SuB FACES RÉGLÉES. Ccs surfaccs, comme il a été
dit déjà, sont celles qui peuvent être engendrées par une ligne droite mobile.
Le plan est une surface réglée. Le cylindre et le cône de la géométrie élémentaire sont des surfaces réglées. La surface indiquée scolie III du problème XXVI est une surface réglée.
3. Cylindres. . La surface engendrée par une ligne droite qui s'appuie constamment sur une ligne donnée, en restant parallèle à une ligne droite constante de position, est un cylindre. La ligne qui guide le mouvement est la directrice du cylindre; toutes les droites de la surface sont des génératrices.
Ainsi, en projetant une ligne courbe sur un plan, nous avons dit qu'on formait avec les lignes projetantes sur un même plan une surface cylindrique dans laquelle la courbe donnée était la directrice, les lignes projetantes étant les génératrices. Nous verrons plus tard que le cylindre est une surface dévelop* pable.
Un cylindre peut aussi avoir pour directrice une surface à laquelle la génératrice soit constamment tangente, tout en restant parallèle à elle-même.
4. CÔNES. Un cône est une surface réglée engendrée par une ligne droite qui , passant par un point fixe qu'on nomme le sommet du cône, s'appuie en même temps sur une courbe que Ton nomme la directrice du cône. Chaque génératrice de ce cône doit être considérée comme indéfiniment prolongée dans les deux sens , de part et d'autre du sommet.
On voit alors qu'il y a dans un cône deux nappes
INTBRSBCriONS. 89
distinctes qui existent simultanément et qui sont separées par le sommet. Le cône droit à base circulaire de la géométrie élémentaire est aussi un cône à deux nappes , qu'il faut considérer prolongées indéfiniment de part et d'autre du sommet. Les cônes sont aussi des surfaces développables. De même que pour le cylindre un cône peut avoir sa génératrice constamment tangente à une surface donnée qui est la surface directrice^ la génératrice passant toujours par le sommet.
La symétrie indique immédiatement que si la surface directrice est une sphère, la surface conique engendrée est un cône droit à base circulaire.
S. Surfaces gauches. Une surface gauche ou non développable a pour génératrice une ligne droite qui s'appuie sur trois lignes droites ou courbes, lesquelles sont les directrices de cette surface. Ou bien encore la surface gauche est engendrée par une ligne droite qui, s'appuyant sur deux directrices droites ou courbes, doit rester parallèle à un plan fixe qu'on nomme plan directeur. On pourrait donner pour condition que la génératrice fît un angle constant avec un plan ou une droite donnés.
On pourrait admettre pour condition que la génératrice fût tangente à une ou à plusieurs surfaces. La surface engendrée par une droite horizontale qui touche deux sphères données en est un exemple remarquable.
En général, les génératrices consécutives de ces surfaces, quelque rapprochées qu'on les suppose, ne sont jamais dans un même plap, excepté dans cer-
90 INTBRSECnONS.
tains cas que nous examinerons , et où^ pour certaines données, elles perdent leur caractère.
Ces surfaces ne pouvant être considérées comme formées d'éléments plans , et ne pouvant se développer sans déchirure ni duplicature, sont appelées, pour cette raison, surfaces gauches.
Les surfaces gauches sont précieuses dans la charpente et dans la coupe des pierres par la facilité de leur construction au moyen de la règle.
6. Surfaces de révolution. Nous avons déjà défini (Préliminaires, 14) les surfaces de révolution. Nous avons dit ce qu'on nomme axe de révolution, parallèle, méridien. Nous ne reviendrons pas sur ces définitions»
Il y a, parmi les surfaces de révolution, des exemples des trois genres de surfaces que nous venons de considérer; ainsi, le cylindre droit à base circulaire est engendré par une droite parallèle à Taxe, tournant autour de cet axe.
Le cône droit à base circulaire est engendré par une droite qui rencontre Taxe.
La surface de révolution engendrée par une droite qui n'est pas dans le plan de Taxe est une surface gauche *.
7. Surfaces courbes qui ne rentrent point dans les catégories précédentes.
Ces surfaces ont des formes variées à l'infini, et il
* Cette surface, nommée hyperboIoYde de révolution à une nappe, peut, d*après la géométrie analytique, être engendrée également par une hyperbole tournant autour de son axe Imaginaire.
INTERSBCnOEfS. 91
est indispensable de les dé6nir d'une manière corn* plète pour que Ton puisse les construire en géométrie descriptive.
On pourra cependant établir quelques catégories. Ainsi on peut définir Tellipsoïde à trois axes inégaux comme provenant d'une sphère dilatée ou comprimée suivant deux sens rectangulaires entre eux et dans un rapport différent.
On conçoit de même chaque surface de révolution comme donnant naissance à une série de surfaces dérivéeô du type primitif par voie de dilatation ou de compression. Ce genre d'analogie, qui a été peu étudié jusqu'à présent, est éminemment utile pour substituer les constructions à faire sur les surfaces de révolution à des constructions relatives à des surfaces moins simples.
On pourrait encore dilater ou comprimer une surface en partant d'un point donné, tellement que les distances de chaque point de la surface à ce premier point fussent augmentées ou diminuées dans un rapport constant, etc., etc.
On considère encore les surfaces dites surfaces enveloppes et que l'on conçoit facilement renfermer une surface donnée dans toutes ses positions suc-
cessives *.
Par exemple, une sphère dont le centre se mouvrait suivant une Kgne quelconque aurait pour enveloppe,
* Une surface enveloppe est mieux définie en disant que c*est la limite de l'espace occupé successivement par la surface, mobile.
en général y un canal courbe ou sinueux qui^ dans le cas où le centre se mouvrait en ligne droite, serait un cylindre droit.
Des conditions de maxima et de minima pour les surfaces, pour les solidités, pour les pentes fournissent aussi des surfaces remarquables.
Les questions de mécanique sont une source inépuisable de surfaces nouvelles.
PROCÉDÉS GÉNÉRAUX POUR OBTENIR L'INTERSECTION DE DEUX SURFACES ENTRE ELLES OU LA RENCONTRE D'UNE UGNE AVEC UNE SURFACE.
8. On construit deux lignes, une sur chaque surface, qui puissent se rencontrer d'une manière certaine; presque toutes ces lignes s'obtiennent en coupant les deux surfaces à la fois par un même plan; ce plan coupe les deux surfaces suivant deux lignes droites ou courbes dont les points communs sont aussi communs aux deux surfaces. On fera un nombre suffisant de constructions de ce genre pour obtenir en projection horizontale et en projection verticale la courbe d'intersection des deux surfaces.
On choisira pour plans sécants ceux qui donnent dans les deux surfaces les sections les plus simples ou les plus faciles à construire. De ce nombre sont les sections rectilignes, les sections circulaires, celles qui peuvent se ramener par transport parallèle ou glisse-» ment sur des courbes déjà construites , celles qui ont pour perspective (voir plus loin la signification de ce mot) des courbes déjà tracées ; enfin celles qui peuvent
INTSRSSCTiONS. 03
se prêter, par des procédés quelconques , à des constructions simples.
