REPRÉSENTATION DU POINT

3. Concevons deux plans de projection, l'un horizontal TH, l'autre vertical LVy se coupant suivant la droite LT qu'on nomme ligne de ierre^. Ces deux plans seiivent à représenter tous les corps et tous les éléments de cette représentation 9 points , lignes et surfaces.

ii n

Soit A un point de l'espace; prenons la projection horizontale a du point A, prenons aussi la projection verticale a' de ce point;

de ce point est un plan horizontal ; ainsi pour un point donné le plan borizonlal est complètement déterminé.

Toute droite conduite dans un plan horizontal est une horizontale ; ainsi, en un point donné, on peut conduire une infinité d'horizontales. Ajoutons qu'un point étant donné dans un plan , si Ton mène par ce point un plan horizontal > Tintersection de ces deux plans déterminera une droite horizontale que Ton appelle l'horizontale du plan pour ce point.

* Il nous semble que les dénominations les plus convenables seraient celles de plan de terre et plan de mur ; mais nous ne voulons point changer des habitudes consacrées.

6 PRÉLIMINAIBES.

nous aurons ainsi le moyen de représenter le point A de l'espace sur deux plans.

En effet, supposons inversement que Ton donne les projections a, a!; il est évident que le point  sera déterminé , car le point a détermine la perpendiculaire au plan horizontal passant par ce point a« De même le point ci détermine la perpendiculaire au plan vertical

fi

Ij

de projection passant par ce point; et les deux perpendiculaires en se rencontrant déterminent le point A.

Les points a et d obtenus , supposons que le plan horizontal de projection restant fixe , on fasse tourner le plan vertical autour de la ligne de terre de manière qu'il soit rabattu T sur le prolongement du plan horizontal. Dans ce mouvement le point (i vient se rabattre sur le point a^.

Par ce rabattement les points a et a' sont placés dans un même plan et donnés dans la position de la figure plane ci-contre. Ils constituent la représentation

sur un plan du point A de Tespace. Dans cette position, on a une épure de géométrie descriptive.

Résumons: On prend deux plans de projection, on projette le point donné de l'espace sur chacun de ces plans, on suppose Tun d'eux fixe et Ton fait tourner l'autre autour de Tintersection comme charnière ou axe , jusqu'à ce que ce plan soit sur le prolongement du premier; après ce rabattement, les deux projections se trouvent dans un même plan qui est celui de l'épure.

4. Nous devons faire observer que les projections d'un point doivent se trouver , relativement à la ligne de terre, dans des positions déterminées pour pouvoir représenter un point de l'espace. Examinons ces con«ditions.

Soit à projeter le point A de l'espace; les projections a et a! ont été obtenues par les lignes projetantes Aa et Xal.

Les points a et a' sont dans une position telle, que si de chacun de ces points on abaisse une perpendi* culaire sur la ligne de terre,

ces deux perpendiculaires se rencontrent au même point de cette ligne de terre.

Pour le démontrer, imaginons le plan qui passe par les deux droites Aa et Aa'; ce plan est perpendiculaire à la ligne de terre, car il passe par des droites qui sont respectivement perpendiculaires à chacun des

PHSLIMINAIRES.

plans de projection ^ et par suite il est perpendiculaire à rintersection de ces deux plans.

Soit F le point où le plan des deux lignes projetantes rencontre la ligoe de terre; en unissant ce point F aux projections a et a' par des droites , on obtient deux lignes qui sont dans le plan auxiliaire aXof; mais ce plan est perpendiculaire à la ligne de terre, ainsi les deux droites aF et a'F sont perpendiculaires à la ligne de terre : ce sont les perpendiculaires annoncées dans notre théorème.

Après le rabattement du plan vertical la projection verticale vient se placer sur le prolongement de la ligne aF; car la droite a'F reste, dans ce mouvement, toujours perpendiculaire à la ligne de terre. C'est pourquoi, dans répure de la page 6, les projections a, a' du point A sont placées sur une même perpendiculaire à la ligne de terre.

Cette condition est d'ailleurs nécessaire et suffisante

pour que les points a et a' représentent un point de l'espace.

