CHAPITRE VIL
i. La perspective en général a pour objet de représenter sur une surface , ou plus ordinairement sur un plan , les contours ou les points remarquables d'un ensemble d'objets dont les distances, à Toeil de Tobservateur, sont très-variées et influent considérablement sur le diamètre apparent.
On désigne sous ce nom de diamètre apparent Tangle sous lequel on aperçoit la dimension principale de l'objet à représenter.
Dans cette perspective, Tœil est considéré comme un point ou centre auquel arrivent une infinité de rayons lumineux rectilignes partis des objets environnants.
La perspective ou le tableau se composera donc de l'ensemble de toutes les traces que laisseraient tous ces rayons sur un plan, que l'on choisit ordinairement vertical et perpendiculaire à l'horizontale menée par l'œil vers le milieu de l'ensemble des objets à représenter.
On devra éviter de mettre en perspective des. objets trop écartés de cette ligne moyenne, car alors l'obliquité des rayons visuels altérerait considérablement la forme des objets.
236 PBRSPBcrivE.
2. La perspective ainsi conçue est une yéritable projection conique et tout à fait inverse du problème des ombres, où des rayons partant d'un point lumineux et rasant les contours d'un corps, vont aussi porter sa projection sur une surface ou sur un plan.
Ainsi, Tombre dans Tun des cas, et la perspective dans Tautre, sont réellement des projections coniques.
De même que les ombres, les perspectives peuvent servir à transformer les unes dans les autres des courbes qui ont certaines analogies, et, par exemple, toutes les sections coniques.
La plus remarquable peut-être des perspectives est celle des mappemondes, dites stéréographiques, où la surface d'un hémisphère est représentée sur le grand cercle qui lui sert de base, Tœil étant placé au pô^e opposé de ce même hémisphère.
Cette perspective, dont on fait remonter Tinveation àHipparque, et qui peut être employée utilement pour les cartes célestes, jouit de l'avantage remarquable de représenter des cercles par des cercles, et de reproduire fidèlement les angles d'intersection de deux courbes quelconques , tout en altérant profondément les surfaces des diverses portions de la sphère terrestre ou céleste dont elle est la perspective.
3. Les représentations des objets de la chambre noire , sur une toile plane ou courbe ; le daguerréotype avec une plaque argentée, plane, cylindrique ou sphérique; les images qui viennent se peindre au fond de l'oeil, sur la surface courbe très*compliquée de la rétine; les images au foyer des lunettes, des té-
lescopeSy des microscopes , etc. ^ etc., sont, comme la perspective, des projections coniques où l'on reconnaîtra facilement le point commun à tous les rayons, Tobjet dont le contour doit être reproduit, et la surface du tableau sur lequel se forme la perspective.
C'est à tort qu'on a appelé perspective les images régulières d'objets irréguliers que l'on aperçoit dans des miroirs courbes.
Ces perspectives, dites perspectives curieuses^ ne sont point données par les projections coniques.
4. La perspective géométrique n'a de commun que le nom avec ce que les artistes appellent perspective aérienne. Cette perspective aérienne , au moyen de laquelle les artistes parviennent à faire distinguer les objets placés à différentes distances de l'œil et dans le voisinage l'un de l'autre, dépend, pour les grandes distances, de l'extinction que subit la lumière en traversant des couches d'air imparfaitement transparentes. Pour les distances moindres que cent mètres et ^ par un temps très-pur, cet effet est à peine sensible. Dans un brouillard ,« au contraire, quelques décimètres produisent des effets d'extinction considérables.
Tout le monde sait qu'à l'horizon les montagnes paraissent bleues.
Mais pour des corps très-rapprochés, les peintres ont des procédés qui tiennent au sentiment en même temps qu'à la science, et qui ne peuvent faire l'objet de ces notions générales.
C'est dans les traités spéciaux de perspective ar-
tistique qu'il faudra chercher les procédés spéciaux de simplification, connus dans les ateliers par suite d'approximations suffisantes; les points de fuite, etc.
5. Ainsi, en résumé, l'œil de l'ohservateur, considéré comme un point, est donné par ses projections ; le tableau, supposé plan, est donné par ses traces; les objets à mettre en perspective sont donnés par leurs projections : on demande de tracer la perspective.
D'après ce qui précède, on voit que le problème est ramené, dans sa simplicité, à trouver l'intersection d'une surface et d'une droite, problème résolu dans les chapitres i et ii , suivant que la surface donnée est un plan ou une surface courbe différente d'une surface gauche. Dans le chapitre v, on a résolu ce problème quand la surface donnée est gauche.
6. Mais en nous bornant ici à la perspective sur un plan, et spécialement sur un plan vertical, on arrive aux conséquences suivantes :
La perspective d'une droite sur un plan est une droite ; et si cette droite est d'une longueur déterminée, on trouve sa perspective en prenant les perspectives de ses extrémités, et en joignant les deux perspectives par une droite.
La perspective sur un plan vertical d'une droite verticale est une verticale nouvelle. La perspective d'une figure plane, située dans un plan vertical parallèle au plan du tableau, est une figure semblable à la figure donnée, plus petite si la figure est derrière le tableau, plus grande si la figure est placée en avant.
PBRSPSCriVB. 230
On a cet autre principe fort important :
Quand une courbe et sa tangente sont données , les
projections de la courbe et de la tangente sont encore
tangentes.
En effet, le cône et le plan tangent passant par le point donné sont coupés par le plan du tableau, suivant une courbe et une tangente à cette courbe.
7. Un principe qui trouve son application très-fréquemment, est relatif aui perspectives des lignes droites parallèles. Dans Tépure, ces lignes rencontrent d'ailleurs le plan du tableau en un même point ^«
On renonce ainsi :
Les projections de lignes droites parallèles entre elles j sont des droites qui concourent en un même point sur le plan du tableau.
