REPRÉSENTATION D'UNE LIGNE

7. Quand la ligne donnée est une droite, sa projection sur un plan est une ligne droite , en général ; quand cette ligne est perpendiculaire au plan, sa projection sur ce plan est un point.

. Soit AB la ligne donnée, et pour fixer les idées prenons le plan MP comme planhorizontalde projection; projetons horizontalement le point A de cette droite :

soit ka la ligne projetante.

Conduisons un plan par AB et par Aa; soit ah Vintersection de ce plan avec le

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plan MP. Je dis que ab contiendra les projeciions horizontales de tous les points de AB, et par suite que ce sera la projection horizontale de AB.

Prenons en effet un point D de la ligne AB. Le plan auxiliaire conduit par AB passant par Aa, qui est perpendiculaire au plan horizontal, est perpendiculaire à ce plan horizontal. Pour projeter le point D du plan auxiliaire il faut abaisser une perpendiculaire sur le plan horizontal de projection. Or, cette perpendiculaire est contenue tout entière dans le plan auxiliaire; donc elle vient rencontrer le plan horizontal en un point de ab.

Il en serait de même pour tout autre point de AB : le théorème est donc démontré.

Si Ton donne une ligne courbe plane située dans un plan perpendiculaire à Tun des plans de projection, la projection de cette courbe sur le plan de projection sera une ligne droite.

11 est d'ailleurs évident que si la ligne droite donnée est perpendiculaire au plan horizontal, le pied de

cette perpendiculaire est le seul point où tombent les pieds des perpendiculaires abaissées de tous les points de la droite donnée; et par suite la projection horizontale de la perpendiculaire donnée est un point unique.

Si Ton veut représenter sur deux plans une ligne quelconque de l'espace, on conçoit que l'on conduise de chacun des points de cette ligne des perpendiculaires sur les plans de projection. Les pieds de ces perpendiculaires sur chacun des plans forment des

lignes; ces lignes sont les projections de la ligne de Tespace.

Pour fixer les idées , soit la ligne ABF que l'on veut projeter horizontalement sur le plan MP.

Prenons sur la ligne donnée les points A, B, F.

De chacun de ces points nous conduisons les perpendiculaires Aa^Bbf F/*, au plan MP. a, 6, /"sont les projections horizontales des points A, B, F. Si nous imaginons qu'on ait fait la même opération pour tous les points de la ligne donnée , en unissant les points de projection par un trait continu , la ligne abf que Ton obtiendra sera la projection horizontale de la ligne donnée.

On opérerait de la même manière pour obtenir la projection verticale.

On conçoit cette opération faite avec un nombre de points suflisants pour guider le tracé de la projection entière de la courbe située dans Tespace.

Revenons sur la détermination de la projection horizontale de la ligne ABF.

Les lignes droites qui projettent horizontalement les points de cette ligne sont toutes perpendiculaires au plan horizontal de projection : ces lignes projetantes sont donc parallèles.

L'ensemble de ces lignes forme une surface cylindrique. La ligne ABF est la directrice de cette sur-

PRBLIMINAIRES. 1 5

face y et les lignes projetantes sont tes génératrices de cette surface.

On peut dire par conséquent que, pour projeter horizontalement une ligne, on conduit le cylindre projetant horizontalement, et que l'on prend l'intersection avec le plan horizontal de ce cylindre projetant.

Réciproquement, si l'on donne les deux projections d'une ligne de l'espace sur une épure, on imagine que le plan vertical est ramené rectangulairement sur le plan horizontal autour de la ligne de terre. Alors chacune de ces projections détermine un cylindre projetant; l'intersection des deux cylindres projetant donne la ligne représentée sur l'épure.

8. Afin de simplifier le discours on emploie les expressions suivantes :

Quand une droite est projetée on peut imaginer que ses projections sont obtenues au moyen de deux plans passant par la droite et conduits perpendiculairement chacun à l'un des plans de projection. L'intersection de chacun de ces plans avec le plan de projection correspondant est la projection sur ce plan de la droite donnée; l:;es plans sont nommés les plans pro-

jetants de la droite.

On nomme trace horizontale d'un plan l'intersection de ce plan avec le plan horizontal de projection.

On pourra donc dire, au lieu de projection horizontale d'une droite, la trace horizontale du plan projetant horizontalement cette droite.

9. Examinons quelques positions particulières d'une droite relativement aux plans de projection : T si une

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droite est parallèle au plan horizontal^ la projection horizontale sera parallèle à la droite, et la projection verticale sera parallèle à la ligne de terre.

Ceci n'a pas besoin de démonstration.

De même si la droite est parallèle au plan vertical, sa projection verticale lui sera parallèle, et sa projection horizontale sera parallèle à la ligne de terre.

T Si une droite est perpendiculaire au plan horizontal , sa projection horizontale est un point et sa projection verticale est une perpendiculaire à la ligne de terre. En effet le plan projetant verticalement est alors perpendiculaire au plan horizontal et au plan vertical.

De même , si une droite est perpendiculaire au plan vertical, sa projection verticale est un point et sa projection horizontale est une perpendiculaire à la ligne de terre. En effet le plan projetant horizontalement est alors perpendiculaire au plan vertical et au plan horizontal.

