DÉFINITIONS

1. La géométrie descriptive a pour but la représentation rigoureuse sur un plan^ des points , des lignes et des surfaces. , .

Cette représentation permet d'étudier avec certitude les propriétés des surfaces définies par des données convenables. Par la géométrie descriptive, on peut construire les résultats de tous les problèmes géométriques à trois dimensions, et, par conséquent, tout ce qui tient à Tarchitecture et aux constructions civiles et militaires. On peut aussi représenter les accidents de terrain dans la topographie, dans les ponts et chaussées , comme les terrassements , les nivellements , les fortifications passagères, etc.

La coupe des pierres, la charpente, la construction

des vaisseaux, Thydrographie, ainsi que la mécanique

et la géodésie, empruntent à la géométrie descriptive

ses procédés rigoureux de représentation des corps, en sorte qu'il n'y a aucun de ces arts qui ne s'aide des procédés de cette science essentiellement pratique.

La physique, la météorologie et la mécanique se sont aussi emparées des méthodes de, la géométrie descriptive, pour découvrir, par des constructions graphiques, des lois naturelles que leur complication ne permettait point de reconnaître immédiatement.

L'habitude de l'emploi de la science qui nous occupe donne une telle clarté à la conception des mouvements des corps dans l'espace, que son étude est devenue de première nécessité pour les ingénieurs, les astronomes, les navigateurs, et même pour ceux qui ont à trouver les premières approximations dans des calculs purement arithmétiques.

2. Plusieurs systèmes sont connus pour la représentation des corps au moyen d'un dessin ; la géométrie descriptive n'emploie que des projections rectangulaires sans perspectives, sans reliefs ombrés.

J'énoncerai d'abord les théorèmes de la géométrie de l'espace sur lesquels est fondée la méthode des projections '*'.'

Théorème L Quand une droite est perpendiculaire à deux droites gui passent par son pied dans un plan ^ elle est perpendiculaire à toutes les droites qui passent par son pied dans ce plan, et par suite elle est perpendiculaire au plan.

* Ou peul étudier ces théorèmes dans le V* livre de Legeudre ou dans une géométrie élémentaire quelconque.

PRÉLIMINAIBES. 3

Théorème 11. Une droite étant donnée perpendiculaire à un plan et une seconde droite étant située dans ce plan^ si du pied de la première droite on abaisse une perpendiculaire à la seconde , et si du pied de cette nouvelle per^ pendiculaire on conduit une droite à un quelconque des points de la première, la droite obtenue sera perpendicU" laire à la seconde droite donnée.

Théorème III. Si deux droites sont parallèles, et si l'une d'elles est perpendiculaire à un plan ^ la seconde sera aussi perpendiculaire au plan. Réciproquement , si deux droites sont perpendiculaires à un plan , elles sont parallèles.

Théorème IV. Deux plans perpendiculaires à une même droite sont parallèles.

Théorème Y. Les intersections de deux plans parallèles par un troisième sont parallèles.

Théorème VI. Si deux angles ont leurs côtés parallèles, les plans de ces angles sont parallèles et les angles sont égaux ou supplémentaires.

Théorème VII. fJn angle dièdre a pour mesure l'angle rectiligne formé par deux perpendiculaires élevées à Vinter section commune des deux faces de V angle dièdre ^ dans chacun des deux plans et par un même point de cette intersection commune.

Corollaire. Un angle dièdre est droit, aigu ou obtus quand son angle rectiligne est droit, aigu ou obtus.

Théorème VIII. Tout plan qui passe par une perpendiculaire à un plan est perpendiculaire à ce plan.

Théorème IX. Si deux plans sont perpendiculaires entre eux et si par un point du premier on conduit une

4 PUÉLIMIN AIRES.

perpendiculaire au second j cette perpendiculaire sera située dans le premier plan.

Corollaire. Quand deux plans qui se coupent sont perpendiculaires chacun à un troisième plaUy leur intersec^ tien est perpendiculaire à ce plan.

Théorème X. Un angle dièdre étant donnée si par un point pris dans l'intérieur on abaisse des perpendiculaires aux deux faces ^ V le plan de ces deux perpendiculaires sera perpendiculaire à l'intersection des deux faces du dièdre ^ 2" V angle de ces deux perpendiculaires sera supplémentaire du dièdre donné.

Je renverrai à ces énoncés eu ajoutant les lettres G. É. (Géométrie élémentaire) toutes les fois que l'occasion s'en présentera.

11 ne sera question y dans ces éléments de géométrie descriptive, que de la méthode des projections orthogonales de Monge, employée dans toutes les écoles. Un dessin suivant cette méthode est une Épure.

Le mot Épure lui-même est emprunté aux dessins faits par les architectes, dessins qui donnaient le plan et l'élévation sur un mur et sur un terrain horizontal adjacent *.

* Pour éviler des erreurs trop communes, nous ferons les remarques suivantes :

La verticale est la direction du fil à plomb dans un lieu déterminé. Ainsi quand on donne un point dans l'espace et qu'on conduit la verticale de ce point, cette verticale est complètement déterminée.

Tout plan qui passe par cette verticale est un plan vertical. Or on peut conduire par une droite une infinité de plans verticaux; donc un plan vertical conduit par un point n'est point complètement déterminé.

Un plan conduit par un point donné perpendiculairement à la verticale

PRBUMINAIRKS.

Soient pris un plan horizontal et un point hors de ce plan; si du point on abaisse sur le plan horizontal une perpendiculaire , le pied de cette perpendiculaire sur le plan sera la projection horizontale du point donné*

Si Ton prend un plan vertical on pourra également projeter le point verticalement.

Les lignes qui servent à trouver les projections sont les lignes projetantes.