En effet, si par Toeil de Tobservateur on mène une parallèle aux lignes données, cette droite sera Tintersection de tous les plans conduits par les droites données etTœil de l'observateur; or les intersections de ces plans avec le plan du tableau donnent pour perspectives des lignes passant par le point où la parallèle coupe le plan du tableau.
Nous énonçons seulement les problèmes qui suivent
Le lecteur devra faire les épures en supposant^ pour plus de simplicité, le plan du tableau perpendiculaire à la ligne de terre. Les constructions faites au moyen des principes donnés dans les chapitres qui précèdent,
* 11 esl coaou sous le nom de point de fuite par les artisles*
il rabattra le plan du tableau sur le plan vertical de projection.
Déterminer la perspective d'un carré situé sur un plan horizontal.
Déterminer la perspective d'un rectangle et d'un polygone quelconque situés dans un plan incliné.
PROBLÈME IIL
Déterminer la perspective d'un prisme droit vertical.
Déterminer la perspective d'une pyramide polygonale à hase horizontale.
Déterminer la perspective d'un prisme ayant ses arêtes horizontales.
Construire la perspective d'un tétraèdre régulier re-posant j par une de ses faces ^ sur un plan incliné, ou sur le plan horizontal de projection.
Trouver la perspective d'un cube reposant sur un plan incliné par une de ses faces.
PERSPECriTB. 241
PROBLÈME Vin.
Trouver la perspective d'un octàhdre régulier reposant, par une de ses faces, sur le plan horizontal, et trouver, en même temps, la perspective de V ombre portée par cet octaèdre régulier sur le plan horizontal.
Trouver la perspective d'un cercle horizontal, ou (fun cercle placé dans un plan incliné.
Trouver la perspective d'un cylindre droit à base circulaire, limité par un plan parallèle à la base, et reposant sur un plan incliné. Trouver aussi la perspective de l'ombre portée par le cylindre sur le plan incliné, les rayons lumineux étant parallèles entre eux.
Trouver la perspective d'un cône et de son ombre portée sur un plan incliné sur lequel repose le cône donné, le cône étant droit ou quelconque.
PROBLÈME XII (figure 74).
Trouver la perspective d'une sphère sur un plan vertical.
La sphère est donnée par son centre c, d et son rayon cd, ddl. Le plan du tableau est le plan MNP-
L'œil de l'observateur est donné par ses projections 0, d.
Nous n'entrerons pas dans les détails de la détermination du cône circonscrit à la sphère; nous avons
suffisamment indiqué les procédés à suivre pour la détermination de la courbe de contact de ce cône tangent*
On devra se reporter à chacune des questions spéciales pour chaque problème de géométrie descriptive.
Prenons la perspective de l'un des points de cette courbe de contact.
Soit /*, f le point dont nous voulons déterminer la perspective. 11 suffit de joindre ce point au point o, (/, et de trouver l'intersection de cette droite avec le plan du tableau MNP. On obtient ainsi le point ^, //.
Après avoir obtenu la perspective sur le plan MNP, on a rabattu le plan du tableau sur le plan vertical, et l'on trouve, de cette manière, la perspective FGHK de la sphère sur le plan du tableau.
Trouver la perspective de chacune des surfaces de revolutionde la planche 23.
Trouver la perspective des surfaces de révolution qui se pénètrent dans la planche 24*
Trouver la perspective de V hélice cylindrique et celle de la spirale conique, planche 26.
SUR PLUSIEURS CAS PARTICULIERS QUI SE REN- CONTRENT DANS LA PRATIQUE DES MÉTHODES DE LA GÉOMÉTRIE DESCRIPTIVE.
Les candidats qui ai'riveDt aux examens après avoir été dirigés par d'habiles professeurs et examinateurs, ont le tort de confier à leur mémoire une immense quantité de petites difficultés dont il serait plus convenable qu'ils pussent improviser les solutions. Ce serait donc Tesprit, plutôt que le détail de ces sortes d'objections , qu'il fendrait leur faire comprendre et retenir. On y parvient en leur posant une nombreuse série de difficultés analogues dans diverses constructions. On reconnaît alors que les principes fondamentaux de ces artifices de construction sont en trèspetit nombre.
La géométrie descriptive ayant pour but de faire non moins que de raisonner, l'emploi de ces moyens pour arriver à un résultat définitif est indispensable*
Quelle que soit, d'ailleurs, la variété des exercices qu'un professeur peut présenter, il en reste toujours une infinité d'autres qui embarrasseraient l'élève s'il n'avait de guide que sa mémoire.
Aux types déjà donnés dans le texte de Touvrage y nous ajouterons les suivants :
Les traces d'une droite étant données^ trouver les projections de cette droite.
V (figure 75) Soient LTla ligne de terre, H la trace horizontale, V la trace verticale. En suivant les constructions indiquées dans le cas général, il faut abaisser, par les points donnés, des perpendiculaires sur LT, les pieds étant h! et v. La ligne Ht; sera la projection horizontale, A'V la projection verticale. La portion de la droite qui unit les deux traces est dans le deuxième angle dièdre des deux plans de projection : par conséquent on doit figurer en points les portions des projections de la droite correspondante ; pour les prolongements à partir de la trace verticale, ils sont vus; en sorte que les lignes doivent être pleines. Si on veut trouver la longueurde la droite qui joint dans l'espace H à V, il faudra distinguer le rabattement sur le plan vertical du rabattement sur le plan horizontal de projection. Le rabattement sur le plan vertical autour de Vi; comme axe, donne la longueur YH^; si Ton rabat sur le plan horizontal autour de Ht; comme axe, la ligne HV| sera la longueur demandée.