Le problème, au fond, s'il n'y a aucune simplification possible se ramène en général, à trouver Tinter « section d'un plan avec une surface.
9. La rencontre d'une ligne avec une surface se ramène au cas précédent.
En effet, en considérant le cylindre droit qui projette horizontalement, par exemple, la courbe donnée, l'intersection de ce cylindre avec la surface donnée produit une ligne dont les rencontres avec la ligne donnée fournissent les points demandés.
Gomme la courbe d'intersection du cylindre avec la surface d'une part et la courbe donnée de l'autre ont la même projection horizontale, tous les points de rencontre des projections verticales donneront des points communs aux deux courbes, qui seront les points de rencontre de la courbe donnée avec la surface.
Si la ligne donnée est droite, le cylindre projetant devient un plan , et la courbe d'intersection est une courbe plane.
PROBLÈME I (figure 42).
Trouver l'intersection d'un cylindre droit vertical à base circulaire, par un plan perpendiculaire au plan vertical de projection.
Le cercle directeur du cylindre droit est placé sur le plan horizontal ; il a pour centre G, et son rayon est GN; le cylindre est droit : donc, toutes les génératrices sont verticales. En prenant le diamètre MN parallèle à la
94 ' ^ INTERSECTÏONS.
ligne de terre, et en menant par les extrémités M et N des perpenditîulaires à la ligne de terre , ces perpendiculaires prolongées sont les limites des projections verticales de toutes les génératrices du cylindre.
Nous supposons le cylindre limité verticalement par un plan horizontal dont la trace verticale est ai'^.
Le plan sécant perpendiculaire au plan vertical est DFG ; DF est perpendiculaire à la ligne de terre.
Soit w!v} la portion de la trace verticale FG comprise entre les génératrices limites m^co\ n^j//.
Les projections de Tintersection du cylindre et du plan sont la ligne w!v! et la circonférence CNP, et pour avoir les projections horizontales et verticales correspondantes il suffit de mener des perpendiculaires à la ligne de terre pour lier les projections horizontales et verticales de chaque point.
Ainsi le point P de la circonférence, qui est la trace de la génératrice qui passe par ce point, a pour projection verticale le point j>' de la droite tnJn^^ d'ailleurs PjPajP' est perpendiculaire à la ligne de terre.
On veut trouver l'intersection du plan et du cylindre en vraie grandeur; on est ramené ainsi à un problème de rabattement , et on peut opérer ce rabattement sur le plan vertical autour de FG comme charnière, ou bien encore on peut le rabattre sur le plan horizontal en faisant tourner autour de FD comme charnière.
Pour avoir une figure moins étendue, nous ferons tourner le plan donné autour de Thorizontale de ce
iNTERSBCnONS. 95
plan y qui se trouve en même temps dans le plan perpendiculaire au plan vertical passant par le centre du cercle directeur.
Nous ramenons ce plan à être parallèle au plan horizontal ^ et alors Tintersection se projette verticalement suivant une parallèle à la ligne de terre et horizontalement en véritable grandeur.
Soit donc o' le milieu de m'n! (o'oC est perpendiculaire à la ligne de terre); par le point o^ je mène une parallèle à la ligne de terre ^ je rabats le point n' et le point m' sur cette droite en n\ et m^; je rabats aussi le* point p^ en p\ . Après cette opération^ les points de Fintersaction se projetteront horizontalement en n, , mi et Pi sur des perpendiculaires à la projection horizontale oC de Taxe de rotation.
Ce qu'on a fait pour le point P on le ferait pour tout autre point du cercle directeur ; qui est en même temps la trace horizontale du cylindre , et Ton obtient ainsi la courbe tracée > qui est une ellipse»
PROBLÊME II (figures 44 et 46).
Couper un cône droit par un plan perpefidiculairé au plan vertical de projection.
Le cercle directeur SMNP est tracé sur le plan horizontal de projection; le sommet est Ssf.
Dans la figure 44 ^ le plan FGH donné coupe seulement une 'nappe du cône; dans la figure 46 ^ le plan FGH coup» les deux nappes.
Dans la figure 44 , les plans auxiliaires sont verticaux et passent par le sommet Ss' ; ils coupent donc le
cône suivant des génératrices ^ et le plan FGH suivant des lignes droites. Les intersections des génératrices du cône et des droites^ suivant lesquelles le plan donné est rencontré parles plans auxiliaires ^ donnent les points d'intersection du cône et du plan FGH.
Dans la figure 46^ les plans auxiliaires sont parallèles au plan horizontal ; ils coupent le cône suivant des circonférences ; et le plan FGH suivant des parallèles à FG. Les points de rencontre des circonférences et des parallèles à FG donnent les points d'intersection du cône et du plan donné.
Dans le cercle de base de chaque figure ^ on conduit le diamètre MSP parallèle à la ligne de terre; ce diamètre détermine les points M et P , traces des géné-^ ratrices extrêmes du cône^ parallèles au plan vertical : les projections verticales de ces limites du cône sont 5'm' et s'/)'.
Le plan FGH étant perpendiculaire au plan vertical, les projections verticales de tous les points de ce plan doivent se trouver sur la trace verticale GH.
Les points c' et d' de la trace verticale GH et des génératrices extrêmes s' m' et s^p' sont des points de la section; horizontalement ils se projettent sur le diamètre MSP en c et d.
Dans la figure 44, prenons les projections SN, 5'n' d'une génératrice ; N est la trace horizontale de cette génératrice.
s'n' rencontré GH au point a'; ce point a' est la projection verticale d'un point de la section. En prenant sur SN le point a, tel que aa' soit perpendiculaire à
HfTBBSBCnONS. Vf
la ligue de terre, a est la projection horizontale de ce point de la section. Il y a un point b placé symétriquement par rapport au diamètre MP.
On fait les mêmes constructions pour d'autres génératrices du cône, et on détermine ainsi la projection horizontale acbd de la section. Cette courbe est fermée; c'est une ellipse.
Pour avoir les projections horizontales des points d'intersection correspondant au point Id, qui se trouve sur la projection verticale de Taxe, on fait tourner au* tour de Taxe le plan projetant verticalement , jusqulà ce qu'il devienne parallèle au plan vertical. Alors le point V, trace horizontale de la génératrice correspondante, vient se placer en M* La génératrice est devenue s!m! en projection verticale. Je mène lf!sd^, parallèle à la ligne de terre, z^ est le point demandé rabattu, je prends le point Zi sur MP; puis je retrouve z : c'est la projection horizontale demandée.
On rabat cette section sur le plan vertical autour de GH comme charnière. Les distances des points de la section à la charnière sont égales aux distances des projections horizontales des points à la ligne de terre.
