BT DEVELOPPEMENT DE CES SURFACES

joignant les points obtenus au moyen d*un trait continu*.

En nous reportant aux considérations générales qui précèdent y nous voyons que cette division en parties égales est puérile; que d'ailleurs cette rectification de la base du cylindre n'est possible que lorsque cette base est une circonférence de cercle, et même que si cette base n'est pas divisée en parties égales, cette rectification ne servirait à rien, puisqu'il faudrait porter sur cette base rectifiée des longueurs égales à celles des arcs de cercle quelconques.

Nous renvoyons à ces considérations générales pour la solution pratique des problèmes dans tous les cas qui peuvent se présenter.

Menons au point D^ de la transformée la tangente à cette courbe. Dans la figure 42 la tangente au point Dj , d' vient rencontrer le plan horizontal de projection au point R : cette tangente est l'hypoténuse du triangle

* On a pensé qu'il sérail utile d'imaginer que le cylindre pouvait rouler indéfiniment sur le plan du développement , et Ton s'est demandé ce que serait la courbe transformée de l'ellipse d'intersection du cylindre droit et du plan.

La courbe transformée est une courbe égale à NtPf... Di... Hf... NV- % répétée autant de fois qu'on a fait rouler complètement le cylindre. Celle courbe, ainsi considérée d'une manière indéfinie» est une sinusoïde.

Nous avons noté seulement le nom de cette courbe pour nous conformer à l'usage ; ce nom n'est point nécessaire en géométrie descriptive, pas plus qu'un grand nombre d'autres dénominations, introduites malheureusement dans le langage de la géométrie descriptive.

On peut demande^aussi les points d'inflexion de la transformée, mais ces (Considérations sont étrangères à la géométrie descriptive proprement dite.

182 SURFACES DÉVELOPPÀBUIS

rectangle qui a pour base D^R , et pour hauteur d^dl. Après le développement , ce triangle rectangle s'appliquera sur le plan du développement en D^D/^R égal au triangle rectangle de Tespace.

Au point M,, la tangente est parallèle à la droite Mj^N/., ou mieux elle est perpendiculaire à la génératrice rectiligne M^M;^.

Il en est de même de la tangente au point N, et au poipt N,*.

ScoLiE. Si Ton donne un cylindre droit à base quelconque^ on divisera cette base en un nombre de parties quelconques d'ailleurs ^ mais assez petites pour que leurs cordes puissent être sensiblement prises respectivement pour les arcs. On portera sur une ligne droite des longueurs égales à ces cordes , et par les points de division ^ on élèvera des perpendiculaires indéfinies à cette droite principale; on obtiendra ainsi le développement de ce cylindre droit indéfini.

Si une courbe quelconque est donnée sur le cylindre, la transformée de cette courbe s'obtiendra, sur le développement, par la construction des longueurs des génératrices égales aux distances dés points correspondants de la courbe donnée à la base. Si cette base est horizontale, ces distances sont données par les longueurs des projections verticales des génératrices, à partir des projections verticales des points jusqu'à la ligne de terre.

La tangente en un point de la transformée s'obtiendra comme il a été dit dans le problème ci-dessus.

BT BÉVELOPPBimrr DE CES SURFACES. 183

PROBLÈME II (figures 51 et 51 bis).

Développer le cylindre oblique au moyen de la section droite de ce cylindre, et rapportei^ à ce développement la courbe directrice plane et horizontale de ce cylindre oblique.

La base horizontale du cylindre oblique donné est ABCD...F...H. Les génératrices sont parallèles à ap, djl. Le plan perpendiculaire aux génératrices qui donne la section droite est le plan UVX.

Nous avons déterminé, problème III, chapitre ii, la section droite , et nous pouvons obtenir cette section droite en rabattant sur le plan horizontal de projection le plan UVX autour de sa trace horizontale comme charnière. Les distances de la section droite à la charnière sont obtenues, pour plus de simplicité, au moyen de triangles rectangles auxiliaires; ou plutôt au moyen des cordes des deux circonférences décrites sur les projections horizontales des génératrices comme diamètres. La figure 51 suffît pour faire comprendre ces constructions.

Supposons qu'on ait partagé la section droite rabattue en un assez grand nombre de parties quelconques d'ailleurs, mais telles que les cordes de ces arcs puissent èive graphiquement confondues avec les arcs correspondants.

Nous portons ces cordes sur la ligne droite WN , en conservant Tordre de leur succession , et nous supposons que le cylindre s'ouvre par la génératrice qui passe au point F de la trace horizontale du cylindre.

184 SURFACES DEYELOPPABLES

Cela fait) nous élevons par chaque point de division de cette droite des perpendiculaires, et sur ces droites nous portons les longueurs des côtés des triangles rectangles auxiliaires adjacents aux points correspondants.

C'est ainsi que la courbe transformée est trouvée et donne les points successifs F,... M^... G,.. «A,... H,.,. F,', que Ton réunit par un trait continu.

Un cylindre quelconque étant donné y trouver le développement de ce cylindre , et décrire la transformée d'une courbe quelconque tracée sur sa surface ^ par exemple Vintersection de deux cylindres ou V intersection d'un cône et d'un cylindre.

Nous supposons ici qu'il est impossible de trouver dans les limites de Tépure la trace horizontale de ce cylindre.

On se gardera ) dans ce cas général , de faire la section droite, et l'on se reportera aux considérations qui précèdent.

Ainsi on prendra un point sur chaque génératrice, indépendamment du point de la courbe qu'il s'agit de transformer, et choisissant des génératrices très-voisines, on construira des trapèzeâ en les partageant chacun en deux triangles au moyen d'une diagonale.

Le procédé consistera donc, définitivement, dans la construction de triangles successifs que l'on juxtaposera sur un même plan, dans Tordre indiqué sur le cylindre lui-même.