2*" (figure 76) La trace horizontale de la droite donnée étant H, la trace verticale V, une construction analogue à la précédente donne les constructions vH, VA'; mais en relevant rectangulairement le plan vertical sur le plan horizontal , le point V vient se placer
dans la partie inférieure du plan vertical. La portion de la droite comprise entre les deux traces est donc comprise dans le troisième angle des plans de projection. Les prolongements de cette droite seront donc, soit dans le quatrième ou le deuxième angle. Tout est donc invisible dans les parties de cette droite. Ses projections doivent donc être pointillées.
La longueur de la droite qui unit les deux traces se trouve, comme dans le problème précédent, en V^H ou YH^. On sait aussi que par les constructions de ces triangles rectangles on détermine les angles de la droite donnée par ses traces avec le plan horizontal et le plan vertical de projection.
3"" (figure 77) Les traces sont comme les donne répure. Les constructions sont encore indiquées. La portion de la droite comprise entre les deux traces est dans le quatrième angle des deux plans de projection. La notation de l'épure indique ce qui est caché et ce qui est visible.
V (figure 78) Les traces horizontale et verticale sont situées sur une même perpendiculaire à la ligne de terre. La construction générale donne alors pour projections de la droite deux lignes VA', Hv, qui sont toutes deux perpendiculaires à LT, et en prolongement Tune de Tautre. En sorte que les plans, projetant horizontalement et verticalement la droite, se confondent, étant tous deux perpendiculaires à LT. Ainsi la droite est située dans un plan perpendiculaire à LT. La longueur de la droite qui joint ces deux points est donnée par le triangle rectangle t^H^V. D'ailleurs, la
248 ÀPPBNDIGS.
portion de la droite donnée, comprise entre les deux traces , est dans le premier angle , en sorte que Ton comprend la notation de Tépure.
5"* Un des points donnés ( fig. 79 ) est en H sur LT, l'autre en V, les projections sont Ht?, HV; car la droite donnée rencontre LT. Sa longueur véritable est doncVH.
6° La trace horizontale et la trace verticale de la droite se confondent en un même point (fig. 80). En relevant rectangulairement le plan vertical de projection sur le plan horizontal, on voit bien que la droite est dans un plan perpendiculaire à la ligne de terre, et fait des angles égaux avec le plan horizontal et le plan vertical , ces angles étant de 45*". D'ailleurs la construction générale se confirme. Les deux traces qui se confondent peuvent aussi être placées dans la partie inférieure de l'épure. La longueur de la droite qui joint les deux points est HV^. Il serait puéril de prendre un plus grand nombre de positions particulières.
Une droite étant donnée par ses projections, trouver ses traces.
Nous prendrons les droites dans les positions indiquées aux paragraphes marqués par 1% 2% 3"", du problème précédent, et nous ferons les opérations inverses, ce qui ne présente rien de nouveau. Il faut remarquer, à chaque problème, dans quel angle se trouve la partie de la droite donnée , comprise entre la trace horizontale et la trace verticale. Il faut , en même temps, chercher la longueur de cette partie de
APPBNDIGB. 249
la droite. Mais nous ne pouvons plus résoudre le problème dans le cas où la droite est donnée comme dans la figure 81 . Les projections de la droite sont toutes deux perpendiculaires à LT. C'est qu'en effet, alors, il y a indétermination dans la position de la droite , car les deux plans projetant cette droite se confondent.
11 faut donc alors représenter la droite par des données particulières. Par exemple , supposons qu'on donne les projections Cj d et d^ d! de deux points de la droite; et la droite sera géométriquement déterminée.
Pour avoir les traces de cette droite , rabattons le plan projetant horizontalement la droite autour de sa trace horizontale, qui est perpendiculaire à LT, de manière que pour Topérateur la partie supérieure du plan vertical soit rabattue à droite sur le plan horizontal, et la partie inférieure à gauche sur le plan horizontal ; le point D de l'espace se rabattra à droite en D^, le point C de l'espace à gauche en G^, et la droite rabattue est G^D^; mais dans ce rabattement la droite a toujours rencontré au même point son axe, en sorte que le point H trouvé est la trace horizontale ; quant à la trace verticale , elle s'est ra- ' battue sur LT en Y^ à gauche de la charnière. Il faudra donc relever le point V^ sur la droite cd au-dessous de LT.
ScoLiE. On cherchera d'autres données relatives à ce cas de la droite située dans un plan perpendiculaire à la ligne de terre , et surtout on prendra les projec-
250 APPENDICS.
tions verticales des points, tantôt au-dessous, tantôt au-dessus de la ligne de terre ; de même on prendra les projections horizontales des points au-dessus de la ligne de terre aussi bien qu'au-dessous.
PROBLÈME III (figure 82)-
Une droite étant donnée par ses projections , mener par un point uneparallUe à cette droite.
La seule difficulté qui puisse se présenter est relative au cas où la droite donnée est dans un plan perpendiculaire à la ligne de terre; par exemple, la ligne droite qui a deux de ses points projetés en c, detd, âl, ces quatre projections étant situées sur la même perpendiculaire à la ligne de terre. Le point donné est en dehors de ce plan.
Les projections de la droite menée par le point o, o\ parallèlement à la droite donnée, seront aussi perpendiculaires àLT; mais il faut connaître un point de plus de la droite demandée, ou connaître ses traces. Pour cela, nous allons prendre le plan projetant horizontalement la droite donnée et le plan projetant horizontalement la droite cherchée. Nous ferons tourner chacun de ces plans autour de la trace horizontale, de manière que la partie supérieure du plan projetant horizontalement se rabatte sur la droite de la charnière.
