CHAPITRE VIL

Nous réunissons dans ce chapitre les sujets de composition proposés au concours d'admission pour l'école impériale de Saint-Cyr depuis 1862. Ces sujets, très-bien choisis, et fort intéressants par eux-mêmes, nous fournissent l'occasion d'appliquer la plupart des méthodes exposées dans les chapitres précédents.

Ii6. On donne sur un plan horizontal un quadrilatère ABGD, par la droite EP qui joint les points de concours des côtés opposés , on fait passer un plan incliné sur le plan horizontal d f un angle donné. Dans ce nouveau plan on décrit sur EF comme diamètre une circonférence, et l'on prend un point quelconque S de cette circonférence pour sommet d'un angle polyèdre formé par les quatre plans SAB, SBC, SCD et S AD. On demande de déterminer la projection horizontale et la vraie grandeur de la section faite dans cet angle polyèdre par un plan parallèle au plan ESF, et passant par un point donné.

Nota. On rendra compte de la forme remarquable de la section.

Données numériques :

AB=83 mm , BC = 71», AD = 22 mm , ES = 96 mm ;

angle AB C = 109°, angle B A D = 1 20° ;

inclinaison de ESF sur le plan horizontal égale 75° ;

point donné (B, o'), Vo' = 86 mm .

On commencera par construire le quadrilatère ABGD (pi. V, fig. 25) dans lequel on connaît trois côtés consécutifs et les

deux angles compris; puis, afin de simplifier répure, on prendra la ligne de terre perpendiculaire à la droite EP. Si, par le point G où la droite EF rencontre la ligne de terre, on mène une droite G H faisant avec la ligne de terre un angle de 75°, on aura la trace verticale du plan donné. Imaginant ce plan rabattu sur le plan horizontal, on décrit une circonférence surEP comme diamètre, et on prend sur cette circonférence un point S 4 tel que la distance E S 4 soit égale à 96 mm . Ramenant ensuite le plan à sa première position, on obtiendra les projections (s, s') du point S, et on en déduira les projections des arêtes de l'angle polyèdre. Sur la perpendiculaire B V à la ligne de terre , on prend une longueur b'& égale à 86 mm , par le point 0' on mène une parallèle KL à GH, et on a ainsi la trace verticale du plan sécant IKL. Ce plan coupe les arêtes de l'angle polyèdre aux points {m, m!), (n, n'), (P> P')i (Qi #0; le quadrilatère mnpq est la projection horizontale de la section.

En rabattant le plan IKL sur le plan vertical, on obtient la section en vraie grandeur M^PiC^.

117. Remarque. L'angle ES 4 F, inscrit dans une demi-circonférence, est un angle droit; l'angle égal ES:F, dans l'espace, est aussi droit. Le plan SEP coupe les plans SAB et SCD suivant la même droite SP ; le plan IKL, parallèle au plan SEP, coupe les mêmes plans suivant les droites MN et PQ parallèles à S F. De même le plan SEP coupe les plans SB G et S AD suivant la même droite SE, et le plan IKL, parallèle au plan SEP, coupe les mêmes plans suivant les droites NP et MQ parallèles à SE. Les deux droites SE et SP étant perpendiculaires entre elles, on en conclut que la section MNPQ estunrectangle.

La projection horizontale mnpq de ce rectangle est un parallélogramme.

118. Dans la pyramide quadrangulaire SABGD, dont le sommet est en S , on donne

!mm

SA = SB = SD = 88«m, A0 = 79 œ,n , AD = 58 I an^/eDAB=90°, angle ADG=11]°, anpte ABC = 69°;

on demande de construire les projections de ce solide en plaçant à volonté la base ABGD sur le plan horizontal.

On déterminera ensuite :

1° L'angle des faces SAB, ABCD et celui des faces SBC, SGD.

2° Les projections et la vraie grandeur de la section faite dans le solide par le plan bissecteur de V angle dièdre dont AB est V arête.

3° Le rayon de la sphère qui passe par les quatre points S, A, B, D, et Von démontrera que cette sphère passe aussi par le point G.

