CHAPITRE VI

Cube dans diverses positions. — Pyramide. — Prisme. — Polyèdre. — Intersection de deux polyèdres. — Polyèdres réguliers. — Plan, élévation, coupe.

Problème I.

94. Construire les projections d'un cube dont la base repose sur le plan horizontal.

Nous supposons que la basé du cube abcd (fig. 3, pi. I) repose sur le plan horizontal. Les arêtes latérales du cube, étaCnt verticales, se projettent en vraie grandeur sur le plan vertical, suivant des droites a!e\ Vf, c'g', d'h', perpendiculaires à la ligne de terre. La projection horizontale efgh de la face supérieure du cube coïncide avec la base inférieure ; quant à sa projection verticale e! g\ elle est parallèle à la ligne de terre.

Problème IL

95. Construire les projections d'un cube dont la base, repose sur un plan perpendiculaire au plan vertical.

On suppose que Tune des faces du cube repose aur le plan PQR (fig. 4, pi. I), oblique à l'horizon, mais perpendiculaire au plan vertical de projection. Faisons tourner ce plan autour de la ligne PQ pour le rabattre sur le' plan horizontal, et dans le plan rabattu traçons le carré ABCD, base du cube. Ramenons maintenant le plan à sa position primitive. La base du cube étant située dans le plan PQR perpendiculaire au plan vertical, sa projection verticale tombe sur la trace verticale OR du plan. Dans le mouvement de rotation, le point A décrit un arc de cercle, qui a pour centre le pied H de la perpendiculaire abaissée du point A sur Taxe PQ, et dont le plan, per-

pendiculaire à la ligne PQ, est parallèle au plan vertical; cet arc de cercle se projette donc sur le plan horizontal suivant la ligne A a parallèle à la ligne de terre; sur le plan vertical, il se projette en vraie grandeur suivant un arc de cercle décrit du point Q comme centre avec un rayon égal à AH. La rencontre de cet arc de cercle avec la ligne QR donne la projection verticale a' du point A ; on en déduit la projection horizontale a par une perpendiculaire à la ligne de terre. On construira de même les projections des autres sommets du carré, et, joignant ces points deux à deux, on obtiendra le parallélogramme abcd, projection horizontale de la base du cube. • Les arêtes latérales du cube, étant perpendiculaires au plan PQR, sont parallèles au plan vertical, et par conséquent se projettent en vraie grandeur sur ce plan. On sait d'ailleurs que les projections de ces droites perpendiculaires au plan PQR sont respectivement perpendiculaires aux traces du plan (n° 40). Donc, si par les points a', b\ & \ d' on élève des perpendiculaires aV, b'f\ c'g\ d'h' à la ligne QR, et que Ton prenne ces perpendiculaires égales aux arêtes du cube, on aura les projections verticales des arêtes latérales. Leurs projections horizontales sont perpendiculaires à la ligne P Q ; on en déterminera les extrémités e, f, g, h, en menant des points e\ /*, g*, h' des perpendiculaires à la ligne de terre. La figure efgh, projection de la base supérieure du cube, est un parallélogramme égal au parallélogramme abcd; la projection verticale est une droite e 1 g' parallèle à a! cf.

Il est bon, afin de se représenter plus aisément le solide dans l'espace, de marquer les arêtes visibles par des lignes pleines et les arêtes invisibles par des lignes ponctuées. Voici les conventions généralement admises à cet égard. En ce qui concerne la projection horizontale, on imagine qu'un observateur, placé à une très-grande hauteur au-dessus du plan horizontal, regarde le corps ; toute la partie du corps visible pour cet observateur sera marquée par des lignes pleines sur la projection horizontale; toute la partie invisible sera marquée par des lignes ponctuées. Dans l'exemple actuel, il est clair que la

base supérieure efgh du cube est entièrement visible pour l'observateur placé à une très-grande hauteur au-dessus du plan horizontal, ainsi que les trois arêtes latérales &/*, cg, dh< et les deux arêtes bc et cd de la base inférieure; l'arête latérale ae est invisible, ainsi que les deux arêtes a b et ad de la base inférieure.