Après le rabattement^ les droites devront être parallèles. La droite se rabat en C^D^; le point donné se rabat en O^. Il suffit donc de mener, par ce point 0^, une parallèle à C^D^, pour avoir la droite cherchée
APPBNBICB. 251
après 80B rabattement; puis on relèvera un quelconque de ses points.
ScoLiE. Nous ferons encore remarquer que toute Fattention doit se porter sur la position d'un point relativement aux plans de projection, soit au-dessus, soit au-dessous du plan horizontal. Afin de savoir si les rabattements se placent, soit à droite, soit à gauche de la charnière de rabattement, on devra varier la position des données, et s'exercer, dans tous les cas, à faire les constructions.
Trouver la distance de deux points.
V Supposons Tun des points sur le plan horizontal (figure 83), soit le point B et le point cd dans Tespace. La distance du point B au plan horizontal est nulle, en sorte que le trapèze de la solution générale se réduit à un triangle, et que la figure donne pour la longueur BCy, cCy étant égal à c^f.
2"" Supposons un point donné sur LT, soit B ce point (figure 84), c, c' le deuxième point donné. Nous avons la même construction que précédemment.
Les problèmes qui précèdent indiquent suffisamment comment on trouve la longueur d'une droite située dans un plan perpendiculaire à la ligne déterre.
.3* Mais proposons-nous le problème inverse :
Prendre sur une droite^ à partir d'un point donnée une longueur égale aune longueur donnée.
C'est par les rabattements que nous résoudrons la question. Nous le ferons de deux manières : «n rabat-
tant la droite sur le plan horizontal, ou bien en amenant le plan projetant horizontalement à devenir parallèle au plan vertical , ce qu'on obtient en faisant tourner ce plan autour de la verticale passant par le point donné.
On donne ab, a!V projections de la droite : le point donné est m, m'; la longueur donnée est P (figure 85).
On prend un deuxième point quelconque f, F de la droite; sur la droite rabattue , on prend des longueurs égales à Py à partir du point M^ : on a trouvé ainsi les points Nr et N.. Ces points obtenus , on les relève et Ton trouve le point n, n' et le point placé à égale distance sur la droite donnée, à gauche du point m, nJ.
Dans la figure 86, on a ramené le plan projetant verticalement la droite , à devenir parallèle au plan vertical de projection, en faisant tourner autour de la droite verticale qui passe parle point 6, U, etc;
La suite s'explique d'elle-même dans la figure.
PROBLÈME V (figure 87).
Reconnaître si deux droites données par leurs projections se coupent.
Nous savons que la condition ordinaire est que les projections horizontales et verticales se coupent deux à deux en des points qui soient situés sur une même perpendiculaire à la ligne de terre.
Quand les droites sont placées de manière que les projections se coupent en dehors des limites^de Tépure, on prend deux points sur chacune des droites don-
APPnmiCE. '253
nées, et l'on constate que les quatre points sont situés dans un même plan.
Mais quand ces deux droites sont situées dans un plan perpendiculaire à la ligne de terre, on ne peut plus rien reconnaître sur la figure même, et alors on est forcé d'employer un plan auxiliaire de projection, ou bien on doit rabattre le plan des deux droites sur Tun des plans de projection; on reconnaît alors si les deux droites, qui sont d'ailleurs situées dans un même plan , se rencontrent ou sont parallèles.
Voyons comment on peut trouver si une droite quelconque crf, éôj rencontre une droite située dans un plan perpendiculaire à la ligne de terre donnée par deux de ses points a, d et b, bl; ces points ont été pla* ces d'une manière singulière pour habituer le lecteur à ne plus éprouver de difiicultés dans ces sortes de questions.
Nous cherchons le point où la droite CD rencontre le plan projetant horizontalement et verticalement la droite ÂB, puis nous rabattons ce plan projetant sur le plan horizontal, de manière que la droite AB se trouve rabattue en même temps. Si le point de rencontre de la droite CD avec le plan projetant rencontre la droite AB dans le rabattement, ce point sera Tun des points de la droite AB.
Dans répure 87, le point A se rabat en A^ sur la perpendiculaire à ab élevée en a, sur laquelle on a jeté une longueur égale à la distance de a' à la ligne de terre; le point B se rabat en B^ par une construction
254 APMIfDlCE.
analogue; mais A^ est à droite tandis que B^ est à gauche de la charnière du rabattement.
Mais soit o^ d le point de rencontre de la droite CD avec le plan de la droite AB mené perpendiculairement à la ligne de terre; rabattons ce point sur le plan horizontal en 0^.
Dans cette figure ou voit que la droite CD ne rencontre pas la droite AB, puisque le point 0^ n'appartient pas à la droite A^B^.
Trouver V intersection de deux plans donnés^ soit par leurs traces^ soit par des points, soit par des droites de ces plans.
On sait toute l'importance de ce problème général, puisqu'il sert à donner la solution de cette autre question :
Trouver IHntersection d'une droite et d'un plan.
On ne saurait donc trop s'exercer à varier les données graphiques dans toutes les positions, afin de n'être embarrassé dans aucune question particulière quelconque.
Nous avons déjà trouvé (chapitre i) l'intersection de deux plans donnés avec cette condition^ que la trace horizontale et la trace verticale du premier plan sont en ligne droite, et que le second plan se trouve dans une même situation. Nous avons pris aussi ce cas où les plans remplissant cette condition satisfont eneore à cette autre , que les quatre traces des plans .passent par un même point de la ligno de terre.