On construit d'abord sur le plan horizontal le quadrilatère ABGD, dans lequel on connaît les côtés AB, AD et les angles B, A, D ( pi. V, fig. 26). On remarque que les angles donnés B et D étant supplémentaires, le quadrilatère ABGD est inscriptible dans un cercle.

Comme d'ailleurs les arêtes SA, SB, SD sont égales par hypothèse, le sommet S «de la pyramide est sur la perpendiculaire au plan horizontal menée par le centre s du cercle circonscrit au quadrilatère ABCD, et la quatrième arête S G est égale aux trois autres.

Pour simplifier l'épure, on prend pour ligne de terre une droite LT perpendiculaire au côté AB. La projection horizontale du sommet S est au point s; pour avoir sa projection verticale s'y il suffit de connaître sa hauteur Ss au-dessus du plan horizontal ; on l'obtient en construisant un triangle rectangle S 4 s G égal au triangle S? G, dans lequel on connaît le côté sC , et l'hypoténuse S C égale à 88 mm . Les arêtes de la pyramide se projettent horizontalement suivant s A, sB, $C, si), et verticalement suivant s'a', s' &', sV, s'd'; quant à la base

ABGD de la pyramide, elle est à elle-même sa projection horizontale, et elle se projette verticalement sur la ligne de terre, suivant a! c\

1° Le plan de la face SAB étant perpendiculaire au plan vertical de projection , l'angle dièdre de cette face et de la base ABCD de la pyramide est mesuré par l'angle sfa'c' que fait la trace verticale du plan SAB avec la ligne de terre. Pour avoir l'angle des faces SBC, SCD, appliquons la construction ordinaire (61); imaginons un plan perpendiculaire à Tintersection des deux faces, et ayant pour trace horizontale une droite PQ perpendiculaire à sC; ce plan coupe l'arête en un certain point 0. Pour obtenir le rabattement du triangle PO Q, il suffit de' déterminer sa hauteur Oi; on l'obtient en abaissant du point i une perpendiculaire tOi sur S 4 C; prenant sur ' sG une longueur i0 2 égale à t0 4 , on a l'angle cherché P0 2 Q.

2° Le plan bissecteur de l'angle dièdre AB a pour trace verticale la bissectrice aVde l'angle*' a' c'. On obtient de suite les projections verticales e' et f des points où ce plan coupe les arêtes SC et SD; on en déduit les projections horizontales e et /*; la projection horizontale de la section est donc le quadrilatère ABe/*.

On obtient ce quadrilatère en vraie grandeur en le rabattant sur le plan horizontal suivant ABE^.

3° Le centre de la sphère qui passe par les points S, A, B, D est sur la perpendiculaire s S au plan horizontal, menée par le centre s du cercle circonscrit au triangle B AD; il est aussi sur la perpendiculaire au plan SAB menée par le centre G du cercle circonscrit au triangle SAB. Pour obtenir la projection verticale g' de ce point G, nous rabattrons le triangle SAB sur le plan horizontal, en Si AB; nous prendrons le centre G s du cercle circonscrit au triangle SjAB, et nous ramènerons ensuite le triangle SAB à sa première position. La perpendiculaire au plan SAB, menée par le point G, se projette verticalement sur la perpendiculaire g' h' à la trace verticale s'a de ce plan, et le point h' où g 1 h! rencontre la droite ss' est la projection verticale du centre de la sphère. Le rayon vertical

de la sphère se projette en vraie grandeur suivant h's'. Enfin la sphère, coupant le plan horizontal suivant le cercle circonscrit au triangle B AD, passe aussi par le point G qui est sur ce cercle.

119. Dans un tronc de pyramide régulière à base hexagonale, le côté de la grande base est égal à m ,50, chaque arête latérale est égale à m ,65 ; les angles que font les arêtes latérales avec les côtés adjacents de la grande base valent chacun 80°. 1° On demande de déterminer les projections du tronc en l'appuyant par la grande base sur le plan horizontal.