Quant à la projection verticale, on imagine un observateur placé à une très-grande distance en avant du plan vertical ; la partie visible pour cet observateur sera marquée en lignes pleines, et la partie invisible en lignes ponctuées. Les trois arêtes latérales a'e\ Vf\ c'g' sont visibles, l'arête d'h' est invisible.

Problème III.

96. Construire les projections d'un cube dont la base repose sur un plan quelconque.

Faisons tourner le plan PQR, sur lequel repose la base du cube, autour de sa trace horizontale PQ (fig. 7, pi. II), pour le rabattre sur le plan horizontal, et déterminons, comme au n° 68, le rabattement QRt de la trace verticale QR du plan. Dans le plan rabattu, soit ABGD le carré servant de base au cube. Relevons maintenant le plan pour le ramener à sa position primitive. On obtiendra les projections a, a' du point A à l'aide de l'horizontale AK; on obtiendra de même les projections des autres sommets, et par suite les parallélogrammes abcd, a'b'c'd', projections du carré ABGD, base du cube.

Les arêtes latérales du cube étant perpendiculaires au plan PQR, leurs projections sont respectivement perpendiculaires aux traces du plan ; il s'agit de porter sur l'une d'elles (ae,'aV), à partir du point (a, a'), une longueur égale au côté du cube. Pour cela , rabattons le plan qui projette cette arête sur le plan horizontal, en le faisant tourner autour de sa trace horizontale aH; le point A se rabat en Ai sur une perpendiculaire à a H, et à une distance ak i égale à <xa'. La ligne H Ai dst le rabattement de H A. L'arête latérale du cube, étant perpendiculaire à cette ligne, aura pour rabattement la droite A 4 E t

perpendiculaire à H A t et égale au côté AB du cube. Si maintenant on relève le plan projetant, la droite Eie, perpendiculaire à a H, deviendra verticale, et le point e sera la projection horizontale du sommet E du cube; on en déduira la projection verticale e' par une perpendiculaire à la ligne de terre. Une fois les projections du sommet E déterminées, on obtiendra immédiatement les projections de la base supérieure du cube, en remarquant que ces projections sont égales et parallèles à celles de la base inférieure.

Problème IV.

97. Construire les projections d'un cube ayant l'une de ses diagonales verticale.

Soit MN le côté du cube (fig. 5, pi. I) ; si, sur une perpendiculaire à MN, on prend MP = MN, l'hypoténuse NP sera la diagonale de la base du cube; si, sur une perpendiculaire à NP, on prend ensuite PQ = MN, la longueur NQ représentera la diagonale du cube. On suppose le cube placé de telle sorte que Tune de ses diagonales soit perpendiculaire au plan horizontal qu'elle touche par son extrémité inférieure au point 6. Cette diagonale aura pour projection horizontale le point b, et pour projection verticale la droite b' a', perpendiculaire à la ligne de terre et égale à NQ. Les douze arêtes du cube sont parallèles quatre à quatre. Considérons d'abord le cas où quatre arêtes du cube sont parallèles au plan vertical ; le plan passant par les deux arêtes opposées A G, BF sera parallèle au plan vertical; ce plan coupe le cube suivant un rectangle qui se projette en vraie grandeur sur le plan vertical en a'&b'f, et qui a pour côtés deux arêtes a' c\ b' p du cube, et les diagonales V c\ dp de deux faces opposées. On l'obtiendra en construisant un triangle a'b'c' égal au triangle QNP.