APPBNDIGB. 255
l"" (figure 88) Nous cherchons d'abord l'intersection de deux platis, tels que les traces de l'un des plans sont les prolongements des traces de l'autre : ainsi le premier plan est MNP, et SNR est le second ; RN est le prolongement de MN, et aussi NS est le prolongement deNP.
il est évident que la droite d'intersection des deux plans passe par le point N de la ligne de terre; nous prenons un plaii auxiliaire parallèle au plan SNR^ aGn d'obtenir une parallèle à l'intersection cherchée.
Ce plan auxiliaire est donné par des parallèles aux traces MN et NP, menées par un même point de la ligne de terre. 11 résulte de cette construction, un parallélogramme dont la ligne de terre est une diagonale qui le divise en deux parties égales. Soient Y et H les sommets de ce parallélogramme, opposés à la ligne déterre; la construction connue donne pour intersection du plan auxiliaire avec le plan MNP, la droite dont les projections Hv, VA' sont parallèles, comme il est facile de s'en assurer d'après les conditions que nous venons de rappeler.
Donc aussi si par le point N, on mène une parallèle à ces deux projections de l'intersection auxiliaire, cette droite ab, ciV, représente à la fois la projection horizontale et la projection verticale de la droite cherchée.
On pouvait prendre un plan auxiliaire parallèle à l'un des plans de projection et trouver les intersections de ce plan avec les deux plans donnés; ces intersections se coupent en un point qui appartient à la droite
256 APPENIIICE.
demandée ; en joignant ce point au point N , on a la droite cherchée.
Cette dernière construction est élégante et fournit un théorème de géométrie élémentaire, utile à reconnaître.
Ainsi on trouve que les projections horizontales des intersections des deux plans donnés par un plan parallèle au plan horizontal de projection, se coupent en un point de la trace verticale de ce plan auxiliaire.
2" (figure 89) Déterminer la projection de l'intersection de deux plans dont Vun coupe la ligne de terre. Vautre passe par la ligne de terre et par un point donné par ses projections.
Le premier plan donné est MNP, le second qui passe par la ligne de terre LT contient le point a, a'.
L'intersection des deux plans passera par le point N, qui appartient aux deux plans donnés ; il suffit donc d'avoir un autre point de Tintersection de ces deux plans.
Pour cela nous prenons un plan auxiliaire mené perpendiculairement à la ligne de terre par le point A; ce plan coupe le plan donné suivant une ligne droite que nous rabattons autour de la trace horizontale a!àV^ sur le plan horizontal en HV^, à droite de la charnière; nous rabattons en même temps le point a, a' sur le plan horizontal autour de la même charnière. Ce rabattement est en A^ à gauche de la charnière.
11 faut rappeler que le plan auxiliaire coupe le se-
cond plan donné suivant une droite qui passe par le point e de la ligne de terre et par le point A. Après le rabattement, cette intersection est donc devenue la droite e A^. Cette droite prolongée vient rencontrer HV^ en 0^; c'est ce point rabattu qui nous donne, après qu'on Ta relevé, le second point de Tintersection cherchée. Les projections de ce point sont o et (/, en sorte que la droite cherchée a pour projections la droite No et la droite No'.
3"^ (figure 90) Intersection de deux plans parallèles à LT , et dont les traces se confondent après le rabattement*
En coupant par un plan auxiliaire RR les deux plans donnés, on cherchera l'intersection de ce plan avec ceux du problème.
En rabattant ce plan auxiliaire successivement sur les plans de projection, on obtiendra deux droites dont le point de rencontre donnera le rabattement d'un point de la droite cherché CD. En la ramenant dans sa position , on aura un point de vérification
or = orj.
V (figure 91 ) Les deux plans donnés sont , le premier parallèle à la ligne de terre, le second passant par un point et par la ligne de terre.
Il est évident qu'il suffit d'avoir un point de l'intersection des deux plans, car cette intersection est parallèle à la ligne de terre.
La solution est de même genre que celle de 2". Le premier plan donné a pour trace horizontale PQ, et pour trace verticale P'Q'.
Le point par lequel passe le second plan est m^ vfi.
Nous ferons encore observer qu'il importe de reconnaître comment le rabattement des points du plan auxiliaire doit être fait relativement à la droite et à la gauche de la charnière de rabattement.
On a trouvé, pour les projections de la droite d'intersection des deux plans, la droite a6, clV.
5® (figure 92) Des deux plans donnés ^ l'un est représenté par une droite unique , trace horizontale et verticale MNP, et le second passe par la ligne de terre et le point ay a'.
L'intersection des deux plans passe par le point N, comme dans le 2"". On prendra donc encore un plan auxiliaire perpendiculaire à la ligne de terre et mené par le point Â. Mais il faut remarquer ici que les traces horizontale et verticale de l'intersection auxiliaire du plan MNP, avec le plan perpendiculaire à la ligne de terre, se confondent. C'est ainsi qu'on a le point H, qui est le même que le point V.
La droite HV, rabattue sur le plan horizontal, est la droite HV^j la seconde droite auxiliaire est ek^ et le point d'intersection de ces deux droites rabattues est le point 0^; ce point relevé dans sa véritable position donne pour projections le point o et le point o' , en sorte que la droite cherchée est No, No'.
ScoLiE 1. On pourrait trouver l'intersection de deux plans, par un changement de plan de projection, au moyen d'une droite située dans le second plan et d'une manière quelconque. Pour cela, on joindrait un point de la ligne de terre avec le point A, puis
APPENDIÉE. 259
on chercherait Tintersection de cette droite avec le plan MNP par les procédés ordinaires ; ce point serait un point de l'intersection cherchée. Cette solution est très-générale, et nous la recommandons pour beaucoup de circonstances au lecteur, suilout quand les plans donnés n'ont pas leurs traces dans les limites de l'épure^
6^ (figure 93 ) Uu7i des plans est parallèle au plan pei^ticalj et a sa trace horizontale parallèle à la ligne de terre en PQ. Le second plan est parallèle à la ligne de terrCj et ses traces se confondent en une même ligne droite que nous désignons pour plus de simplicité par H et V, qui représentent wi même point de cette double trace.