2° Ce tronc étant supposé réduit à sa surface, et la base supérieure étant enlevée, on déterminera les parties visibles de la partie intérieure, en supposant Votil placé à une hauteur de m ,71 audessus du plan horizontal sur la verticale menée par un des sommets de la grande base.

Soit abc de f la grande base située dans le plan horizontal (pi. V, fig. 27) ; l'œil est supposé placé sur la verticale élevée par le sommet a ; nous prenons la ligne de terre parallèle au diamètre ad. Imaginons la face latérale qui passe par le côté de rabattue sur le plan horizontal; pouç la construire, il suffit de faire un angle edK 4 égal à 80°, et de prendre la longueur <JK 4 égale à m ,65; relevant ensuite cette face, on obtient les projections (&,&') du sommet K de la base supérieure; on en déduit immédiatement la projection horizontale ghiklm de la petite base, et par suite les projections du tronc de pyramide.

Sur la perpendiculaire a a' à la ligne de terre, prenons une distance a'o' égale à 0",71, nous aurons la position de l'œil. De ce point (o, o') on voit d'abord les deux faces latérales afmg, abhg du tronc de pyramide. On voit en outre à Tintérieur la partie située au-dessus des plans menés par le point O et les côtés 6 M, G H de la base supérieure. Cherchons donc les intersections de ces clans avec les autres faces du tronc. La droite OG coupe l'arête DK au point (w, n'); d'ailleurs, le plan

OGM, dont la trace horizontale st est parallèle à gm> coupe la face latérale d e suivant une droite dont la trace horizontale . est J, et les projections (tnq, t'n'q); on voit donc la portion NQLK de cette face, qui est située au-dessus de la droite NQ. Le même plan OGM coupe la face latérale ensuivant la droite QM, et par conséquent on voit la partie MQL de cette face. Le plan OGH coupe les faces latérales de et c b suivant des droites NR et RH, symétriques de NQ et QM par rapport au plan vertical mené par le diamètre ad, et les parties visibles de ces faces sont symétriques des précédentes.

120. Trouver les projections de V intersection #ùne pyramide régulière pentagonale dont la base est sur le plan horizontal avec un plan perpendiculaire au plan vertical.

On prendra les données suivantes :

Pyramide. Le côté du pentagone qui sert de base a m ,07 de longueur;

L'un des côtés est situé sur une parallèle à la ligne de terr\ menée à une distance de m ,03 ;

Hauteur de la pyramide, m ,104

Plan. Le plan sécant fait avec le plan horizontal un angle égal à 30°; il est à une distance de m ,05 du sommet de la pyramide.

Après avoir déterminé les projections de Fintersection, on cherchera V angle de deux faces latérales de la pyramide.

Après avoir tracé dans le plan horizontal le pentagone régulier abede (pi. VI, fig. 28), et marqué la projection verticale s' du sommet à une distance d's' de la ligne de terre égale à m ,l0, on obtiendra de suite la projection de la pyramide. La trace verticale QR du plan sécant est une droite faisant, avec la ligne de terre, un angle de 30 e et tangente au cercle décrit du point /comme centre avec un rayon égal à 0,05; la trace horizontale PQ est perpendiculaire à la ligne de terre.

On a immédiatement les points (k> k% (f 7 f), (g, g'), (ft, K) où le plan sécant coupe les arêtes latérales de la pyramide. L'arête (*d, /«f), qui est située dans un plan perpendiculaire à la ligne de terre, exige seule une construction particulière ; en rabattant ce plan sur le plan horizontal, on déterminera le point I 4 , rabattement du point d'intersection I, d'où Ton déduira ses projections (% i').

Cherchons maintenant l'angle des deux faces S de, S de. Un plan perpendiculaire à l'arête (sd } s'd') a ses traces parallèles à la ligne de terre. Considérons le plan qui a pour trace horizontale la droite ce; appelons M le point où ce plan coupe Tarête; il faut trouver la hauteur M l du triangle Mee,; on l'obtient en abaissant du point l une perpendiculaire /M* sur la droite S 4 d dans le rabattement effectué précédemment; prenant ensuite /M» égale à /M 4 , on a le rabattement du triangle Mee sur le plan horizontal; l'angle eM 2 e est l'angle demandé.