On trouve ainsi le rabattement A^QBiDi de la section.
Dans la figure 46, la trace GF du plan sécant rencontre le cercle directeur SMP en Y et X^. Ces points sont des points de la section.
Soit i/^ parallèle à la ligné de terre , t/ et js' appartenant aux projections verticales, limites du cône. Soit (/ le milieu de j/jz'; o' étant sur la projection verticale de l'axe, oV dera le rayon de la section faite dans le cône;
9S INTEftSEGTIONS.
par suite, en décrivant du point S comme centre avec Sz comme rayon, une circonférence, elle sera la projection horizontale de cette section horizontale auxiliaire.
Or j/s^ rencontre GH en a'j relevant horizontalement al on trouve, par la circonférence Syz, les points a et 6 projections horizontales des points de la section du cône avec le plan donné , ces points particuliers ayant été obtenus au moyen du plan auxiliaire j/^^.
En prenant ainsi une suite de points par des constructions analogues, on trouve, pour les deux nappes du cône, la projection horizontale d'une courbe composée de deux branches séparées partant des points c et d.
Cette projection horizontale est symétrique par rapport à MP, qui est un axe de la courbe.
En rabattant la section sur le plan vertical autour de GH comme charnière, on obtient la courbe à deux branches dont les sommets sont Q et D^, ces branches étant Y,kfifi,X\ et Afifi^.
La courbe d'intersection a deux branches infinies, si Ton suppose les surfaces et le plan sécant indéfiniment prolongés ; c'est une hyperbole.
PROBLÈME III (figure 48).
Trouver rintersection de deux cônes.
On mène la droite qui passe par les deux sommets; par cette droite on mène des plans qui coupent généralement chacun des cônes suivant des génératrices.
Or ces génératrices appartiennent à chacun des
INTERSKCnONS. 99
cènes 9 et elles sont dans un même plan; en se coupant elles déterminent des points de la section cherchée*
Dans la figure 48 ^ le premier cône a pour directrice la courbe fermée et tracée sur le plan horizontal MNP; le sommet de ce premier cône est s, s^. Cette directrice est en même temps la trace du cône sur le plan horizontal.
Le second cône donné a pour sommet t, t\ et pour directrice la courbe fermée XYZ.
Les limites des projections verticales des génératrices de ces cônes s'obtiennent en menant des tangentes aux traces de ces cônes perpendiculairement à la ligne de terre. Ainsi; pour le premier cône^ les génératrices parallèles au plan vertical s^rrl^ s^n! (cela étant parce que la courbe est convexe et fermée) , donneront par leurs projections sur ce plan les limites des projections verticales des cônes»
Pour le second cône^ les génératrices limites s'obtiennent de la même manière. Ces indications données ^ construisons la droite si^ sH^ qui passe par les deux sommets, et trouvons la trace horizontale V de cette droite.
Tous les plans qui passent par la droite ST ont pour traces horizontales des droites passant par le point V. Ces traces, d'ailleurs, en coupant la trace horizontale de chaque cône, donnent, par ces intersections, les traces horizontales des génératrices du cône , et par suite les génératrices résultant des sections auxiliaires.
Il suffit donc de trouver les points de rencontre de
ces dernières génératrices. Ce seront les points de la courbe d'intersection des deux cônes. Nous ne prendrons pas la trace verticale de chacune; prenons la droite VABC, A appartenant à la directrice XYZ, B et G appartenant à la trace MNP. Nous ne nous occupons ici que de Tintersection des deux nappes inférieures des deux cônes.
Les droites sC, «V, sB, s^b\ sont des génératrices du premier cône, situées dans le plan auxiliaire VABC.
La génératrice du second cône, située dans ce plan auxiliaire, est fA, VaK Cette dernière génératrice est rencontrée par les deux premières en ff^j et en ddl.
En opérant de la même manière pour d'autres droites passant par le point V, en prenant spécialement les tangentes VHK et VO à la trace MNP du premier cône, on obtient la courbe d'intersection a/^6jq...rf,
Les limites de l'épure n'ont pas permis de trouver la seconde courbe d'intersection de deux cônes. Cette courbe existe généralement, et l'on doit s'exercer à varier les données de manière à reconnaître à l'inspection des données, s'il y a pénétration des surfaces, arrachement, ou à la fois pénétration et arrachement.
ScoLiE 1. Nous verrons plus loin comment on déter-
* On ne doit chercher ici aucune relation entre les notations d'accent ou dindice.
niTSiSBCTiœfs. 101
mine le point le plus haut et le point le pluB bas de la courbe d'intersection.
ScoLiE IL Nous engageons le lecteur à varier le choix des traces horizontales des deux cônes , à les prendre Tune fermée^ Tautre ouverte; et à suivre ainsi dans les différents types de construction quelles sont les courbes d'intersection.
Nous engageons aussi le lecteur à prendre des cônes quelconques, c'est-à-dire des cônes ayant pour directrices des courbes données par leurs projections horizontales et verticales.
On pourrait ramener cette dernière construction à la première en cherchant d'abord les traces horizontales des deux cônes; mais généralement ce procédé ne pourrait être pratiqué, à cause de l'écartement des génératrices dont les traces seraient hors des limites de l'épure.
Dans ce dernier cas, on prend un plan horizontal auxiliaire auquel on rapporte les deux cônes, et la question est ainsi transformée de manière que les constructions s'effectuent sur l'épure.
Au reste, il est impossible de donner des notions générales sur toutes les particularités de ce problème. Nous recommandons encore au lecteur de s'exercer à faire, à main levée, et mieux, avec la règle et le compas, des constructions relatives à des données particulières.
ScoLiE IlL Si les deux cônes ont même sommet, et qu'ils se coupent autre part qu'au sommet, les in ter-
102 INTEBSECTIONS.
sections de ces cônes sont des génératrices. En effets supposons un point commun à ces deux cônes; enjoignant ce point au sommet commun on obtient une génératrice commune aux deux cônes donnés, c'est-àdire que Tintersection des deux cônes est une ou plusieurs génératrices.
Nous pouvons ainsi comprendre la génération des surfaces gauches générales. On donne les trois courbes A, B, C, directrices d'une surface gauche, la génératrice étant une ligne droite. (Chapitre II, définition 7.)
Soit pris un point M sur la directrice A. Considérons le cône qui a pour sommet M et pour directrice la courbe B ; considérons aussi le cône qui a pour sommet M et pour directrice la courbe C. Ces deux cônes se coupent suivant une ou plusieurs génératrices; ces lignes droites sont des génératrices de la surface gauche, puisqu'elles rencontrent les trois courbes. Ce qu'on a fait pour le point M on le ferait pour tous les points de la courbe A ; on comprend donc qu'il y ait continuité dans la position des génératrices, et que l'ensemble de ces génératrices forme une surface. D'ailleurs, nous le répétons, ces génératrices, quelque voisines qu'elles soient, ne sont pas dans le même plan; la surface n'ayant pas d'éléments plans est une surface non développable , c'est-à-dire une surface gauche *.