Menons la droite de l'espace qui joint les points H et V dans leur véritable position. Cette droite vient rencontrer le plan PQ en un point qui appartient à l'intersection des deux plans donnés ; cette intersection est d'ailleurs parallèle à la ligne de terre.
La droite HV étant dans un plan perpendiculaire à la ligne de terre, on rabat cette ligne en HV^ autour de la trace horizontale de ce plan perpendiculaire, mais ce plan rencontre le plan PQ^ suivant une droite qui se rabat sur la droite PQ, en sorte que HV^ rencontre PQ en B^.
Le point 6 de PQ est la projection horizontale du point B de l'espace. La projection verticale est 6', qu'on obtient parles procédés ordinaires; il y a d'ailleurs une vérification : aussi la figure indique deux procédés pour obtenir ce point 6'.
La droite b'd , parallèle à la ligne de terre, est la
260 àPP£ND1C£.
projection verticale de Tiatersection; la projection horizontale est la droite PQ elle-même, ce qu'on sait à Tavance.
7" Lun des plans est donné par un point et une droite 9 r autre est donné par ses traces. On suppose que le premier na pas ses traces dans les limites de V épure.
On cherche deux points de Tintersection demandée au moyen de lignes auxiliaires, situées dans le second plan et qui coupent le premier plan donné. On choisit ces lignes auxiliaires d'une manière convenable.
11 faudra pour ce cas varier les données de diverses manières.
Faire passer un plan par un point et une droite^ ou par trois points.
Ce problème se présente fréquemment, et Ton ne s'exerce pas assez à varier le choix des données. Voici quelques exemples :
V Le plan doit passer par un point et par une droite qui est dans un plan perpendiculaire à la liyne de terre.
2^ Le plan doit passer par un point et par une droite qui est assujettie à passer par un point ^ et à faire un angle donné avec le plan horizontal , et vn angle donné avec le plan vertical.
Dans le chapitre 1 , nous avons vu comment on détermine une semblable droite; le problème doit être considéré comme résolu.
3" La droite donnée passe par un point, est dans un plan
APPENDICB. 261
perpendiculaire à la ligne de terre, et fait un angle donné avec le plan vertical. Le point donné est dam le quatrième angle des plans de projection.
On se servira de deux plans auxiliaires perpendiculaires à la ligne de terre et passant par les deux points donnés ; puis on trouvera les traces de la pre« mière droite donnée et d'une droite auxiliaire parallèle à la première et passant par le second point donné.
4" On considérera le cas où les projections de la droite donnée se confondent ^ et aussi le cas où les projections du point se confondent.
On combinera encore les données qui précèdent avec Tune de celles de V. Rien ne sera plus propre à donner le moyen de ne plus être arrêté par les difficultés prétendues de la géométrie descriptive.
Mener par une droite donnée un plan faisant un ang le donné avec un autre plan.
Nousappelonsrattentiondulecteur sur ceproblème^ qui fait partie de certains questionnaires.
V Supposons d'abord qu'on veuille mener ce plan de manière qu'il forme un angle donné avec le plan horizontal.
Soit AB cette droite qui rencontre le plan horizontal en H. Supposons le problème résolu, et soit HX la trace horizontale de ce plan cherché.
Supposons que l'on prenne un point MsurÂB; que par ce point on mène MP perpendiculaire au plan ho-
262 APPBNDiqs.
rizontal^ et MQ perpendiculaire à la trace HX : enjoignant le point P au point Q, Tangle MQP sera l'angle du plan BNX avec le plan horizontal.
Le triangle MPQ est rectangle , et Ton connaît la longueur MP et l'angle MQP. Par suite , la droite PQ est facile à déterminer. Mais PQ est perpendiculaire à la droite HX y et par suite elle est tangente à la circonférence tracée dans un plan horizontal du point P comme centre, avec PQ comme rayon. Le point H est connu. Cette circonférence auxiliaire est facile à déterminer; donc on aura aisément la trace HX, et par suite la trace verticale de ce plan cherché.
On discutera le problème, et l'on prendra, s'il y a lieu, les deux solutions.
2° La droite donnée ne rencontre pas le plan horizontal dans les limites de V épure, et le plan cherché doit encore faire un angle donné avec le plan horizontal.
On pourra résoudre le problème de deux manières :
On prendra deux points sur la droite AB, et l'on décrira deux circonférences sur le plan horizontal au moyen de ces points auxiliaires. Il suffira donc de mener une tangente commune à ces deux circonférences : cette tangente serala trace horizontale du plan cherché.
Secondement , on prendra un plan auxiliaire parallèle au plan horizontal de projection j on déterminera une horizontale du plan, et le problème sera ramené à un problème connu.
3** La droite donnée est parallèle au plan horizontal.
Le problème est ramené à celui-ci , qui est connu :
Par une droite du plan horizontal de projection ,
APPBNDIOS. 263
mener un plan qui fasse un angle donné avec ce plan horizontal.
4" Supposons maintenant que le plan donné est quelconque.
Pour fixer les idées, supposons que la droite don* née est encore AB, et que nous prenons un point M sur cette droite. Soit H, là rencontre de cette droite avec le plan donné, soit HX Tintersection inconnue du plan donné avec le plan cherché.
Du point M, nous abaissons MP perpendiculaire sur le plan donné, P étant le pied de la perpendiculaire sur ce plan. Nous connaissons par une construction simple la longueur MP et le triangle MPQ, analogue à celui de 1 "*.
