INTERSECTION DE DEUX POLYÈDRES

avoir l'élément suivant, on prendra l'intersection de la même face ae du prisme et de la face (oqs, o'q's') de la pyramide; les plans de ces faces se coupent suivant la droite (It, Vt') ; la partie (Ze, Vm r ) située dans les deux faces, est le second élément de la ligne d'intersection. Le point (e, m') appartenant à l'arête verticale e du prisme, pour avoir l'élément suivant, on prendra l'intersection de la face (oqs, o'q's') de la pyramide et de la face ed du prisme; la portion (en, m'n!) située dans ces deux faces, est le troisième élément de la ligne cherchée. Le point (n, n') étant sur l'arête (os, o'tf) de la pyramide, nous prendrons maintenant l'intersection de la face e d du prisme et de la face (osr, o's'r') de la pyramide; les plans de ces faces se coupent suivant la droite (n^ nV); la portion (ne, n'p') située dans les deux faces considérées, est le quatrième élément de la ligne cherchée. Enfin le point (e, p') étant sur l'arête e du prisme, on prendra l'intersection de la face (osr, o'sV) de la pyramide et la face ea du prisme , ce qui donne l'élément (eft, p'kf)', on revient ainsi au point de départ (k, &') et l'opération est terminée.

109. Cherchons ce que devient la ligne d'intersection lorsqu'on développe la surface de l'un des deux polyèdres sur un plan.

Si on fend le prisme suivant l'arête latérale c, et si on applique la surface développée sur le plan vertical, les faces latérales cb, ba, ae, ed du prisme se placeront en c'^BC, M 4 AB, etc. On obtiendra la position N du point (n, n') situé dans la face de, en portant sur la ligne de terre, à partir du point e 4 , une longueur e i n i égale à en, et prenant sur une perpendiculaire à la ligne de terre n 4 N égale à vn\ En opérant de même pour chacun des sommets de la ligne d'intersection, on aura sur le développement les deux lignes FGH, KLMNP.

Ouvrons maintenant la pyramide suivant l'arête oq, o'cf, et développons la surface latérale sur le plan vertical, en plaçant l'arête (oq, o'q') sur o'q f \ le triangle (oqr, o'çV) s'applique

sur le triangle o'q^ que Ton construit après avoir déterminé les longueurs des trois côtés. De même les triangles (ors, oW), (osq, o's'q') s'appliquent sur les triangles o , r i s u o' Siq tj et la surface latérale de la pyramide se développe suivant le secteur polygonal o'q^r^qi. Pour obtenir la position N t du point (n, ri) situé sur l'arête (os, oY), il suffit de prendre sur </s i7 à partir du point o\ une longueur o'N t égale à la distance des points (0, 0'), (n, ri). On déterminera ainsi les deux points où chacun des éléments de la ligne d'intersection, prolongé si cela est nécessaire, rencontrent les arêtes de la face de la pyramide dans laquelle il est situé, et Ton aura, sur le développement de la pyramide, les deux lignes G^HjG*, L 4 K t P 4 N 4 M, L*.

Problème XIV.