* Oa Irouyera dans les exercices des modèles variés d'inlerseclions de cdneSy et dans le chapitre des surfaces développables les particularités relatives à ces intersections de cônes.
nrrsRsicrioNS. 103
PROBLÈME IV (figure 49)-
Trouver l'intersectmi d'une sphère et d'un cône.
Si la sphère et le cône sont quelconques, on mène la droite qui passe par le centre de la sphère et le sommet du cône. Par cette droite on mène des plans qui coupent la sphère suivant un grand cercle et le cône suivant des droites. Par le rabattement sur un plan de projection , on obtient Tintersection du grand cercle et des droites ^ puis on relève.
Ou bien on peut couper le cône et la sphère par des plans horizontaux. Les sections auxiliaires seront, dans la sphère, des petits cercles, dans le cône, des courbes semblables à la trace horizontale du cône donné.
Mais cette dernière construction, compliquée en générale, peut, comme nous le verrons plus tard, se transformer en une construction simple *.
Dans la figure 49 , la sphère a pour centre le sommet du cône; en sorte que Ton peut prendre pour plans sécants des plans verticaux passant par le centre de la sphère. La directrice du cône est d'ailleurs une courbe plane située sur le plan horizontal.
La trace horizontale directrice du cône est \yz , le sommet est c, c'. Pour avoir les limites en projection horizontale de la sphère, nous faisons une section horizontale par le centre; nous obtenons ainsi un grand cercle qui se projette horizontalement en vraie grandeur, soit MNP cette circonférence, décrite avec le
* C'est pour nous conformer à un usage établi que nous donnons celle figure; il est bien évident que la construclion en était inutile , famlliari^ comme Test déjà sans doute le lecteur avec la méthode des rabattements.
rayon de la sphère eP comme rayon. Il est éviâent que c'est la limite en projection horizontale de la sphère.
Pour avoir les limites en projection verticale, nous faisons par le centre de la sphère une section parallèle au plan vertical de projection. Cette section se projette verticalement en vraie grandeur, suivant OR décrit du point é comme centre avec cP pour rayon. Horizontalement elle se projette suivant NcP.
Prenons la droite cA, c'est la trace horizontale d'un plan vertical passant par c, c'; A est l'intersection de cette trace avec la trace horizontale du cône; cA, éd sont donc les projections horizontale et verticale de l'intersection de ce plan auxiliaire avec le cône. L'intersection avec la sphère est un grand cercle.
Nous faisons tourner le plan autour de la verticale qui passe par le point c, c\ jusqu'à ce qu'il devienne parallèle au plan vertical de projection. Alors le point A vient en A^ sur cP; la génératrice cA, éd est devenue cAj, éd^. Mais le grand cercle devient en projection verticale OR. Cette circonférence est coupée en /i projection verticale par la génératrice éd^.
En ramenant, tout point de la génératrice décrit autour de l'axe une circonférence dont le plan est horizontal.
Menons ^^ c" parallèle à la ligne de terre, et prenons l'intersection f de cette parallèle avec éd : f sera la projection verticale d'un point de l'intersection du cône et de la sphère , la projection se trouve en f sur la même génératrice projetée horizontalement en /*.
L'arc de cercle AA, décrit du point c comme centre
INTSBSlCnONS. 105
permet de trouver un autre point d'intersection; pour cela on prend le point A' de XYZ, obtenu par ce mèm^ arc de cercle prolongé. On trouve ainsi le point ^^ de la courbe d'intersection. Enûnfghi...ffj/h^{V\., est la courbe d'intersection demandée.
PROBLÈME V (figure 50).
Trouver rintersection de deux cylindres.
On prend un point de l'espace ^ et par ce point on mène^ en premier lieu, une droite parallèle aux génératrices du premier cylindre ; en second lieu une parallèle aux génératrices du second cylindre.
Ces deux droites déterminent un premier plan auxiliaire.
Parallèlement à ce premier plan auxiliaire on mène un nouveau plan qui- rencontre les deux cylindres; il coupera chacun d'eux suivant un système de génératrices qui, par leurs intersections deux à deux, déterminent des points communs aux deux cylindres.
On conduit ainsi une série de plans sécants parallèles au premier plan auxiliaire , qui déterminent ainsi des points de l'intersection.
Dans la figure 50, les directrices des cylindres sont des courbes planes placées sur le plan horizontal de projection, en menant les directrices des cylindres sous les traces- horizontales de ces cylindres.
Le premier cylindre a pour directrice la courbe plane ABFG; l'une des génératrices est Am, aW. Le premier cylindre est donc ainsi déterminé par la
directrice et les projections de Tune de ses génératrices.
Le second cylindre est donné par la directrice plane HIK^ et par les projections de Tune de ses génératrices Hr, AV.
Pour ne pas compliquer Tépure de la figure 50, nous ne construisons pas sur la figure le plan auxiliaire parallèle aux deux systèmes de génératrices des deux cylindres. Il est évident que nous pouvons supposer que la trace horizontale de ce plan auxiliaire soit construite. Soient AH une parallèle à cette trace horizontale, A un point de la trace horizontale du premier cylindre , H un point de la trace horizontale du second.
Menons la génératrice Am, clrri du premier cylindre dont A est la trace horizontale.
Menons aussi la génératrice Hr, AV du second cylindre dont le point H est la trace horizontale; ces deux génératrices se coupent au point 5, é. Ce point est un des points d'intersection des deux cylindres.
Nous menons de même une suite de parallèles à la droite AH dans le plan horizontal, et nous déterminons ainsi une suite de points de la courbe dHntersection Xy a! y j/, j/', z^ js'; en sorte que la projection verticale de cette courbe est s'a^y^', et la projection horizontale socyz.
On doit insister sur la détermination des points correspondants aux limites des plans parallèles auxiliaires; ainsi d'une part on a la trace qui passe au point B, et d'autre part celle qui passe au point V.
INTSRSICnOI». 107
ScoLis I. Les figures 37 et 39, dont Texplication complète viendra plus loin, renferment les traces verticales des surfaces données, savoir : la figure 37 la trace verticale du cylindre donné par sa trace horizontale et la direction de ses génératrices; la figure 39 la trace verticale du cône donné par sa trace horizontale et par son sommet.
Cette détermination de la trace verticale se réduit à trouver la trace verticale de chaque génératrice (deuxième problème du premier chapitre).
C'est ici que nous rappellerons cet aphorisme des élèves de Monge :
Sachez trouver Tintersection d'une droite et d'un plan , sachez trouver la distance de deux points.
C'est là toute la géométrie descriptive.
ScoLiE II. On distingue, dans l'intersection de deux cylindres, trois cas : celui delà pénétration, celui de l'arrachement et celui où les deux courbes de pénétration se touchent.