Le problème est donc ramené à un problème de ra battement. En effet, rabattons le plan donné sur le plan horizontal avec le pied P de la perpendiculaire MP et le point H d'intersection de la droite avec le plan, puis opérons comme pour 1*"; nous obtiendrons la droite HX et, en relevant, le problème est ramené à cet autre : Faire passer un plan par deux droites.
On discutera le problème.
5® Les choses étant posées comme dans 4**, supposons la droite AB parallèle au plan; le problème est alors ramené à celui-ci : par une droite située dans un plan , mener un plan qui fasse avec ce dernier un angle égal à un angle donnée problème que nous savons résoudre par l'inverse du problème direct, chapitre i.
Sgolie. On pourra s'exercer avarier les données de la question. Les principes posés dans le chapitre i, et
2G4 APPfiNDias.
les moyens indiqués pour trouver Tintersection d'une droite et d'un plan^ suffiraient avec Thabitude et un peu de réflexion, pour donner toutes les solutions de ces sortes de difficultés.
PROBLÈME IX (figure 95).
Détermiîier l'angle de deux droites, Vune d'elles étant quelconque. Vautre située dans unplan perpendiculaire à la ligne de terre, et déterminer les projections de la bissectrice.
I"" Nous supposons que les deux droites se coupent au point d, rf', la première droite est af, clf^ la seconde passe par le point D et par le point C dont les projections sont en c et en d.
Nous cherchons la trace horizontale de la droite CD, nous Tobtenons par le rabattement sur le plan horizontal du plan projetant horizontalement CD, c'est le point Hj ; H est la trace horizontale de la droite AF. La trace horizontale du plan des deux droites sera HH^, nous rabattons ce plan sur le plan horizontal, et nous obtenons l'angle HD/ Hj, qui est l'angle cherché rabattu, puis nous menons la bissectrice D^'Bde cet angle, le point B est la trace horizontale de la bissectrice, en sorte que les projections de cette bissectrice sont dB, âiy.
T Nous supposons que les traces des deux droites sont en dehors des limites de V épure.
Nous mènerons f par un point convenablement choisi^ deux droites auxiliaires parallèles aux deux droites données, et qui peuvent conduire aune construction possible dans les limites de V épure.
Mais y nous Tavons dit dans le chapitre i , le mieux est toujours de déterminer Tangle de deux droites au moyen d'un triangle de Tespace.
Nous pourrions multiplier à Tinfini ces exercices , mais nous croyons indispensable que les professeurs exercent eux-mêmes leurs élèves, et les obligent à trouver, sans avoir recours, pour Tétude, à tous les secours qu'on leur indique et qui leur manquent.
Nous avons fait une épure pour cette question spéciale, figure 97:
Trouver la bissectrice de Vajigle de deux droites dont les traces sur les plans de projection sont en dehors des limites de V épure.
La solution revient au cas général , en prenant un nouveau plan horizontal de projection. Les traces des droites sont  et B. On relève le plan des droites jusqu'à ce qu'il vienne se confondre avec le plan horizontal. Le point C de l'espace se projette alors en C^; l'angle aCrb est l'angle cherché , C^cA le rabattement de la bissectrice, et se» projections {ch , chl).
PROBLÈME X (figure 96).
Déterminer les traces du plan bissecteur de l'angle de deux plans.
Le cas particulier qui se présente ici est celui où l'un des plans est donné par la droite PNM rabattement de ses traces, l'autre déterminé par la ligne de terre et le point (m, m'). L'intersection Na, Na' de ces deux plans est fixée par le point de rencontre Ar de
286 APPKn>icii.
leurs sections (oMr et HVr) sur le plan auxiliaire Hom. L'angle des plans est déterminé par les traces^ sur les plans donnés, d'un plan WRSmené perpendiculairement à la droite NÂ par un de ses points B. Ce plan coupe le plan MNP suivant BQ , et le plan (LT, M) suivant BR, dont le rabattement est BrR. L'angle des plans est RB^Q; la bissectrice de cet angle est B^D ; le point D étant sa trace horizontale, la droite ND sera la trace horizontale du plan cherché; la trace verticale sera donnée par le point F où la droite BD rencontre le plan vertical. Le plan demandé est DNF.
Trouver l'intersection et l'angle de deux plansy chacun d'eux étant donné par un point et par une droite ^ les traces des plans étant en dehors des limites de V épure.
Le problème est ramené au suivant, pour la deuxième partie de la question , quand on aura trouvé l'intersection des deux plans. Or, on a ce problème à résoudre ;
Trouver f intersection d'une droite et d'un plan, le plan étant donné par un point et une droite, les traces étant en dehors des limites de V épure.
Ce problème, avec cette complication, se présente fréquemment dans les surfaces gauches. On trouve une droite auxiliaire dans le plan, par deux de ses points, au moyen de droites auxiliaires, et le point d'intersection de la droite donnée et du plan donné s'obtient.
Trouver V intersection de la sphère inscrite à un tétraèdre donné par ses quatre sommets situés d*une manière quelconque dans l'espace, et d'un plan passant par un point donné aussi dans l'espace et faisant un angle donné avec Vune des faces du tétraèdre ^ et un autre angle donné avec une seconde face.
On n'est pas maître de prendre les plans de projection à volonté, et nous avons choisi cet exemple pour indiquer aux professeurs un genre de questions quMls peuvent développer en variant les données.
Trouver l'angle de deux plans donnés par leur intersection et un point de chacun d'eux ^ les traces des plans étant en dehors des limites de l'épure.
De chacun des points , j'abaisse une perpendiculaire sur l'intersection des deux plans , au moyen de la théorie des rabattements.