Les arêtes AC, BP, dont on connaît les projections verticales aï c\ Vp, étant parallèles $u plan vertical, ont leurs projections horizontales ac et b f parallèles à la ligne de terre. Les trois arêtes AC, AE, AG, qui aboutissent au point A, étant égale-

ment inclinées sur la diagonale verticale AB^ ont leurs projections horizontales ac, ae, a g égales entre elles; il en résulte aussi que les trois angles droits que forment ces arêtes deux à deux se projettent sur le plan horizontal suivant des angles cae, eag, gac égaux entre eux, et valant chacun 120 degrés, puisqu'ils recouvrent tout le plan. Ainsi, les trois faces du cube qui aboutissent au point A ont pour projections sur le plan horizontal les trois losanges égaux acde, aefg, aghc> formant ensemble un hexagone régulier. Ces trois faces sont visibles pour un observateur placé à une grande hauteur au-dessus du plan horizontal. De même les trois faces qui aboutissent à l'extrémité inférieure B, et qui sont invisibles, se projettent suivant les losanges égaux bdef, bfgh, bhcd. La manière la plus simple d'effectuer la construction sera de décrire un cercle du point a comme centre avec ac pour rayon, et d'inscrire dans ce cercle un hexagone régulier.

Les deux faces opposées AEFG, BDGH sont perpendiculaires au plan du rectangle ACBF, et par conséquent perpendiculaires au plan vertical; elles se projettent donc sur le plan vertical suivant les deux droites a'f, b'c'. La diagonale A F de la première face étant parallèle au plan vertical, l'autre diagonale EG, qui lui est perpendiculaire et horizontale, est perpendiculaire au plan vertical et se projette au point e', milieu de a' f ; ce point est la projection verticale des deux sommets E et G. De même la diagonale D H de la seconde face est perpendiculaire au plan vertical et se projette au point d', milieu de 6 V ; ce point est la projection verticale des deux sommets D et H. On connaît ainsi les projections de tous les sommets. Les deux arêtes DE, H G, qui sont parallèles aux arêtes A G, BF, ont même projection verticale dV; les deux faces ACDE, AGHG ont même projection verticale, le rectangle a'c'dV; les deux faces BDEF, BHGF ont aussi même projection verticale, le rectangle b'd'e'f. Il est clair que les trois, sommets G, E, G sont à la même hauteur au-dessus du plan horizontal, ainsi que les trois sommets D, F, H; il en résulte que les droites cf e' et d'f sont parallèles à la ligne déterre.

Il est bon de remarquer aussi que ces deux parallèles divisent la diagonale a'b* en trois parties égales.

98. Considérons maintenant le cas où l,e plan du rectangle ACBF, qui est toujours vertical, n'est plus parallèle au plan vertical et fait avec ce plan un certain angle cac ± (fig. 6, pi. I). Imaginons que le cube tourne autour de la diagonale verticale AB de l'angle cac^ , jusqu'à ce que le plan du rectangle devienne parallèle au plan vertical. Le rectangle aura alors pour projection verticale le rectangle égal a'c\b'f' l , que Ton construira comme précédemment, et pour projection horizontale une parallèle c i f i à la ligne de terre. Faisons tourner dé nouveau le cube autour de la diagonale verticale A B pour le ramener à sa position primitive, chaque point décrira un arc de cercle dans un plan perpendiculaire à Taxe et par conséquent horizontal; cet arc se projettera en vraie grandeur sur le plan horizontal suivant un arc égal décrit du point b comme centre, et sur le plan vertical suivant une parallèle à la ligne de terre. Ainsi, la projection horizontale du sommet C vient en c après avoir décrit l'arc c A c, tandis que la projection verticale se meut parallèlement à la ligne de terre de c\ en c'. L'hexagone régulier a tourné en quelque sorte tout d'une pièce autour de son centre ; ayant le point c, on construira l'hexagone dans sa nouvelle position ; connaissant les projections horizontales de tous les sommets, on pn déduira les projections verticales par des perpendiculaires à la ligne de terre.

Problème V.