1 "" Il y a pénétration quand les deux courbes d'entrée et de sortie sont séparées : c'est ce qui arrive quand les tangentes à l'une des traces horizontales des cylindres, menées parallèlement à la trace horizontale du plan auxiliaire, sont sécantes à l'autre.
2*" Il se présente dans la figure 50 un arrachement : ce que l'on voit au moyen des traces horizontales des deux cylindres : car la tangente auxiliaire à l'une est sécante à l'autre, et réciproquement.
3* Enfin quand la tangente à l'une des traces est
tangente à l'autre , il peut y avoir pénétration et arrachement.
Le lecteur devra s'exercer à faire ces problèmes à main levée et dans l'espace.
PROBLÈME VI (figure 51).
Trouver l* intersection d'un cylindre oblique par un plan perpendiculaire à ses génératrices, ou, plus simple^ ment, faire la section droite d'un cylindre.
Soit ABCD la trace horizontale du cylindre oblique donné, soit Ap, a'p' une génératrice donnée; le cylindre est suffisamment exprimé par sa directrice et par une de ses génératrices.
On prend le plan UVX perpendiculaire aux génératrices du cylindre, et l'on veut trouver l'intersection de ce plan avec le cylindre donné.
Pour cela, trouvons l'intersection du plan UVX avec une génératrice Ap, dp^ du cylindre; ce que nous dirons pour cette intersection s'appliquera à toutes les génératrices. La question est ramenée à trouver l'intersection d'une droite et d'un plan.
Nous employons le plan projetant horizontalement la génératrice Ap, a'//. Soit Y l'intersection de Ap avec UV, ]/ la projection verticale de Y.
Pour avoir la direction en projection verticale de l'intersection du plan UVX avec le plan projetant horizontalement Ap, ay, nous prenons un plan auxiliaire Afifi parallèle à ce plan projetant horizontalement; dJJ^ est la projection verticale de cette intersection. Ainsi, en menant par %/ une parallèle t/V à cette droite
oljlf^f nous avons la projection verticale de Tintersection du plan vertical Ap avec le plan UVX. La projection verticale de la génératrice est a'//, et 9^ est Tintersection de y'js' avec a'p'; r, r' est donc un point de l'intersection du plan donné avec le cylindre. On trouve aussi un point Sj s' intersection de la génératrice Mp, wY avec le même plan UVX.
Ce que nous avons dit pour trouver Tintersection du plan avec une génératrice suffit. En opérant ainsi pour un nombre convenable de génératrices^ on trouve les projections horizontales et verticales d'un nombre de points suffisants pour trouver les projections horizontale et verticale de l'intersection du cylindre avec le plan donné. C'est de cette manière qu'on trouve la section droite d'un cylindre oblique par un plan'^.
ScoLiE. On peut employer cette remarque.
Les génératrices étant perpendiculaires au plan de la section droite, les plans projetant horizontalement ces génératrices coupent le plan sécant suivant des droites qui sont perpendiculaires à ces génératrices. Donc, en rabattant ces plans sécants sur le plan horizontal , on pourra obtenir les longueurs des droites
* Au chapitre des surfaces développables et du développement de ces surfaces, on yerra que la recherche de celle section droite d'un cylindre par un plan a moins d'importance qu*on ne lui en attribue ordinairement. Nous avons voulu, dans ces cléments, nous montrer fidèles aux hal)itudes consacrées dans renseignement, espérant que bientôt cependant on éloignera, dans le programme de la Géométrie descriptive, les choses qui compliquent son étude.
abaissées perpendiculairement sur la trace horizontale du plan sécant UVX.
C'est ce qu'indique la figure dans Tépure du problème.
Ces longueurs servent à obtenir le rabattement sur le plan horizontal de la section droite.
Il faut observer encore que cette solution est tout à fait particulière , en sorte qu'il vaut mieux s'en référer à la méthode générale.
PROBLÈME VII (figure 52).
Trouver rintersection d'une surface de révolution par un plan.
Nous avons défini^ dans les préliminaires n"" 12, ce qu'on nomme axe d'une surface de révolution, génétrice de la surface de révolution et cercles parallèles de cette surface.
Pour trouver l'intersection d'une surface de révolution et d'un plan on coupe le plan et la surface par des plans auxiliaires perpendiculaires à l'axe de la surface: Les intersections avec la surface sont des parallèles de cette surface, les intersections des plans auxiliaires avec le plan donné sont des droites. Dans chacun des plans auxiliaires les intersections des droites et des circonférences sont des points qui appartiennent au plan donné et à la surface de révolution : ce sont donc des points de l'intersection demandée.
Si l'axe de révolution est quelconque, les circonférences auxiliaires seront obtenues au moyen du centre et du rayon de chacune d'elles, et par les rabattements
IMTSBSBCnONS* 111
on pourra achever chaque fois la détermination des points de rencontre de ces circonférences avec les droites auxiliaires situées dans les plans de ces circonférences. Quand Taxe est vertical, les constructions sont très-simples^ puisque les parallèles se projettent horizontalement sur des circonférences égales à ces parallèles , ayant toutes pour centre la trace horizon* taie de Taxe de la surface.
Dans la figure 52, Taxe A, dti est vertical; la génératrice mup^ rnii/j/ est une courbe quelconque. Le plan donné CDF est perpendiculaire au plan vertical.
Soit XY parallèle à LT. Nous concevons que XY est la trace verticale d'un plan auxiliaire perpendiculaire à Taxe.
Soit Z le point d'intersection de XY avec DF; projetant horizontalement en z le point Z, par le point z menons zg perpendiculaire à la ligne de terre, zg sera la projection horizontale de Tintersection du plan auxiliaire XY avec le plan donné.
Trouvons le parallèle de la surface de révolution contenu dans le plan XY. La projection verticale m'u'p de la génératrice rencontre XY en /, et ce point / a pour projection horizontale correspondante le point r de la projection horizontale mup de la génératrice.
Or> l'axe vertical a pour trace le point A; le parailèle du plan XY est horizontal; donc Ar est en même temps la projection horizontale et la vraie grandeur du rayon de la circonférence intersection de la surface de révolution et du plan XY.
Ili INTBUSEGTIONS.
Nous décrivons sur Tépure , avec Ar pour rayon , une circonférence de cercle ; elle rencontre zg aux points heXk\ ces point» sont les projections horizontales des points d'intersection de la surface de révolution et du plan donné par le plan auxiliaire XY. On prendraitplusieurs plans auxiliaires comme le plan XY, et Ton achèverait ainsi la détermination de Tintersection du plan donné et de la surface de révolution.
Sgolie. Nous engageons le lecteur à faire une section dans la surface de révolution par un plan passant par Taxe de la surface dç révolution et parallèle au plan vertical de projection j on obtient de cette manière en vraie grandeur la courbe méridienne, puisque le plan sécant est parallèle au plan vertical de projection.
