Construire les projections d'un dodécaèdre régulier

Le dodécaèdre régulier est formé avec douze pentagones réguliers, assemblés trois à trois autour de chaque sommet.

Nous supposerons que le solide repose sur le plan horizontal par sa face abcde (fig. 20, pi. IV), et que le côté cd de cette face est parallèle à la ligne de terre. Imaginons que deux faces latérales adjacentes af^g^b^ af^p^o^e soient rabattues sur le plan horizontal ; ce sont deux pentagones réguliers que Ton construira. Relevons maintenant ces deux pentagones en les faisant tourner, le premier autour de a 6, le second autour de ae, jusqu'à ce que les deux côtés a/; et a/i se rejoignent. Nous voyons par là que le sommet F du solide aura pour projection horizontale le point /*, intersection des deux perpendixulaires fj et /i/*, abaissées des points A et /i sur les axes de rotation ab et ae. On obtiendra son élévation au-dessus du plan horizontal, en rabattant le plan vertical mené par «/, et construisant le triangle rectangle <x/*F, dans lequel l'hypoténuse «F est égale à a/i; le côté /"F donne l'élévation du sommet F ; prenant donc sur une perpendiculaire à la ligne de terre une longueur a'f égale à f¥ 9 on aura la projection verticale f du sommet F.

Le point p t , où le côté 4 /i va rencontrer l'axe ba prolongé, reste immobile quand on relève le pentagone : le point /* f venant en f, la droite p i fa se projette en pj\ d'ailleurs le point g i se meut sur une droite g Y g perpendiculaire à ab. L'intersection de ces deux droites pj et g i g donnera la projection horizontale g du sommet G. L'élévation de ce sommet sera donnée par le côté g G du triangle rectangle $gG, dont l'hypoténuse

pG est égale à P& : menant du point g une perpendiculaire à la ligne de terre, et prenant sur cette perpendiculaire une longueur Vgf égale à g G, on aura la projection verticale g' du sommet G.

On pourrait construire ainsi directement les projections de chacun des sommets des polygones adjacents au polygone de base. Mais on abrégera beaucoup les constructions en remarquant que , à cause de la régularité du solide, les sommets F, H, K, M, sont à la même hauteur au-dessus du plan horizontal ; leurs projections horizontales f, h, k, m, o forment un pentagone régulier, ayant même centre que le pentagone de base et les sommets correspondants sur les mêmes rayons. Les projections verticales sont sur une même parallèle o'h' à la ligne de terre. De même, les sommets G, I, L, N, P sont à la même hauteur au-dessus du plan horizontal ; leurs projections horizontales g, £, /, n, p forment également un pentagone régulier, et leurs projections verticales sont sur une même parallèle n'i' à la ligne de terre.

Voilà en quelque sorte la moitié inférieure du dodécaèdre; elle est terminée par la ligne dentelée fg'h'ïk'l'm'rio'p'f . que Ton suit très-bien sur la projection verticale. La moitié supérieure est égale à la moitié inférieure ; elle est terminée par la même, ligne dentelée, les angles saillants de Tune s'engageant dans les angles rentrants de l'autre. La face supérieure, parallèle au plan horizontal, a pour projection horizontale le pentagone régulier qrstu, inscrit dans le même cercle que la face inférieure abc de, et de telle sorte, que les sommets des deux polygones divisent la circonférence en dix parties égales. On en obtient la projection verticale s'u', parallèle à la ligne de terre, en prenant Vt' égale à al f. L'égalité des deux parties fait voir que les dix sommets de la ligne dentelée forment en projection horizontale un décagone régulier.

La figure 21 représente le développement du dodécaèdre.

Problème XVIII.