181. Un prisme droit a pour base un hexagone régulier ABCDEF dont le côté vaut m ,034. Sur les arêtes latérales qui parlent des sommets À, B, G de la base, on prend les longueurs

AA 1 =0 m ,068, BB^O^OW, GC 1 = m ,025.

Par les trois points A £ , B 4 , C 4 on fait passer un plan P qui détermine le tronc de prisme compris entre ce plan et la base ABCDEF ; on demande de construire ;

1° Les projections horizontale et verticale de ce tronc, en posant la base ABCDEF sur le plan horizontal, de manière que le côté AB soit perpendiculaire à la ligne de terre.

2° La partie du plan horizontal cachée par le tronc de prisme , VœU étant placé au-dessus du plan P à la distance m ,122, swr la perpendiculaire à ce plan menée par le point où l'axe du prisme le rencontre.

Soit ABCDEF l'hexagone régulier donné dans le plan horizontal (pi. VI, fig. 29) ; on prend pour ligne de terre une

' droite LT perpendiculaire au côté AB. Le tronc de prisme se projette horizontalement sur cet hexagone; les arêtes verticales du tronc se projettent sur des perpendiculaires à la ligne de terre menées par les sommets de l'hexagone ; on obtient immédiatement les projections verticales a\, b\, c\ des points A 4 , B 4 , Cj , en prenant

a'a' 1 = m ,068, aW* = a ,053 et c'c\= m ,025.

Il reste à trouver les projections verticales des points D f , E F u où les arêtes qui passent par les points D, E, F rencontrent le plan P. A cet effet, considérons dans le plan P les droites A f C 19 B^; ces lignes se coupent en un point H, dont la projection horizontale h est à l'intersection des lignes A G et BE, et dont la projection verticale W est sur a\c\\ la droite b^h' est la projection verticale de la droite B^, et le point e'i, où elle rencontre la perpendiculaire à la ligne de terre menée par le point E, est la projection verticale du point E*.

On pourrait, par le même procédé, trouver les projections verticales des points D* et F* ; mais nous remarquons que le plan P coupe le prisme suivant un hexagone qui a ses côtés opposés parallèles, comme intersections de deux plans parai* lèles par un troisième; la projection verticale de cet hexagone jouit de la même propriété ; pour achever l'hexagone, il suffira donc de mener le côté e\f\ parallèle à c\b\ , et le côté c\ d\ parallèle à a\ f i .

Le point où Taxe du prisme coupe le plan P a sa projection horizontale o au centre de l'hexagone, et sa projection verticale d sur b\ e\ •

Pour avoir les projections de la perpendiculaire au plan P menée par le point 0, on détermine d'abord les projections mn,m'n' d'une horizontale du plan P,* et les projections pq, p'q' d'une droite située dans le plan P et parallèle au plan vertical ; les projections de la droite cherchée sont les perpendiculaires o*, o's' menées par les points o et o f aux droites mn et p'q*. Sur cette droite, à partir du point (o, o'), on portera une longueur de m ,l22, et on aura les pro-

jections (s, s') du point où Ton suppose placé l'œil de l'observateur. Pour obtenir la portion du plan horizontal caché à l'observateur par le tronc de prisme, on déterminera les traces horizontales C 2 , B 2 , A 2 ,F f , E s des droites SC 4 , SB M SA 4> S F, et SE 4 ; la partie cachée est limitée par la ligne brisée EDCC 2 B,A 2 FjE 2 E, On n'a pas ombré la base du tronc pour éviter la confusion.

' 122. On donne un tétraèdre régulier S ÀB G, dont les arêtes sont égales à 58 millim., et qui repose par sa base ABC sur le plan horizontal, de manière que f arête AB soit parallèle à la ligne de terre et le sommet G en avant de AB. Sur chacune des faces latérales, SAB, SAC, SBC comme base, on construit un prisme droit, dont la hauteur est égale à l'arête du tétraèdre; on obtient ainsi un polyèdre composé de l'ensemble du tétraèdre et des trois prismes , et Von demande de construire :

1° Les projections de ce polyèdre;

2° L'intersection du polyèdre par un plan horizontal mené par le centre de gravité du tétraèdre.

