Inscrire une sphère dans un tétraèdre S AB G

Le centre O de la sphère inscrite, devant être également distant des quatre faces, est à l'intersection des plans bissecteurs des trois angles dièdres AB, BG et AG (fig. 93). Pour faciliter l'épure, imaginons un plan P parallèle au plan de la base ABC; ce plan coupe le tétraèdre OABG suivant un triangle DE F qui a ses côtés respectivement parallèles à ceux du triangle ABC. Abaissons du sommet S une perpendiculaire Si sur la base A B G, et du point s menons une perpendiculaire II au côté AB ; l'angle Sis mesure l'angle dièdre A B ; la bissectrice IG de cet angle appartient au plan bissecteur OAB; le point G où elle rencontre le plan auxiliaire M est situé sur le côté DE. En opérant de la même manière par rap-

Fig. 93.

port aux deux autres angles dièdres B G et A G, on aura un point de la droite EP, et un point de la droite DP. Si, par ces

trois points, on mène des parallèles aux côtés du triangle ABC, on aura le triangle DEP; les droites qui joignent les sommets correspondants des deux triangles détermineront le centre de la sphère.

La figure 24 de la planche V représente l'exécution des constructions que nous venons d'indiquer. On a supposé la base abc du tétraèdre sur le plan horizontal, et le côté a b perpendiculaire à la ligne de terre ; le plan horizontal auxiliaire P a pour trace verticale p' p'. L'angle dièdre a b est mesuré ici immédiatement par l'angle .ç'aV; la bissectrice a' g' de cet angle rencontre le plan auxiliaire, au point (g, g 9 ). Du point s abaissons une perpendiculaire si sur bc\ faisons tourner le triangle rectangle Ssl autour de la verticale S s, jusqu'à ce qu'il devienne parallèle au plan vertical de projection ; l'angle dièdre b c est mesuré par l'angle s' h' a'; x>n mènera la bissectrice J/*/ de cet angle, et ramenant ensuite le plan vertical dans sa première position, on aura la projection horizontale h du point H. En opérant de la même manière par rapport au côté ac, on obtiendra la projection horizontale k du point K. Si maintenant on mène par lés points g, h f k des parallèles aux côtés du triangle a bc, on obtiendra la projection horizontale def du triangle DEP. Les droites qui joignent les sommets de ce triangle a ceux du triangle AB G passent par un même point o qui est la projection horizontale du centre de la sphère ; la projection verticale o' est sur la droite a' g', projection verticale de A D. Le rayon de la sphère est la hauteur du point O au-dessus du plan horizontal, c'est-à-dire oV