Construire les projections d'un icosaèdre régulier

L'icosaèdre régulier est formé par vingt triangles équilatéraux assemblés cinq à cinq autour de chaque sommet. Nous supposons la diagonale a'b' (fig. 22, pi. IV) verticale. L'icosaèdre se compose, à la partie inférieure d'une pyramide ayant pour sommet a', et pour base le pentagone cdefg, à la partie supérieure d'une pyramide égale ayant pour sommet V et pour base le pentagone hiklm, et enfin d'un solide compris entre les plans parallèles des deux pentagones et limité latéralement par dix triangles inclinés alternativement dans un sens et en sens contraire sur ces bases parallèles.

La base de la pyramide inférieure se projette sur le plan horizontal suivant un pentagone régulier cdefg, ayant pour centre le point a, et que l'on peut construire, puisqu'on connaît son côté qui est égal aux arêtes de l'icosaèdre. La base de la pyramide supérieure se projettera suivant un pentagone hiklm, inscrit dans le même cercle que le précédent, et de manière que les sommets des deux pentagones partagent la circonférence en dix parties égales. La hauteur de. la pyramide inférieure sera donnée par le côté c C du triangle rectangle acG, dans lequel le côté ac est le rayon du cercle circonscrit au pentagone, et l'hypoténuse aG le côté du pentagone, ou l'arête du solide (ce triangle est le rabattement du plan projetant l'arête aG) ; sur une perpendiculaire à la ligne de terre, on prendra donc a'c' égale à cC, et Ton mènera par le point c' une parallèle d'g' à la ligne de terre.

Il s'agit maintenant de trouver la hauteur du solide intermédiaire. Faisons tourner J l'une des faces latérales DEM autour de DE, jusqu'à ce qu'elle devienne horizontale; elle se projettera alors en vraie grandeur suivant le triangle équilatéral dem i ; la hauteur de ce triangle est ara 4 ; le côté m M du triangle rectangle ara M , dans lequel l'hypoténuse a M égale ara 4 , donnera l'élévation du point M au-dessus de la base de

la pyramide inférieure, ou l'épaisseur du solide intermédiaire ; à une distance c'h! égale à m M, on mènera donc une parallèle m'i' à <tg\ et Ton aura la base de la pyramide supérieure; on prendra ensuite h'V égale à de 1 pour avoir le sommet V.

La figure 23 montre le développement de l'icosaèdre. Autour des points a et b y on voit les développements des surfaces latérales des deux pyramides; la bande ggkk provient de la portion intermédiaire.

115. Remarque. Il n'existe pas d'autre polyèdre régulier que les cinq dont nous avons parlé. Il est facile de s'en rendre compte. On sait en effet que la somme des faces d'un angle polyèdre quelconque est toujours moindre que quatre angles droits (Théorie 9 liv. Y, th. 30). La somme des angles disposés autour d'un même sommet doit donc être moindre que quatre angles droits. L'angle du triangle équilatéral vaut les § d'un angle droit ; on pourra donc former des solides en assemblant des triangles équilatéraux, soit trois à trois, soit quatre à quatre, soit cinq à cinq, autour de chaque sommet; dans ce dernier cas, la somihe des angles autour de chaque sommet est égale à -^ d'angle droit , et par conséquent moindre que quatre angles droits; mais si l'on assemble les triangles six à six, la somme étant égale à quatre angles droits, l'angle polyèdre devient plan , et le solide n'existe plus. Il est tout à fait impossible d'assembler les triangles sept à sept, huit à huit , etc. ; car alors la somme des angles autour de chaque sommet serait plus grande que quatre angles droits. Ces trois manières d'assembler les triangles donnent le tétraèdre, l'octaèdre et l'icosaèdre.

On ne peut assembler les carrés que d'une seule façon, trois à trois , ce qui donne le cube.

On ne peut assembler de même les pentagones réguliers que d'une façon, trois à trois, ce qui donne le dodécaèdre.

Il est impossible de former un solide avec des hexagones réguliers; car l'angle de l'hexagone vaut les $ d'un angle droit; pour former un angle solide, il en faudrait mettre

trois au moins , ce qui donnerait quatre angles droits. L'impossibilité est encore plus manifeste avec les heptagones, etc.

Ainsi , il n'existe que cinq polyèdres réguliers , savoir :

Le tétraèdre, qui a 4 faces, 4 sommets et 6 arêtes ;

IS hexaèdre, qui a 6 faces, 8 sommets et 12 arêtes;

V octaèdre, qui a 8 faces, 6 sommets et 12 arêtes ;

Le dodécaèdre, qui a 12 faces, 20 sommets et 30 arêtes ;

L'icosaèdre, qui a 20 faces, 12 sommets et 30 arêtes.

On aperçoit une corrélation très-remarquable entre ces polyèdres. L'hexaèdre et l'octaèdre ont chacun 12 arêtes; le nombre des faces de l'un est égal à celui des sommets de l'autre, et réciproquement. Le dodécaèdre et l'icosaèdre ont chacun 30 arêtes; le nombre des faces de l'un est encore égal à celui des sommets de l'autre. Le tétraèdre se correspond à luimême.