99. Construire les projections d'un cube dont la base repose sur un plan passant par la ligne de terre.

Dans la plupart des questions de géométrie descriptive, deux plans de projections suffisent, le plan horizontal sur lequel on construit l'épure, et le plan vertical élevé par la ligne de terre LT et rabattu sur le plan horizontal. Dans la question actuelle, nous nous servirons d'un second plan vertical

de projection perpendiculaire au premier; ce second plan vertical est élevé suivant la ligne PQ perpendiculaire à LT (fig. 8, pi. II) ; nous le rabattrons de même sur le plan horizontal en le faisant tourner autour de sa trace P Q , qui joue ici le rôle d'une nouvelle ligne de terre.

Le cube repose par une de ses faces sur un plan passant par la ligne de terre LT, et faisant avec le plan horizontal un certain angle, par exemple, un angle de 30 degrés ; la trace de ce plan sur le second plan vertical de projection, auquel il est perpendiculaire, sera la droite PR, qui fait avec PQ un angle de 30 degrés, de sorte que le plan sera représenté par ses deux traces LPR. On se retrouve alors dans le cas du problème IL Faisons tourner le plan LPR autour de PL pour le rabattre sur le plan horizontal, et soit ABC D la base du cube rabattue. Quand on relève ce plan pour le ramener à sa position primitive, le point A décrit un arc de cercle qui se projette sur le plan horizontal suivant A a, et en vraie grandeur sur le nouveau plan vertical suivant Tare A' a" décrit du point P comme centre. En prenant a a' égale à pa", on obtient la projection a! du point A sur le premier plan vertical. En répétant la même construction pour chacun des sommets, on aura les projections abcd y a'b'c'd' de la base du cube.

Les arêtes latérales du cube, étant parallèles au second plan vertical, se projettent en vraie grandeur sur ce plan suivant des droites telles que d'e" perpendiculaires à PR et égales aux arêtes du cube; sur les deux premiers plans, les projections de ces arêtes sont perpendiculaires à P L ; en menant du point e" une perpendiculaire e"e à la nouvelle ligne de terre PQ, on obtiendra la projection horizontale e du sommet E; l'élévation de ce point au-dessus du plan horizontal étant mesurée par ye", il suffira de porter cette longueur en <xe', perpendiculairement à la première ligne de terre, pour avoir la projection e' du sommet E sur le premier plan vertical.

Dans Tépure, on a supposé le plan sur lequel repose la base du cube limité par une droite (ran, m' ri) parallèle à la ligne de terre L T. Un observateur placé à une grande hauteur au-

dessus du plan horizontal, voit la face supérieure efgh du cube et les trois arêtes latérales &/*, cg, dh, comme à l'ordinaire. Mais le plan cache une partie du cube à l'observateur, qui est placé en avant du plan vertical et à une grande distance ; cet observateur, outre les deux arêtes f'g, g' h' de la base supérieure, ne voit que les portions des trois arêtes latérales *T> c ' 9\ Eh' î u i dépassent le bord m'n* du plan.

Problème VI.

100. Construire les projections d'une pyramide triangulaire dont la base repose sur le plan horizontal.

Pour déterminer la pyramide , on mesurera avec un compas ou un cordon métrique les trois côtés de la base et les trois arêtes latérales. Avec les longueurs mesurées, construisons la base abc (fig. 9, pi. II) et les faces latérales abS t , bcS 2 , eaS 3 , supposées rabattues sur le plan horizontal. Relevons maintenant ces faces latérales ; la première tournant autour de afr, le point S 4 se meut dans le plan vertical mené par la ligne S 4 H perpendiculaire kab; la seconde tournant autour de 5c, le point S 3 se meut dans le plan vertical mené par la ligne S t K perpendiculaire à b c; le sommet de la pyramide sera donc situé sur la verticale élevée par le point s, intersection des deux perpendiculaires S 4 H, S a R; on a ainsi la projection horizontale s du sommet de la pyramide. Remarquons, comme vérification, que la perpendiculaire menée du point S, sur ca doit passer par le même point s.