1° Après avoir construit le triangle équilatéral ABC dont le côté A B est parallèle à la ligne de terre, et marqué le centre s de ce triangle (pi. VI, fig. 30), on détermine la hauteur du tétraèdre, en rabattant le triangle rectangle SsG sur le plan horizontal suivant S'*G ; prenant cV égale à s S', on a la projection verticale s' du sommet du tétraèdre.

Proposons-nous d'abord de construire le prisme élevé sur le plan SAB, et désignons par SiA^ la base supérieure» Le plan de profil SsG, dont nous avons déjà fait usage, contient l'arête SS 4 ; le rabattement de cette arête sur le plan horizontal est une droite S' S' 4 égale à l'arête du tétraèdre et perpendiculaire à S' D. Si on relève le plan de profil, on obtient les projections s iy s\ du point S 4 . Les arêtes AA 4 , BBj ont leurs projections respectivement égales et parallèles à celles deSSr, les projections de la base supérieure du prisme sont %

Considérons maintenant le prisme élevé sur la- face SAC, et désignons par S 2 A 2 C 2 sa base supérieure; les projections horizontales de ses arêtes latérales sont perpendiculaires à AC et égales à $v> on en déduit immédiatement la projection horizontale Stase* de la face supérieure. Il est évident d'ailleurs que les sommets A 2 et C 2 sont à même hauteur au-dessus du plan horizontal que les sommets A 4 et B 4 ; il en résulte que leurs projections verticales a\ , c\ sont sur la parallèle à la ligne.de terre a\ b\. D'autre part, le sommet S 2 'est à même hauteur audessus du plan horizontal que le sommets/; sa projection verticale s' 2 est sur la parallèle à la ligne de terre menée par s\ .

On obtiendra de la même manière les projections du prisme élevé sur la face SBC, prisme dont nous désignons la base supérieure par S 3 B a C 3 . Il est bon de remarquer que le polyèdre formé de la réunion du tétraèdre et des trois prismes est symétrique par rapport au plan de profil , et par conséquent que la projection horizontale, ainsi que la projection verticale sont formées de deux parties^ symétriques par rapport à la perpendiculaire ss\ à la ligne de terre. Remarquons encore que les six sommets B 4 , A 4 , A 2 , C 2 , C 3 , B 3 sont situés dans un même plan horizontal, et que les trois sommets S, , S 2 , S 8 sont aussi dans un même plan horizontal.

2° On sait que le centre de gravité d'un tétraèdre est situé sur la droite qui joint le sommet au centre de gravité de la base, et au quart de cette ligne à partir de cette base. On partagera donc la hauteur s'c' en quatre parties égales; la parallèle PQ à la ligne de terre par le premier point de division h', est la trace verticale du plan sécant. Ce plan coupe les arêtes SA et SB du tétraèdre aux points (e, e'), (l, V) ; on obtiendra le point d'intersection de la troisième arête SC, en prenant s h égale à 5e. Ce plan coupe de même les arêtes latérales AA 2 , CC 2 , CG 3 , BB 3 de deux des prismes aux points (/",/*)> (9> 9 r )> (i, i'), (kj h'). On obtiendra les points où il coupe les deux arêtes BB 4 et AA 4 , en prenant les longueurs B m et An égales à hf. Le plan sécant ne rencontre pas les trois autres arêtes

S Si, S Si, S S, des prismes. La ligne suivant laquelle le plan sécant coupe le polyèdre a pour projection horizontale

efghiklmne.

123. Une pyramide régulière SABG..., à base octogonale^ s'appuie par sa base ABC... sur le plan horizontal, de manière que le côté AB, placé à gauche , est perpendiculaire à la ligne .de terre. Chaque côté de la base vaut 37 millimètres, et chaque arête latérale 1 19 mm . Par le sommet S, on mène la parallèle à la ligne de terre, et l'on prend sur cette parallèle, vers la droite, une longueur ST égale à R X 2, 6, R étant le rayon du cercle circonscrit au polygone ABC... On joint le point T aux sommets A> B, G,..., de manière à former une seconde pyramide TABC.. de même base que la première. Cela posé, on demande de construire :

1° Les projections de ces deux pyramides, en ayant soin de bien distinguer les parties visibles et les parties invisibles.