Cette intersection s'obtient par points au moyen des sections horizontales auxiliaires.
PROBLÈME VIII (figure 53).
Trouver V intersection d'un plan et de la surface de révolution engendrée par une droite qui tourne autour d'un axe qui n'est pas situé avec la droite génératrice dans le même plan *.
L'axe de la surface de révolution est perpendi culaire au plan horizontal de projection. A est la trace horizontale de cet axe; a'6' est sa projection verticale.
Pour plus de simplicité, on a pris la droite généra-
* Cette surface est nommée la surface gauche de révolutioui
INTBBSECTIONS. tl3
tri ce de la surface gauche de révolution dans la posi* tion où elle est parallèle au plan vertical , en sorte que sa projection horizontale est mn parallèle à la ligne de terre : la projection verticale est m'n^.
Nous savons que la plus courte distance entre une verticale et une droite quelconque est une horizontale qui se projette en vraie grandeur sur le plan horizontal. Donc^ si nous menons As perpendiculaire à mn, nous aurons la grandeur du plus petit rayon des parallèles de la surface gauche : c'est ce parallèle minimum qu'on appelle cercle de gorge.
Prenons Av égale à ^A sur la parallèle ÂD^ menée à laligne.de terre, et reportons cette longueur sur s'v' parallèle à la ligne de terre menée par le point s'y intersection de m'n' avec a'b'; et s'v' sera la projection verticale du cercle de gorge.
Il est d'ailleurs évident que la projection horizontale de toute génératrice sera tangente au cercle de gorge Asv : cela résulte de la définition.
En tournant autour de l'axe de la surface de révolution, la trace horizontale Q de la génératrice rectiligne engendre le cercle de base de cette surface sur le plan horizontal ; le rayon de cette base serait AQ.
Ainsi toute génératrice aura sa trace horizontale sur le cercle dont AQ est le rayon.
Le plan sécant est le plan perpendiculaire au plan vertical CDF.
Le plan auxiliaire horizontal XY employé pour trouver l'intersection de la surface gauche avec le plan donné rencontre le plan CDF suivant Z, zg; il
rencontre la surface de révolution suivant une circonférence qui se projette en véritable grandeur sur le- plan horizontal en Arhk , h et k étant les intersections de cette circonférence avec zg; h et k sont donc les projections de Tintersection de la surface de révolution et du plan donné correspondant au plan auxiliaire XY.
Les points h et k sont symétriquement placés sur la perpendiculaire à AD^ ; donc les sommets de la courbe doivent se trouver sur la droite dont les projections sontAD^, DF...
On achève la construction en prenant des plans auxiliaires parallèles au plan horizontal de projection. C'est ainsi qu'on trouve la courbe tracée sur la figure. Nous nous dispensons de rabattre cette intersection soit sur le plan vertical de projection autour de DF comme charnière, soit sur le plan horizontal autour de DC comme charnière.
Pour trouver les sommets de la courbe d'intersection de la surface gauche de révolution avec le plan perpendiculaire au plan vertical, on opère comme il suit :
On a fait observer que ces sommets sont situés sur la droite parallèle à la trace verticale du plan , qui est menée par le point de rencontre de cette trace verticale avec l'axe de la surface*.
Ainsi (fig. 53) les sommets sont situés sur la
* Nous engageons le lecteur à passer ce paragraphe à une première lecture.
INTBRSEGTIONS. 115
droite DF; AD^^ qui rencontre Taxe de la surface au point A, é.
Or, supposons le point de rencontre trouvé , et imaginons que ce point tourne autour de Taxe : ce point décrira une circonférence qui peut être considérée comme la base d'un cône qui aurait pour sommet le point A, c'.
On voit d'après cela que le problème revient à trouver Tintersection de la génératrice de la surface gauche donnée avec le cône droit dont le sommet est kje\ et dont la génératrice est AD^» e'D.
En effet, si je trouve ce point de rencontre du cône auxiliaire avec la génératrice de la surface gauche, j'aurai le parallèle de la surface de révolution sur lequel se trouve le point d'intersection de la surface gauche avec la droite a' D, AD^, et, par suite, j'aurai le point cherché : car on obtient immédiatement l'intersection d'une droite parallèle au plan vertical avec un plan horizontal.
Il est donc bien démontré que nous devons chercher l'intersection d'une droite avec un cône.
Or, supposons cette intersection trouvée i et menons un plan par la droite donnée et le sommet du cône : l'intersection du plan avec le cône sera une génératrice de ce cône,, et le plan auxiliaire contiendra la parallèle à la droite donnée, menée par le sommet du cône.
Ainsi la trace horizontale du plan auxiliaire passera par la trace horizontale Q de la droite mn, m^v! ; elle
116 INTKRSEGTIO^S.
passera aussi par la trace horizootale de la parallèle c'o', ADj, à la ligne mn, m^nJ.
La trace horizontale du cône est d'ailleurs le cercle décrit du point A comme centre avec ADj pour rayon. Ce cercle est coupé par la trace horizontale OQ du plan auxiliaire, aux points W, W^.
Sur le cône, les génératrices d'intersection sont en projection horizontale AW et AW^ : la première rencontre mn en t" ; Tautre rencontre mn en w".
ki^ se reporte en Ai sur AD^, et en V sur DF : iV est un sommet de la section.
'^' se reporte en u sur AD^ , et en vl sur DF : donc uu^ est le second sommet.
ScoLiE I. Nous engageons le lecteur à faire, comme dans le problème qui précède, une section méridienne de la surface de révolution par un plan parallèle au plan vertical.
Sgolie il Une même surface de révolution peut être engendrée d'une infinité de manières; car une ligne quelconque tracée sur la surface et tournant autour de Taxe de révolution, engendre les mêmes parallèles, et par conséquent la même surface de révolution.
C'est ainsi que, dans la génération de la surface donnée dans ce même problème, une autre droite placée, relativement à un plan méridien, dans une position symétrique à la droite génératrice donnée , formera la même surface de révolution.
Cette surface réglée de révolution est une surface
gauche, et pourtant Ton voit qu'en chaque point de la surface on peut placer deux droites *.
PROBLÈME IX (figure 54).
Trouver Vinterseclion de deux surfaces de révolution dont les aœes se coupent et dont les méridienssont donnés.
Nous prenons, dans la figure 54, le plan yerticalde projection parallèle au plan des axes des deux surfaces de révolution , le plan horizontal de projection étant perpendiculaire à Tun des axes de révolution.
On détermine l'intersection demandée, par remploi de surfaces auxiliaires différentes du plan.
Soit prise pour la surface auxiliaire une sphère ayant pour centre le plan de rencontre des deux axes donnés.
Cette sphère rencontre la première surface de révolution suivant une circonférence de cercle; elle rencontre la seconde surface de révolution suivant une seconde circonférence de cercle; or ces deux circonférences sont situées sur la même sphère; donc, si elles se rencontrent, leurs points communs appartiendront à Tintersection de deux surfaces de révolution données.