3*" Si la ligne donnée est parallèle à chacun des deux plans de projection, les deux projections sont parallèles à la ligne de terre.

V Enfin si la droite donnée est située dans un plan perpendiculaire à la ligne de terre, les deux projections de la droite sont perpendiculaires à cette ligne de terre ; et alors les deux projections de cette droite ne suffisent pas pour la déterminer, car les deux plans projetant horizontalement et verticalement se confondent.

Dans ce cas il faut donner la droite par deux de ses points, ou par un de ses points et Tangle qu'elle fait

avec un des plans de projection ; en un mot, il faut donner la droite par deux conditions particulières et notamment par ses traces.

Faisons encore observer que si une droite étant parallèle à l'un des plans de projection on prend une longueur déterminée de cette droite, elle se projettera en vraie grandeur sur ce plan de projection , puisque sa projection sur ce point lui est parallèle.

Il est évident que si une droite est donnée sur une épure par ses projections, pour concevoir la droite dans Tespace on doit faire tourner par la pensée le plan vertical rectangulairement au plan horizontal; et si Ton conçoit les plans projetants conduits par les projections données, Tintersection des deux plans projetants est la droite donnée.

10. On sait que dans la géométrie on se sert continuellement de droites parallèles; il est donc utile de considérer les propriétés des projections de droites parallèles.

Quand des droites sont parallèles, leurs projections sur un même plan sont parallèles. Lorsque Ton considère un seul plan de projection , la réciproque n'est pas vraie; mais si l'on emploie les deux plans de projection, la réciproque est

vraie.

Soient données deux droites parallèles AB, CD; pour simplifier supposons qu'on les projette sur le plan horizontal MP.

Les plans projetants étant verticaux peuvent être considérés comme passant chacun par une verticale rencontrant une des droites; on peut donc dire que les deux plans passent par deux droites parallèles deux à deux, savoir les deux droites données et les verticales auxiliaires : donc les deux plans projetants sont parallèles. Mais les projections horizontales des deux droites AB et CD sont les traces horizontales des plans projetant horizontalement ces droites; or, les intersections de deux plans parallèles par un troisième sont parallèles; donc les projections horizontales afr, cd sont parallèles.

Si Ton donne les deux projections horizontales ab, cdy ces droites étant parallèles détermineront deux plans projetants parallèles. Mais rien ne axera la position de ces deux droites dans les deux plans projetants, en sorte qu'on ne pourra pas assurer que les droites sont parallèles.

Il faut d'ailleurs observer que les droites ne sont pas données, puisqu'on ne connaît qu'une projection de

chaque droite.

Supposons maintenant que l'on donne les projections a6, cilf d'une première droite et les projections cd, dé d'une seconde droite: les projections horizontales sont parallèles entre elles. 11 en est de même des projections verticales.

Nous pouvons rappeler que les plans projetant hori-

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zontalement passant par ab et cd sout parallèles; de même les plans projetant verticalement passant par alb' et dit sont parallèles, mais les droites de Tespace sont déterminées par les intersections des plans projetant les droites. Or, les intersections de deux plans parallèles par un troisième sont parallèles. Ainsi les quatre plans projetants se coupent de manière à donner en tout quatre lignes droites parallèles ; deux de ces intersections sont les deux droites de l'espace ; donc enfin on voit que les droites données sont parallèles.

Il est évident encore que si les projections des droites données étaient toutes perpendiculaires à la ligne de terre^ il y aurait indétermination dans les positions de ces droites : on ne saurait donc dire si les droites données sont parallèles.

1 1 . Pour terminer ce qui est relatif à la considération de deux droites qui se rencontrent, faisons remarquer immédiatement que Tangle de ces deux droites est en général différent de Tangle de leurs projections horizontales, aussi bien que de Tangle de leurs projections verticales.

11 faut néjanmoins considérer deux cas dans lesquels un angle est égal à Tune de ses projections.

C'est d'abord celui dans lequel les côtés d'un angle sont parallèles à l'un des plans de projection ; il est évident que sur ce plan l'angle donné est égal à l'angle des projections de ses côtés.

Il faut aussi considérer le cas où un angle étant droit, l'un des côtés de cet angle est parallèle au plan

horizontal, par exemple; dans ce cas, la projection horizontale de l'angle droit est un angle droit.

Ce principe est important et il est facile à démontrer.

Supposons l'angle droit donné ABC, soit B le sommet de Tangle, AB le côté horizontal.

Projetons ce sommet et remarquons que la ligne projetante est perpendiculaire au côté horizontal AB donné. On peut voir alors que les deux plans projetant horizontalement sont rectangulaires entre eux. Car AB est perpendiculaire au plan des deux droites CB et Bb , puisque AB est perpendiculaire à ces deux droites ; mais le plan projetant horizontalement AB passant par AB est per- ^ pendiculaire au plan CB6 :

ainsi les deux plans projetant horizontalement l'angle ABC sont perpendiculaires entre eux. Or, l'intersection Bb de ces deux plans étant verticale, pour mesurer leur angle il faut employer un plan horizontal; soit choisi le plan horizontal de projection : les intersections a6, 6c, projections horizontales des deux droites , mesureront l'angle des deux plans de projection. Cet angle est droit, donc les deux projections sont perpendiculaires entre elles.