2° Les projections de la sphère circonscrite à la pyramide SABG..., ainsi que celles du point, autre que le point G, où cette sphère est rencontrée par l'arête TC de la pyramide TABC...

1° Après avoir construit sur le plan horizontal l'octogone régulier donné ABGDEFGH (pi. VI, fig. 31), on prend pour ligne de terre une droite "perpendiculaire au côté A B. Le sommet S a pour projection horizontale le centre s de l'octogone; pour avoir sa projection verticale 5', on rabat sur le plan horizontal suivant S 4 AB le triangle SAB dont on connaît les trois côtés, et on ramène ensuite ce triangle à sa première position. Les arêtes de la pyramide se projettent horizontalement suivant les rayons sA, $B, $C, etc., et verticalement suivant les droites s' a', s'b\ $V, etc.

Ayant les projections du poiht S, on en déduit immédiatement celles du sommet T de la seconde pyramide, et par suite les projections (rA, ta!), (/B, t'V), (jC, jV), etc. des arêtes de cette pyramide.

Le plan parallèle au plan vertical mené par le point S étant un plan de symétrie pour chacune des pyramides, les deux parties de la figure situées de part et d'autre de ce plan ont la même projection verticale, et ont des projections horizontales symétriques par rapport à la ligne s t.

L'intersection dqs deux pyramides se compose de la base octogonale commune ABGDEFGH et d'une ligne brisée DKLMNG qu'il est facile de déterminer. En effet, les plans des deux faces S CD, TCD coïncidant, les deux arêtes SD, TC se coupent en un point (k, K) ; de même, les plans SBE, TBE coïncidant, les deux arêtes SE, TB se coupent en un point (/, 0, etc.

Pour un observateur situé à une grande hauteur au-dessus du plan horizontal, les arêtes SD, SC, SB, SA, SH, SG de la première pyramide, et les arêtes TD, TC, TG, TH de la seconde, sont entièrement visibles. Les parties SL, SM des arêtes SE, SF sont visibles, mais les partiesrLF, MF sont cachées par la seconde pyramide. De même les parties TL, TM des arêtes TB, TA sont visibles; mais les parties LB, MA sont cachées par la première pyramide. Les arêtes TE et TF de la seconde pyramide sont entièrement cachées par cette pyramide ellemême.

i° La sphère circonscrite à la pyramide régulière S ABC

coupe le plan horizontal suivant le cercle circonscrit à l'octogone; son centre est situé sur la verticale élevée par le point s, centre du cercle. Considérons la droite s A, s'a' qui va du sommet à l'extrémité Â ft du diamètre parallèle à la ligne de terre, et qui par conséquent est parallèle au plan vertical, le centre de la sphère est le point où le plan perpendiculaire à la droite SA 4 en son milieu coupe la verticale S*; on obtient la trace verticale de ce plan en menant une droite p' q' perpendiculaire à s' a', en son milieu; le point q' où cette trace rencontre la ligne ss' est la projection verticale du centre de la sphère. Le rayon est égal à la longueur q' s'.

L'arête T& de la seconde pyramide rencontre la sphère en deux points dont l'un est C. Pour avoir l'autre, nous nous ser-

virons du plan vertical projetant tB t qui coupe la sphère suivant un cercle dont le diamètre est égal à la corde « p. Si l'on rabat ce plan sur le plan horizontal, en le faisant tourner autour de sa trace t C, le point T se rabat en T tl la droite TC

en T 4 C ; le centre du cercle en un point U d , à une distance yU 4 égale à la hauteur du centre de la sphère au-dessus du plan horizontal ; la droite T 4 C coupe le cercle au point R 4 ; en relevant le plan, on obtient les projections (r,r') du point cherché.