendiculaire au premier et au plan du cercle. La disposition des choses sera exactement celle de la figure précédente, et même, pour ne pas changer le discours, rien n'empêche que l'on continue d'appeler plan horizontal le premier plan, et plan vertical le second. Le grand axe de l'ellipse est la projection en vraie grandeur du diamètre parallèle au plan de projection, le petit axe la projection du diamètre perpendiculaire au premier.

87. La perpendiculaire mi abaissée d'un point quelconque m de l'ellipse sur le grand axe a b s'appelle une ordonnée de l'ellipse. L'ordonnée mi de l'ellipse est la projection de l'ordonnée correspondante m l i du cercle. On démontre aisément que le rapport de ces deux ordonnées est constant. En effet, l'ordonnée im de l'ellipse est égale ào'o; l'ordonnée im 4 du cercle à o'm\ et par suite à o'm'; de même l'ordonnée od est égale à o'p et od x à o'd\ ou à o'd' . Mais les deux triangles rectangles semblables o'm'a, o'd'fk donnent les rapports égaux

o'ol o'ft o'm''~o'd l

ou 9 en remplaçant ces longueurs par des longueurs égales,

im od cd tmi od\ ab %

Ainsi, le rapport, d'wne ordonnée quelconque de V ellipse à l'ordonnée correspondante du cercle est égale au rapport du petit axe au grand axe. Cette propriété est caractéristique : elle définit complètement l'ellipse. Il eg résulte que l'on peut considérer l'ellipse comme provenant de ^déformation d'un cercle dont op réduit toutes, les ordonnées dans un même rapport.

88. On peut aussi construire la projection de la tangente en un point quelconque (m, m'). Menons la tangente m t l au cercle au point m ft , et prolongeons cette tangente jusqu'à sa rencontre en t avec le prolongement de l'axe ab. Dans le mouvement de rotation autour de Taxe, la droite m A \ décrit un cône ayant pour sommet le point t, qui reste immobile ; le point m i venant en m, la tangente se projettera suivant la droite mt\ cette droite est évidemment tangente à l'ellipse*

Problème II.

89. Construire les projections d'un cercle situé dans un plan quelconque.

Supposons maintenant le cercle situé dans un plan quelconque PQR (fig. 2, pi. I). Faisons tourner ce plan autour de sa trace horizontale P Q pour le rabattre sur le plan horizontal ; la trace verticale QR se rabat sur la droite' Q Ri. Dans le plan ainsi rabattu, traçons le cercle donné 0, puis imaginons qu'on relève ce plan, en le faisant tourner autour de la ligne PQ, pour le ramener à sa position primitive, et proposons-nous de construire les projections du cercle.

A cet effet, prenons un point quelconque M du cercle, et cherchons les projections m, m' de ce point quand le plan est relevé, en employant l'horizontale M K comme nous l'avons expliqué (n°68).