BT DÉVELOPPEMENT DB CES SURFACES

Le développement se trouvera effectué, et par suite, en traçant une courbe par les points obtenus, on aura la transformée de la courbe donnée.

On a vu comment on trouverait aussi la tangente en un point de la transformée, par la construction d'un triangle auxiliaire.

ScoLiE. C'est par une transformation.de cette nature qu'on obtient les panneaux des voussoirs d'un pont biais à courbes orthogonales.

On peut appliquer, dans ce cas, le calcul pour vérifier les constructions; mais il est évident qu'on peut se passer du calcul, et dans ce cas on doit le faire, afin de généraliser l'application de méthodes pratiques devant lesquelles on recule souvent à cause des formules algébriques transcendantes à employer.

PROBLÈME IV (planche 26).

Développer un cylindre droit à base circulaire , et trouver la transformée d'une hélice tracée sur sa surface.

L'hélice cylindrique en général est une courbe telle que ses éléments consécutifs font le même angle avec les génératrices, en sorte que si l'on prend des génératrices successives équidistantes , les portions de l'hélice, correspondantes à des distances égales, sont égales.

Cette définition montre comment on doit trouver les projections d'une hélice définie par l'angle qu'elle forme avec les génératrices du cylindre.

186 SUBFACES DÉVILOPPABLBS

Pour rhélice tracée sur un cylindre droit à base circulaire^ on divise la base en parties égales, et Ton porte sur les projetantes verticales correspondantes , des longueurs proportionnelles aux chemins parcourus sur le cercle de base, en allant dans le même sens.

Cette hélice, pour un cylindre indéfini, est une courbe indéfinie, et Ton nomme pas de Thélice, la longueur constante minimum d'une génératrice comprise entre deux points de la courbe.

On nomme spire la portion de la courbe comprise entre les extrémités d'un des pas de Thélice.

D'après la définition, on voit que la transformée d'une spire d'hélice cylindrique est une ligne droite, et que la transformée d'une hélice indéfinie, ou plutôt composée de plusieurs spires, est une suite de lignes droites parallèles entre elles , faisant toutes un angle constant avec les génératrices.

La tangente à l'hélice , après le développement , se confond avec la transformée de la courbe.

Le lecteur voit, lui-même, comment la planche 26 représente un cylindre avec son hélice, et le développement de deux spires de cette hélice.

ScoLiE L On doit s'exercer à faire des constructions d'hélices sur un cylindre quelconque, et spécialement sur un cylindre droit à base elliptique ou à bases courbes quelconques, et enfin à bases courbes raccordant des portions de lignes droites^

L'hélice est la seule ligne, différente de la droite et

ET DBVBLOPPEMBNT DB CES SUEFACES. 187

du cercle y qui est telle que toutes ses parties coïncident : c'est pour cette raison que Thélice est une des courbes dont on fait le plus d'usage : dans la mécanique, pour les vis; dans tes constructions, pour Tescalier; dans Tart nautique, pour les roues des bateaux à vapeur, etc., etc.

ScoLiE II. L'héliçoïde développable est la surface réglée engendrée par Tensemble des droites tangentes à tous les points de Thélice. Il est évident que cette surface est une surface développable, puisque deux à deux les génératrices voisines se rencontrent.

Le développement de cette surface sera effectué par les procédés indiqués dans les généralités de ce chapitre.

ScoLiE m. On peut demander de mener une tangente à une hélice parallèlement à un plan donné.

Pour cela, on fait cette remarque : les tangentes à riiélice faisant toutes des angles égaux avec les génératrices correspondantes, il en résulte que si, par un point de ^a^xe, on mène des parallèles à ces tangentes à rhélîce, on formera un cône droit à base circulaire, toutes les génératrices formant, avec Taxe du cylindre, l'angle constant de l'hélice avec les génératrices du cylindre. Par suite, pour mener la tangente parallèle au plan donné, on coupera le cône auxiliaire par un plan parallèle au plan donné. Les génératrices d'intersection sont parallèles aux tangentes demandées, en sorte qu'on pourra les déterminer par une construction ultérieure et très-simple.

188 SURFACES DÉVBLOPPABLES

PROBLÈME V (figures 44 et 45).