L'angle des deux perpendiculaires, ou plutôt des deux parallèles à ces perpendiculaires, est l'angle demandé.
On prend un plan auxiliaire horizontal ou vertical pour chaque perpendiculaire à mener, et on rabat sur ce plan auxiliaire. La construction des perpendiculaires étant faite, le problème est ramené à un problème connu.
Faire passer une circonférence par trois points, lorsque le plan de ces trois points ne rencontre pas les plans de projection dans les limites de l'épure.
Nous avons indiqué la solution à employer. On change de plan horizontal de projection en menant un nouveau plan horizontal parallèle au premier, mais de manière que ce nouveau plan rencontre les droites données.
On rabat alors sur ce nouveau plan horizontal , et les projections horizontale et verticale de la circonférence peuvent ensuite être transportées sur les premiers plans de projection.
Dans la figure 98 on a mené, par un point quelconque M de l'une des droites , un nouveau plan horizontal, dont la trace est wf?.
La trace du plan des trois points sur ce nouveau plan de projection est m!p.
Si on ne pouvait pas trouver les traces des plans des trois points, on aurait toujours leur direction; et l'on pourrait rabattre autour de la droite w'P, comme si l'on rabattait autour de la trace du plan sur le premier plan de projection.
L'exemple de l'épure fait voir comment on détermine un point de chacune des traces du plan et leur direction.
La méthode ordinaire donne les rabattements A, C. Le point B ne se trouve pas compris dans le cadre, mais par ses projections, nous connaissons le milieu h
ArpBNDici. 269
de la droite ab, dH^ et par conséquent son rabattement V; ce qui nous permet de déterminer le centre du cercle.
Nous savons en outre que les projections du cercle sont des ellipses , dont les axes et les tangentes sont parallèles à la trace correspondante. Cette observation nous permet de déterminer complètement les projections demandées.
PROBIÈME XV.
Étant donnée la projection horizontale d'une courbe située dans un plan donné y trouver sa projection verticale et sa vraie grandeur.
C'est un simple problème de rabattement.
PROBLÈME XVI (planche 31, figure 94).
Deiiir droites qui se coupent étant données par leurs projections, on veut mener par leur point dHntersection une troisième droite qui fasse ^ avec les deux premières y des- angles égaux à des angles donnés.
Ou autrement :
Étant données les trois faces d'un angle triédre dans l'espace, construire la projection de ce trièdre.
Nous avons déjà indiqué, (Jans le premier chapitre, la solution de ce problème. Entrons dans les détails.
Soient AD et BC les droites données qui se coupent au points, si. Pour résoudre le problème, rabattons ces droites sur le plan horizontal, en faisant tourner le plan de leur face autour de sa trace horizontale MN. Les deux droites rabattues seront BC^ et AD^; leur
point de concours sera S^ : Tangle C^S^D^ est Tangle qu'elles forment entre elles dans l'espace.
Si nous concevons menée dans l'espace la troisième droite S^E; en faisant tourner la face ES^ autour de l'arête Sfi^y jusqu'à ce qu'elle coïncide avec le plan de la face donnée, l'angle des droites de l'espace SD et SE se rabattra ei^actement suivant D^^E^ Une construction analogue donnera le rabattement S^E"^, sur le plan principal rabattu, de la même arête S^E tournant autour de l'arête S^C^.
Nous avons donc les trois faces du trièdre. Les constructions du problème XXI, chapitre i, nous donneront la projection, sur ce plan principal rabattu, de la troisième arête du trièdre.
Il s'agit, au moyen de ces données, de relever la droite SE et d'en déterminer les projections.
Or la droite S^e^ du plan principal a sa trace horizontale en F sur MN; donc les projections de la droite S^e^ relevée seront «F, s!f\ et celles (ej, e/) du point e^ se trouveront G, en relevant le point G à l'intersection de la perpendiculaire e^hgi à MN, avec sF prolongé, et Ci sur la projection verticale s'/'.
Le point e^ est le pied d'une perpendiculaire abaissée, d'un point E de la droite cherchée, sur le plan MNP.
Les points e^ et e/ sont les projections du pied de cette perpendiculaire au plan *. Le problème revient
■ I I n' ii n I ■ «
* Si on en connaissait la longueur, les projections de son extrémité donneraient la projection du point E cherché.
àPPENDICB. ^1
donc à trouver les projections de cette perpendiculaire et sa longueur.
Par le point (c„ el) élevons une perpendiculaire au plan MNH : ses projections seront (hefi, e!gf). Si nous rabattons le plan qui projette cette droite horizontale^ ment, autour de hefi^ le point e^ de l'espace se rabattra en ejy et la droite GeJ sera le rabattement de la perpendiculaire cherchée. Si du point e/on prend sur GeJ une longueur c/E^ = c^E/", on aura rabattu la distance du point E au plan des deux droites. En relevant ce point, il se projettera en e sur efi, et en é sur e,V. En joignant alors («'e', se) y nous aurons les projections de la droite SE demandée.
Comme vérification, la hauteur éE^ du point E audessus du plan horizontal, doit être égale à la longueur efk.
PROBLÈME XVli.
Deiiœ droites non situées dans le même plan étant données ^ mener une droite qui s'appuie sur les deux premières, et qui fasse avec chacune d'elles un angle donné.
Le problème précédent nous servira à conduire la droite cherchée. Soient, en efifet, A et B les deux droites données dans l'espace. Par un point S de A, je mène une parallèle B' à B, et par ce point S je mène une droite SE qui fasse les angles donnés avec A et B'. Soit ensuite mené un plan par la droite A et la droite SE, ce plan viendra rencontrer la droite B en un point M. Je mène enfin une droite nouvelle parallèle à SE : ce sera la droite demandée.
272 APPKNDICE.