' Supposons d'abord que, le plan vertical relevé, on donne les points a et a' dans la position de la figure ci-contre, c'est-à-dire tels que les deux perpendiculaires à la ligne de terre, menées par ces points, viennent se rencontrer en un point de cette ligne de terre.

Si nous supposons un plan auxiliaire passant par ce

PBÉLIMINAIRBS. 9

point de rencontre et les points a et a', ce plan sera perpendiculaire à la ligne de terre et par conséquent aux deux plans de projection. Or, en élevant par le point a une perpendiculaire au plan horizontal , cette perpendiculaire sera contenue dans le plan auxiliaire conduity G. É. (Th. IX). De même si nous élevons par le point a' une perpendiculaire au plan vertical, cette perpendiculaire sera contenue dans le plan auxiliaire, ces deux perpendiculaires étant situées dans un même plan. Le point de rencontre de ces deux lignes situées dans le même plan est le point A de T espace; ce qu^il fallait démontrer.

Supposons, en second lieu, que Ton donne comme projections deux points a eiV tels que les perpendiculaires à la ligne de terre ne se rencontrent pas en un point de cette ligne.

Imaginons que par le point a on conduise un plan perpendiculaire à la ligne de terre, et que par le point 6' on conduise aussi un plan perpendiculaire à cette ligne de terre : ces plans sont parallèles entre eux.

Or, si par le point a j'élève une perpendiculaire au plan horizontal, cette perpendiculaire sera dans le premier plan auxiliaire.

Si par le point 6' j'élève une perpendiculaire au plan vertical, cette perpendiculaire sera située dans le second plan auxiliaire. Ainsi ces deux lignes perpendiculaires sont situées dans deux plans parallèles ; donc elles ne peuvent se rencontrer, donc les points a et 6' ne peuvent représenter un point de l'espace; ce qu'il fallait démontrer.

Résumons : Pour que dans uire épure deux points soient les projections d'un point de Tespace, il faut que ces points soient placés sur une même perpendiculaire à la ligne de terre.

6. Le choix des plans de projection conduit à une importante remarque :

C'est que la distance d'un point de l'espace à un des plans de projection est marquée par la distance de la projection de nom contraire à la ligne de terre.

Supposons le plan vertical relevé et dans la position de la figure.

Soit A le point donnée les projections sont a et a^

flr»,— ,

jA

Les deux plans de projection sont rectangulaires entre eux; or aF et a'F sont perpendiculaires à l'intersection LT des deux plans^ donc ces deux droites mesurent l'angle de ces deux plans; et par suite , l'angle aFa' est un angle droit. Ainsi la figure aFa'A est un rectangle, donc Aa est égal à Fa' et Aa! est égal à Fa; ce qui prouve que la distance du point A au plan horizontal^ est égale à la distance de laprojection verticale de ce point à la ligne de terre, et que la distance du point donné au plan vertical est égale à la distance de la projection horizontale de ce point donné à la ligne de terre. 6. Le point de l'espace dont les projections sont obtenues peut avoir différentes positions relativement aux plans de projection.

FRÉUMINAIRIS. 1 1

La figure de cette page indique sufiisamment ces positions.

Dans répure de la page 1 2, les projections indiquent réciproquement dans lequel des quatre angles formés par les plans de projection se trouve le point représenté.

On donne aux quatre angles dièdres des noms indiqués par leurs positions, ce sont les suivants :

Angle antérieur supérieur, Angle postérieur supérieur ^ Angle postérieur inférieur.

Angle antérieur inférieur.

En les prenant dans Tordre indiqué on les nomme encore premier y deuxième, troisième et quatrième angle.

Les lettres accentuées indiquant les projections verticales, prenons dans l'épure le point a, a' et imaginons le plan vertical relevé rectangulairement : on

peut voir que le point A représenté par a, a', est dans le premier angle; le point 6, 6' est dans le second;

c^ c' dans le troisième, rf, d', dans le quatrième.

En supposant l'épure placée sur un plan horizontal, la partie antérieure à la ligne de terre représente la partie T antérieure du plan horizontal et la partie inférieure du plan vertical rabattu.

La partie supérieure de Tépure représente la partie postérieure du plan ^ horizontal et la partie supérieure du plan vertical rabattu.