Construire les projections d'un tétraèdre régulier
On appelle polyèdre régulier, un polyèdre dont toutes les faces sont des polygones réguliers égaux , et dont les angles polyèdres sont tous égaux.
Le plus simple des polyèdres réguliers est le tétraèdre règulier, qui est formé avec quatre triangles équilatéraux, assemblés trois à trois autour de chaque sommet. Le tétraèdre a quatre faces et quatre sommets.
Nous supposerons que la base bcd (fig. 1 6, planche IV) repose sur le plan horizontal. Les trois faces latérales sont égales au triangle de base ; on les construira rabattues sur le plan horizontal. En relevant ces faces, et procédant comme s'il s'agissait d'une pyramide triangulaire quelconque (problème VI), on obtiendra la projection horizontale a du sommet, qui coïncide ici avec le centre du cercle inscrit ou du cercle circonscrit au triangle de base, puis la hauteur a A, qui donnera la projection verticale a' du sommet.
Si l'on imagine la surface du tétraèdre fendue suivant les trois arêtes latérales, et développée sur le plan de la base, il est aisé de voir que les quatre triangles équilatéraux qui la composent forment un triangle équilatéral À 4 A t A,.
Problème XV.
lit. Construire les projections cPun hexaèdre régulier.
Après le tétraèdre régulier, vient l'hexaèdre régulier ou le cube, qui est formé avec six carrés égaux, assemblés trois à trois autour de chaque sommet. L'hexaèdre a six faces et huit sommets.
La figure 17, planche IV, représente un cube posé sur le plan horizontal. Elle montre aussi le développement de la surface du cube, supposée fendue suivant les quatre arêtes latérales et suivant les trois arêtes e/*, fg, g h de la base supérieure, et développée sur le plan horizontal.
Problème XVI.
1 12. Construire les projections d'un octaèdre régulier.
L'octaèdre régulier est formé avec huit triangles équilatéraux, assemblés quatre à quatre autour de chaque sommet. L'octaèdre a huit faces et six sommets.
L'octaèdre régulier, représenté par la figure 18, planche IV, a l'une de ses diagonales a'b' verticale. On peut concevoir ce solide comme formé de la réunion de deux pyramides régulières égales, ayant pour base commune le carré horizontal cdef, et pour sommet, Tune le point a', l'autre le point V. On a mesuré la longueur de l'arête ; on construira donc avec ce côté, sur le plan horizontal, le carré cdef, projection du carré horizontal dont nous venons de parler. Les diagonales étant égales entre elles et ce étant une d'elles, on prendra a'b' égale à ce, et Ton aura ainsi la projection de la diagonale verticale. Si, par le milieu de a' b' f on mène une parallèle de 1 à la ligne de terre, on aura la projection verticale du carré cdef, et par suite, les quatre autres sommets de l'octaèdre.
Tout plan mené par deux arêtes opposées coupe le solide suivant un carré ; tel est le plan horizontal de 1 . Les deux plans verticaux menés par ce et df déterminent aussi des carrés,
qui se projettent sur le plan vertical suivant les losanges a We', a'd'b'f.
La figure 19 représente le développement de la surface de l'octaèdre régulier. La surface a été fendue suivant a'd'V et cdef, puis développée sur le plan horizontal.
Problème XVII.
