PROJECTIONS D'UN CERCLE

On obtiendra ainsi les projections d'autant de points du cercle que l'on voudra ; faisant ensuite passer un trait continu par ces différents points, on décrira les deux ellipses acbd, a'dV d', projections du cercle sur les deux plans de projections.

Remarques.

90. Considérons d'abord l'ellipse horizontale. Traçons dans le cercle deux diamètres, l'un AB parallèle à PQ, l'autre CD perpendiculaire, et construisons les projections de leurs extrémités. D'après ce qui a été dit dans le problème précédent (n° 88), la projection a b du diamètre horizontal AB est le grand axe de l'ellipse, la projection cd du diamètre perpendiculaire CD est le petit axe. Il est d'ailleurs très-aisé de le voir directement sur Tépure; une corde perpendiculaire à AB ou à PQ donne dans l'ellipse une corde aussi perpendiculaire à PQ, ou à ab ; mais la première est divisée par le diamètre A B en deux parties égales ; sa projection est de même divisée par le diamètre ab en deux parties égales ; la ligne ab divise donc l'ellipse en deux parties symétriques, c'est le grand axe. Une corde horizontale ou parallèle à PQ dans le cercle, donne dans l'ellipse une corde qui est aussi parallèle à PQ, et par conséquent perpendiculaire à cd\ mais la première est divisée en deux parties égales par le diamètre perpendiculaire CD; sa projection est de même divisée en deux parties égales par le diamètre cd, qui est le petit axe de l'ellipse.

91. Ces deux diamètres rectangulaires AB et CD du cercle qui donnent les deux axes de l'ellipse horizontale, donnent, non pas les deux axes de l'ellipse verticale, mais un système de deux diamètres conjugués a' b' et c d'. On appelle ainsi deux diamètres tels que chacun d'eux divise en deux parties égales les cordes parallèles à l'autre. Dans le cercle, deux diamètres rectangulaires, tels que AB et CD, forment évidemment un système de diamètres conjugués ; car A B divise en deux parties égales les cordes parallèles à C D et réciproquement. En pro-

jection, les cordes parallèles à c'd' sont toujours divisées en deux parties égales par le diamètre a'b\ et de même les cordes parallèles à a' V par le diamètre d ô! ; dans l'ellipse, les deux diamètres a'V et c' d! forment donc un système de diamètres conjugués. Quand deux diamètres conjugués sont rectangulaires, il est clair que chacun d'eux diyise la courbe en deux parties symétriques : ce sont les deux axes de l'ellipse. C'est ce qui a eu lieu en projection horizontale ; les deux diamètres conjugués a b etcd, étant rectangulaires, sont les axes de l'ellipse horizontale.

Si l'on voulait avoir les axes de l'ellipse verticale, il faudrait tracer dans le cercle deux diamètres rectangulaires E F et G H, l'un parallèle à QRi, l'autre perpendiculaire. Dans le mouvement autour de PQ, le diamètre EF, restant parallèle à QR devient parallèle à Q R et, par conséquent, parallèle au plan vertical ; sa projection verticale e'f est parallèle à Q R, et sa projection horizontale «/'parallèle à la ligne de terre; la droite e'f est le grand axe de l'ellipse. Le diamètre perpendiculaire G H donne le petit axe g' h'.

La tangente M r au cercle a pour projections les tangentes m z, m't' aux ellipses ; le point f, qui est sur l'axe de rotation PQ, reste immobile.

Problème m.