En prenant successivement des sphères auxiliaires
de rayon variable, on déterminera, par ce procédé,
autant de points qu'on voudra de l'intersection des
deux surfaces de révolution données.
Mais chacun des cercles parallèles obtenus au
* On trouvera , au chapitre ui , les indications qui complètent la théorie de cette surface gauche de révolution.
118 1NTER6BCTI0MS.
moyen de ces sphères est perpendiculaire à Taxe correspondant de la surface de révolution que Ton considère; or cet axe est parallèle au plan vertical : donc le plan de ce cercle parallèle sera perpendiculaire au plan vertical; par suite les intersections des traces verticales des plans de ces cercles parallèles, correspondant à chaque sphère auxiliaire, seront les projections verticales des intersections des parallèles de chaque révolution.
Décrivons donc du point de rencontre des axes plusieurs circonférences concentriques, on pourra les considérer comme les projections verticales des limites des sphères.
Ces circonférences couperont chaque courbe méridienne en deux points.
La droite passant par ces deux points donnera la trace verticale du parallèle correspondant , et le point de rencontre de ces traces donnera un point de la projection verticale de l'intersection des deux surfaces de révolution.
Dans la figure 55 , les deux surfaces de révolution sont des ellipsoïdes.
La première a pour axe la verticale A aV, dont la trace horizontale est A; la courbe méridienne est l'ellipse ^hlUf qui est projetée en véritable grandeur sur le plan vertical de projection.
La seconde surface a pour axe la droite dkC cfiJf, qui est parallèle au plan vertical. Le point C est la trace horizontale de cet axe, et la ligne dAC est parallèle à la ligne de terre. Le méridien n'pV de cette seconde
surface est la projection verticale de la section plane faite dans Tellipsoïde par un plan parallèle au plan vertical passant par Taxe.
Les deux axes se coupent en A f* : c'est ce point de rencontre qui sert de centre pour les sphères auxiliaires de rayons variables.
Il faut remarquer encore que si Ton coupe les deux surfaces de révolution et une sphère auxiliaire par le plan des deux axes, on obtient les deux ellipses méridiennes et un grand cercle de la sphère auxiliaire. Ces trois courbes se projettent en véritable grandeur sur le plan vertical.
Nous pouvons donc nous borner à indiquer des constructions planes pour le plan vertical de projection.
Déterminons un point de Tintersection des deux surfaces de révolution.
Pour cela , du point f comme centre , avec un rayon égal à /*'/, nous décrivons un cercle /m'sV. La droite r's' est perpendiculaire sur ctdf et la droite M est perpendiculaire sur c^y. Le point de rencontre e' de ces deux droites /s' et wV est la projection verticale d'un point commun aux deux ellipsoïdes.
La projection horizontale s'obtient en décrivant une circonférence sur le plan horizontal de projection du point  comme centre , avec un rayon égal à la moitié de M. Puis, en menant par e' une perpendiculaire à la ligne de terre, on obtient ainsi la projection horizontale e, e^ correspondante au point e!. Ces points e et e^ sont symétriquement placés par rapport à la droite rfAC.
On voit donc que, s'il y a eu projection horizontale des sommets de la courbe d'intersectian y ils se trouvent sur Taxe (2AG.
Ces sommets sont donnés par les intersections des méridiens des deux surfaces.
Le point U de la première ellipse est un sommet de cette courbe; il donne les points a?', x et a/, x^ de Tintersection cherchée. Ces points sont placés sur le grand parallèle de la première surface, dont le diamètre est /w.
Sgolie. Les limites de ces éléments ne permettent pas d'entrer dans les détails de constructions relatives à des intersections de surface de révolution de toute nature. On sait que les surfaces de révolution sont très-fréquemment employées dans les arts de construction; aussi nous avons donné, planche 23, des exemples graphiques de l'intersection de ces surfaces de révolution entre elles.
Trouver Vmtersection d'un cône et d'un cylindre.
Ce problème se résout par la méthode générale. On mène par le sommet du cône une parallèle à une génératrice du cylindre. Par cette droite et l'une des génératrices du cône, on conduit un plan qui coupe les deux surfaces suivant deux droites qui se coupent en un point appartenant à la courbe cherchée. En répétant cette construction un certain nombre de fois, on obtient autant de points de la courbe que l'on voudra.
INTERSECnONS. 121
En joignant les points obtenus suflisamment rapprochés par un trait continu , on trouve la courbe cherchée.
Nous remarquerons deux cas qui peuvent se présenter.
Il y aura arrachement lorsque la tangente à Tune des bases directrices sera sécante à Tau Ire , et réciproquement. Nous obtiendrons une courbe d'entrée et une de sortie , c'est-à-dire une pénétration , lorsque les tangentes à Tune des bases seront toutes deux sécantes à la seconde base.
Enfin, les deux courbes d'entrée et de sortie se toucheront lorsque les deux bases auront des tangentes communes. Le point ou les deux points de contact prennent le nom de points multiples.
Il est évident d'ailleurs que les courbes de pénétration peuvent devenir tangentes l'une à l'autre , comme nous l'avons vu dans d'autres cas.
Trouver Vintersection d'un cône et d'une sphère quel-conque.
On mène la droite qui est déterminée par le sommet du cône et le centre de la sphère. Par cette droite, on fait passer des plans qui donnent, d'une part, des grands cercles de la sphère, d'autre part, des génératrices du cylindre. On opère le rabattement de chacun de ces plans sur l'un des plans de projection. On détermine les intersections des grands cercles et des
génératrices ainsi rabattues , et on relève chacun de ces points. L'ensemble de leurs projections donne les projections de l'intersection demandée.
Il peut y avoir ici pénétration ou arrachement , et même des courbes, avec un point multiple.
Dans le premier cas , les projections des génératrices limites du cône seront toutes quatre sécantes aux projections de la sphère.
Dans le second cas, Tune des génératrices limites ne rencontre pas les projections correspondantes de la sphère.
Dans le troisième cas, Tune des génératrices limites est tangente àla projection correspondante delà sphère.
PROBLÈME Xn.
Trouver l'intersection d'un cylindre et d'une sphère ^ ou y plus généralement, d'un cylindre et d'une surface de révolution.
Le procédé applicable à ce cas est la combinaison des problèmes relatifs à Tintersection d'un plan avec une surface de révolution et une surface cylindrique.
On conçoit un plan parallèle à l'un des plans de projection, celui qui est perpendiculaire à l'axe de la surface de révolution. Ce plan coupera le cylindre, généralement, suivant une courbe semblable à la directrice du cylindre, la surface de révolution suivant un parallèle. Ces deux courbes se rencontrent en des points qui appartiennent à l'intersection cherchée.