Cherchons maintenant la hauteur de la pyramide. Rabattons sur le plan horizontal le plan vertical projetant mené par 5 H, en le faisant tourner autour de cette ligne; la verticale, sur laquelle se trouve le sommet, se rabat suivant la droite s S* perpendiculaire àsH; du point H comme centre, avec HS f pour rayon, décrivons un arc de cercle qui coupera cette perpendiculaire en un point S 4 ; la ligne H S* est le rabattement de l'oblique HS; on a ainsi la hauteur s S 4 de la pyramide.

Prenant a$'=sS 4 , on aura enfin la projection verticale s 9 du sommet de la pyramide.

Problème VII.

101. Construire les projections d'une pyramide quelconqw dont la base repose swr le plan horizontal*

Considérons une pyramide pentagonale (fig. 10, pi. II). On mesurera les côtés du polygone de base et deux diagonales ac et ad; avec ces longueurs on pourra construire le polygone abcde, base de la pyramide. Quant au sommet, on pourra le déterminer en mesurant trois arêtes latérales consécutives, ce qui permettra de construire deux faces latérales telles que abSi, bcS 2f supposées rabattues; l'intersection des deux perpendiculaires abaissées des points S x et S 2 sur les côtés a b et bc donnera la projection horizontale s du sommet de la pyramide. Au moyen du triangle rectangle sHS, dans lequel l'hypoténuse H S est égale à H Si, on a la hauteur s S de la pyramide; portant cette hauteur en as', on obtient la projection verticale s' du sommet.

Il est facile de construire les autres faces latérales de la pyramide. On obtient le rabattement de la troisième en menant du point s une perpendiculaire à cd, et décrivant du point c comme centre, avec cS 2 pour rayon, un arc de cercle qui coupera cette perpendiculaire au point S Sl et ainsi de suite.

Si la base de la pyramide était adhérente au plan horizontal, on serait obligé, pour mesurer les diagonales, d'employer un compas d'épaisseur, c'est-à-dire un compas à branches recourbées.

Lorsque la projection horizontale du sommet de la pyramide tombe en dehors de la base (fig. 11, pi. II), on peut déterminer directement les projections du sommet sans mesurer les arêtes latérales. On suspendra un fil à plomb au sommet; le point Sj où le fil à plomb vient toucher le plan horizontal, est la projection horizontale. La longueur du fil donnera l'élévation as'.

Problême VIII.

102. Construire les projections d'une pyramide dont la base repose sur un plan PQ R perpendiculaire au plan vertical.

Faisons tourner le plan PQ R (fig. 1 2, pi. II) autour de sa trace horizontale PQ pour le rabattre sur le plan horizontal. Construisons dans ce plan rabattu la base ABCDE, puis, avec les arêtes mesurées, construisons les deux faces latérales GDSi, DES, ; on déterminera, comme dans le problème précédent, le pied I de la perpendiculaire abaissée du sommet de la pyramide sur la base et la longueur IS 3 de cette perpendiculaire. Ramenons maintenant le plan de la base dans sa position primitive. On déterminera la projection horizontale abcde de cette base et les projections t et i' du point I , pied de la perpendiculaire abaissée du sommet sur la base. Cette perpendiculaire, étant parallèle au plan vertical, se projette en vraie grandeur suivant la droite i's' perpendiculaire à QR et égale à I S»; on a ainsi la projection verticale s' du sommet; on en déduit la projection horizontale s.

Problème IX.

Fig. 94.

105. Construire les projections d'un prisme droit dont la base repose sur le plan horizontal.

S'il s'agit d'un prisme hexagonal (fig. 94), on mesurera les côtés de la base, trois diagonales ac, ad, ae, et la hauteur du prisme. On construira ensuite la base a bc def sur le plan horizontal à l'échelle convenue, et, sur une perpendiculaire à la ligne de terre , on portera la hauteur a' g' du prisme. La base supérieure coïncide en projection horizontale avec la base inférieure; la projection verticale g'k'

est parallèle à la ligne de terre. Les arêtes latérales du prisme ont leurs projections verticales perpendiculaires à la ligne de terre.

Problème X.