Développer un cône droit à base circulaire y et transformer la courbe d'intersection de ce cône droit donné avec un plan perpendiculaire au plan verticat^ la courbe d'intersection étant une courbe fermée.

Le cône droit donné a pour axe vertical la droite verticale dont la trace est en S. Le sommet a pour projection verticale le point 5^; la base horizontale du cône est le cercle dont le rayon estSM. Le plan sécant perpendiculaire au plan vertical est FGHy et d'ailleurs la courbe d'intersection trouvééapour projection horizontale la courbe bcagr...d...; la projection verticale de l'intersection est sur la droite dal^]i...dl.

Nous avons aussi conduit la tangente à l'intersection par un de ses points g^ ^.

On indique ordinairement le développement par cette méthode*

D'un point S, comme centre , avec un rayon égal à la longueur de la génératrice du cône, longueur égale à slrrly on décrit une circonférence de cercle sur laquelle on porte une longueur égale à la circonférence du cercle , dont le rayon est SM.

C'est autour du rayon S^P^, à droite et à gauche^ que l'on développe le cône droit donné, en sorte que le cône développé est représenté par le ^secteur

M'ÂM,Q,...P,.

On a divisé le cercle de base du cône donné , en douze parties égalés; en sorte que le secteur, dont la base est l'arc de cercle M/P^M,, est divisé en douze parties égales aux arcsMN, NQ, etc., avec cette réserve,

BT DÉV£LOPPBil£NT M CBS SURFACES. 189

que les arcs ne sont' superposables que si l'on prend ces longueurs rectiGées, car ils n'appartiennent pas à des circonférences de même rayon.

Pour plus d'exactitude y il faudrait diviser par tâtonnements , avec le compas, chaque douzième de la circonférence de rayon SM> en un nombre de parties assez grand pour que les cordes de ces petites parties puissent être considérées comme égales aux arcs sous* tend4is.

La transformée de la courbe d'intersection s'obtiendra , sur les rayons du secteur, au moyen de longueurs portées sur les rayons , ces longueurs étant égales aux distances du point S, s aux points de la courbe d'intersection donnée. Ces longueurs sont, en général, données par les longueurs de leurs projections horizontales et verticales, et pour les génératrices du cône situées sur SM, S'M' etSP, S'F, elles sont données en véritable grandeur par les lignes 5'c', sfd!

On a trouvé de cette manière des points Cj*...D,... Gp..Â|...Q, que Ton unit par un trait continu; en sorte que la transformée est décrite sur la figure 45*.

Trouvons la tangente à la transformée du point G,, qui correspond au point du cône dont les projections sont g et ^.

La tangente à la courbe donnée en ce point du cône

* On pourrait chercher où se trouve le point d'inflexion de la courhe transformée, mais cette recherche n'est yéritablement pas du ressort de la géométrie descriptive, et nous ne la traiterons pas dans cet ouvrage, par les considérations que nous avons surabondamment exprimées en plusieurs circoostaoces.

190 SURFACES DÉVBLOPPÂBLES

vient rencontrer le plan horizontal en X (figure 44) ; donc QX est perpendiculaire à la génératrice du cône qui passe au point Q. Ainsi nous connaissons un triangle rectangle formé : par la tangente à la courbe au point g', g^ c'est l'hypoténuse; par la portion de la génératrice du cône compris entre le point G et le point Q; et enfin par la longueur QX. Après le développement^ ce triangle s'appliquera sur le plan du développement : c'est ce triangle rectangle qui est construit enG,X,Q,.

SooLiE. Nous avons supposé> dans cette construction, que le sommet du cône était placé dans les limites de l'épure. Si Ton voulait faire ce développement dans le cas où le sommet serait en dehors de l'épure, on voit qu'il faudrait construire des quadrilatères donnés par les projections de leurs côtés et les^ projections de l'une de leurs diagonales.

Cette dernière construction indiquée a l'avantage de convenir à un cône quelconque, et même pour une portion limitée d'un cône quelconque dans lequ<3l on pourrait supposer que la directrice fût une courbe à double courbure.

PROBLÈME VI (figures 46 et 47).

Développer un cône droit à base circulaire, et trouver la transformée d'une courbe plane à branches infinies placée

sur ce cône; trouver la position des asymptotes après le développement.

Nous prendrons les mêmes considérations que dans