INTSBSBCnONS. 123
Ces courbes auxiliaires se projettent sur le plan parallèle à leur plan, en véritable grandeur , en sorte que le problème n'offre aucune difficulté.
Il est inutile de répéter encore ici que les intersections peuvent offrir les trois variétés déjà détaillées dans le problème précédent.
ScoLiE. On peut s'exercer à la recherche de Tintersection d'une sphère et d'un cylindre oblique ayant pour base un grand cercle de la sphère.
On trouve que la courbe d'intersection est un autre grand cercle de la sphère.
Trouver l'intersection de trois cylindres, et généralement de trois surfaces.
On prend la courbe d'intersection du premier et du second cylindre, comme au problème V. On prend ensuite l'intersection du premier et du troisième cylindre. Les points d'intersection de ces deux lignes donnent le point cherché.
On peut présenter autrement cette solution. On prend, comme ci-dessus, l'intersection des deux premiers cylindres : cette courbe obtenue, on prend l'intersection du troisième cylindre avec cette courbe, ce qui est un cas particulier du problème général suivant :
Généralement, si l'on veut trouver l'intersection de trois surfaces données, on prend l'intersection des deux premières, et l'intersection de la première et de
la troisième : les points communs à ces deux lignes seront les points demandés.
La recherche du point commun à trois sphères est trop facile pour nous arrêter.
Il faut, pour éviter des erreurs, employer de préférence la solution générale : cette remarque est trèsimportante.
Trouver V intersection d'une ligne courbe avec une surface quelconque.
La courbe donnée est située sur un cylindre droit vertical , dont la base est placée sur le plan horizontal, et n'est autre que la projection horizontale de la courbe donnée. On cherche l'intersection de ce cylindre droit avec la surface. La ligne droite ou courbe auxiliaire trouvée en projection verticale , donne , par ses intersections avec la projection verticale de la courbe donnée, les projections verticales des points de rencontre cherchés.
Ce problème est d'une très-grande importance, et le lecteur devra varier les données de problèmes de cette espèce, et s'exercer aux constructions nécessaires à la détermination des points d'intersection.
Trouver l'intersection d'un tore par un plan ou par une surface quelconque.
On nomme tore la surface de révolution engendrée par un cercle tournant autour d'un axé extérieur.
Cette surface est fréquemment employée dans lea applications : c'est pour cette raison que nous Tayons mentionnée. Le lecteur devra appliquer à cette surface spéciale la solution des problèmes généraux qui précèdent , en variant , dans chaque cas particulier, la position de la surface sécante relativement à la surface du tore.
Nous avons donné, planche 23, un exemple de Tintersection d'un tore avec une série de plans parallèles entre eux.
Suivant que le plan sera plus ou moins incliné aux plans des parallèles, et plus ou moins rapproché du centre du tore, on aura pour intersections :
V une courbe fermée sans point multiple, 2"* une courbe fermée avec point multiple, 3® deux courbes séparées et fermées.
ScoLiE. La surface du tore est un exemple simple d'un genre particulier de surfaces dont chacune est nommée surface canal. Ce sont des surfaces telles que dans des points voisins très-rapprochés on peut obtenir des sections circulaires égales.
Le cylindre droit à base circulaire est une surface canal ; un cylindre oblique à base circulaire est aussi une surface canal.
Si l'on suppose que le centre d'un cercle se meuve sur une courbe directrice quelconque, le cercle restant parallèle à un plan constant, le rayon du cercle étant de longueur constante, on aura encore une surface canal.
Si ce cercle est guidé par une hélice , on a la surface de la colonne torte.
Un genre plus étendu encore de surface canal est produit par le mouvement d'un cercle de grandeur constante, dont le centre se meut sur une courbe donnée , et dont le plan reste perpendiculaire aux éléments de la courbe directrice.
Trouver V intersection de deux surfaces de révolution dont les axes ne se rencontrent pas.
Prenons la question dans toute sa généralité.
Il est évident qu'il sera plus simple de prendre pour surface auxiliaire un plan perpendiculaire à Taxe de l'une des surfaces : car la section du plan avec cette surface de révolution est un parallèle.
On déterminera ensuite la courbe d'intersection de ce plan auxiliaire avec la seconde surface de révolution j par un procédé indiqué dans le problème général de l'intersection d'une surface de révolution par un plan.
On obtient ainsi deux courbes auxiliaires placées dans le même plan : les points de rencontre de ces courbes sont des points communs aux deux surfaces de révolution , et par conséquent ces points sont des points demandés.
On prendra autant de plans sécants auxiliaires qu'il sera nécessaire pour obtenir un nombre assez grand de points de l'intersection des deux surfaces de révo-
INTBR8KCTI0NS. 127
lution ; puis l'on unira ces points par un trait continu s'il y a lieu.
Pour simplifier les constructions, on pourra d'abord prendre le plan vertical de projection parallèle aux deux axes des surfaces de révolution , puis le plan horizontal perpendiculaire à Tun des axes donnés. 11 résultera de ce choix des plans de projection que, si Ton prend des plans auxiliaires horizontaux, les courbes auxiliaires se projetteront en véritable grandeur sur le plan horizontal de projection.
Si Ton donne spécialement deux surfaces de révolution, chacune d'elles étant engendrée par une ellipse tournant autour de Tun de ses axes , Tune des courbes d'intersection des plans auxiliaires sera une ellipse dont on trouvera les axes.
Il est évident qu'il sera inutile de tracer toutes ces ellipses semblables obtenues au moyen des plans auxiliaires parallèles.
En effet, on pourra opérer au moyen d'un procédé de glissement et d'amplification par similitude , c'està-dire supposer deux cônes ayant un même sommet , et ayant pour bases d'une part le cercle donné et d'autre part l'ellipse donnée qui sont situés dans le même plan auxiliaire; on fait glisser les courbes données des deux cônes jusqu'à ce que l'ellipse qui sert de base au premier cône vienne s'appliquer sur l'ellipse semblable.
Ainsi dans ce mouvement le cercle se déplace et vient donner les intersections demandées, que Ton rétablit ensuite dans leur position véritable.
Le lecteur devra s'exercer à faire ces constructions à main levée , et à chercher des exemples généraux et variés d'intersections de surfaces de révolution.
On trouvera au chapitre vi d'autres exemples d'intersections de surfaces.
ScoLiE GÉNÉRAL. Pour complétCT cc qui est relatif aux intersections des surfaces entre elles , il faudrait tenir compte des surfaces gauches en général.
Ainsi on aurait , en procédant par ordre , à trouver ;
V Tintersection d'une surface gauche par un plan; 2"* l'intersection d'un cylindre ou d'un cône avec
une surface gauche;
3** l'intersection d'une surface de révolution avec une surface gauche;
V enfin, l'intersection de deux surfaces gauches entre elles.
C'est au chapitre v, où l'on traite spécialement des surfaces gauches , que se trouvera placé ce complément.
