Il est d'ailleurs un autre genre de surfaces

développables auquel la construction de la sphère

178 SURFACES DÉVELOPPABLES

ne pourrait pas s'adapter ^ et que la géométrie descriptive ne peut se refuser de considérer, c'est le cas d'une surface engendrée par le prolongement de toutes les tangentes à une courbe quelconque à double courbure.

De quelque manière que soit limitée la surface, on la décomposera facilement en triangles en menant deux tangentes voisines dont on construira les longueurs ainsi que les distances de leurs extrémités. Le petit triangle ainsi obtenu sera un des éléments de la surface; l'élément suivant, construit de même, se juxtaposera à partir du petit côté. L'ensemble de ces petits côtés sera la transformée de la courbe qui limite la surface, tandis que les sommets de tous les triangles qui ne coïncideront pas comme dans le développement du cône, donneront la transformée de la courbe directrice , qui est l'arête de rebroussement de la surface développable. Si la courbe limite de la surface a une tangente dans l'espace, cette tangente fera, dans le développement avec la génératrice, le même angle que dans l'espace, ce qui donnera une construction identique à celle de la tangente à la transformée dans le cas du cylindre ou du cône.

12. D'après plusieurs auteurs, il semblerait qu'il est nécessaire de connaître la forme de la transformée de la courbe donnée pour opérer le développement; on voit que rien n'est moins utile. Il en résulterait que le nombre des surfaces pratiquement développables serait extrêmement restreint, et que la géométrie descriptive devrait emprunter à la géométrie analytique

BT DÉVELOPPEMENT DE CBS SURFACES. 170

des notions auxiliaires. Or rien n'est plus contraire à Fesprit de cette science. On peut même dire que les notions théoriques sur les arêtes de rebroussement, parfaitement inutiles pour la construction du développement qui nous occupe, ne devraient pas être prononcées. Rien n'est moins philosophique que d'employer dans une science des notions empruntées à une autre science, et ici surtout ces termes tecliniques semblent être employés pour rendre inabordables aux hommes de pratique, ces belles généralités de la science de Monge.

La géométrie descriptive n'exige pas d'autres connaissances que celles qui ont été exposées dans nos préliminaires.

PROBLÈME I (figures 42 et 43).

Développer le cylindre droit à base circulaire et à gênératrices verticales; trouver la transformée de l'intersection de ce cylindre par un plan , et mener la tangente à celte transformée en ïun de ses points.

Nous avons déterminé, problème I du chapitre ii, les points de l'intersection du cylindre droit dont la base est le cercle MNP... par le plan DFG.

Les projections des points de cette intersection sont M, m';P,p'; ... N, fi.

Nous pourrions opérer le développement en commençant par une génératrice rectiligne quelconque. Nous supposerons que c'est à partir de la génératrice qui passe au point M que nous ferons ce développe-

tôO SURFACES DÉVKLOPPÀBLBS

ment, en faisant rouler moitié du cylindre à gauche et moitié à droite.

Nous prenons donc la longueur de la circonférence dont le rayon est CM, et nous la supposons rectifiée sur la ligne droite M^^N^, pour la moitié M...DiPNy et pour Tautre partie, en M/^Nj^S dans la figure 43.

La circonférence du rayon CM de la figure 42 a été divisée en douze parties égales; la ligne Nj^Nj^' sera aussi divisée en douze parties égales.

Aux points de division de cette droite N^N^', nous élevons des perpendiculaires à cette droite/ sur lesquelles nous portons des longueurs égales aux longueurs des génératrices du cylindre limité par un plan parallèle à la base du cylindre : ces longueurs sont terminéespar une parallèle à N^N^'. Le rectangle qui en résulte est le développement du cylindre limité.

Si l'on voulait représenter le cylindre indéfini développé, il faudrait prolonger dans tous les sens les longueurs des génératrices qui peuvent être menées par les points de N^N^'.

Mais voyons ce que deviennent, dans ce développement du cylindre, les points de la courbe d'intersection du cylindre par le plan DF6 , qui est perpendiculaire au plan vertical.

Le point M> ni est distant du plan horizontal d'une longueur ni m^. Portons cette longueur de M^ en M< sur la perpendiculaire à M^N^ : M, sera le transformé du point M , m^ Opérons de la même manière pour tous les points de division de la circonférence rectifiée, et nous aurons la transformée N|P,D|...M,...N,', en