ET DÉVSLOPPBMBNT D8 CES SURFACES

le problème précédent. Nou8 ferons observer seulement qu'il faut s'oceuper du développement des deux nappesducône : c'est ce développement des deux nap« pes qui donne les courbes D^Â^y^et D^B,,^, ces portions étant séparées parce que le cône a été ouvert suivant la génératrice SP de Tespace.

La considération des asymptotes se déduit de celle des tangentes. Ces tangentes s'appliquant sur le développement du cône, les asymptotes devront également s'y appliquer* 11 suQira de connaître un de leurs points et leurs directions : c'est ce que la construction suivante indique.

On a placé sur le développement du cône les génératrices parallèles aux asymptotes , et comme les asymptotes sont des tangentes à l'infini, elles se placeront sur le développement parallèlement aux génératrices transformées, à une distance marquée par XW pour l'une^ et pour l'autre par X' W.

PROBLÈME VU (figure 48).

Développer le cône à base elliptique , dont le sommet est s, s', et trouver la transformée de la courbe d'intersection des deux cônes donnés^ ainsi que la tangente à la transformée de celte courbojnême par le point à , à!.

Cet exercice se fera au moyen de la construction de triangles ayant leurs sommets au point S de l'espace, ou mên\e par l'emploi de quadrilatères donnés par les quatre côtés et l'une des diagonales de chacun de ces quadrilatères^ En effet, chacun de ces quadrilatères sera composé de deux portions de génératrice et de

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deux cordes suffisamment petites pour se confondre sensiblement avec les arcs de courbes qui limitent le petit quadrilatère à construire.

Une diagonale y construite par la distance de deux sommets opposés du quadrilatère , partagera ce quadrilatère en deux triangles , que Ton construira au moyen de leurs trois côtés respectifs.

Dans cette construction, qui est le cas général de tous les développements, on n'a nullement besoin de connaître le sommet du cône ou la trace horizontale de ce cône.

Quant à la tangente, on construira, comme il a été dit, un triangle formé païf une portion de la génératrice, une portion de la tangenie, prises Tune et l'autre à partir du point de contact, et la ligne droite qui unit les extrémités des deux autres lignes.

Une courbe quelconque à double courbure étant donnée, si Von prolonge toutes les tangentes à celle courbe ^ on obtient , comme on Va déjà vu, une surface développable. On demande de construire ce développement dans le cas où la courbe donnée est une hélice, cette surface étant connus sous le nom d'héliçoïde développable.

On verra que, tandis que dans le cône les triangles partiels qui servent au développement ont tous un côté commun, ici les triangles sont juxtaposés de manière que leurs sommets successifs forment une courbe qui est la transformée de la courbe à la fois directrice et génératrice.