CHANGEMENTS DES PLANS DE PROJECTION
Dans le chapitre premier et dans un grand nombre de problèmes de l'appendice , on a dû recourir à des plans auxiliaires qu'on a rabattus. 11 est presque inutile de traiter d'une manière systématique ces transformations. Nous prendrons cependant un résumé des principes qui peuvent guider dans ces chaogements.
l. Changer le plan horizontal de projection en conservant le plan vertical et en prenant pour plan horizontal nouveau un plan parallèle au premier plan horizontal de projection.
Il faut rappeler les généralités. La projection d'un point sur un plan est le pied de la perpendiculaire abaissée du point sur ce plan , et les projections d'un même point sur les deux plans de projection rectangulaires , après rabattement, sont situées sur une même perpendiculaire à la ligne de terre. Enfin y la distance d'un point à l'un des plans de projection est égale à la distance, à la ligne de terre, de la projection sur l'autre plan.
Dans le changement, la nouvelle ligne de terre est parallèle à la première; la projection verticale d'un point n'a pas changé, et la projection horizontale de ce point est à une distance de la nouvelle ligne de terre égale à la distance du point au plan vertical, c'est-à-dire à la distance de la première projection horizontale à la première ligne de terre.
II. Leplan horizontal restant le même, le nouveau plan vertical estparalUle au premier plan vertical deprojection •
AmiiDici* 173
La solution est la même que pour le cas précédent. On doit B'exêrcer à trouver les projeotiouB d'une droite après le changement de plan vertieal , et aussi les traces d'un plan donné après ce changement.
m. Le plan horizontal restant le mime y prendre pour plan vertical un plan perpendiculaire à la ligne de terre.
Nous avons constamment fait usage de ce changement de plan ^ et surtout quand il y avait des droites situées dans des plans perpendiculaires à la ligne de terre. Nous appelions ces transformations des rabattements sur le plan horizontal.
IV. Prendre pour plan vertical un plan perpendiculaire au plan horizontal y en conservant le plan horizontal.
La trace horizontale du plan vertical sera la nouvelle ligne de terre ; la projection horizontale ne change point, et la projection verticale est distante de la nouvelle ligne de terre d'une longueur égale à la distance du point à la première ligne de terre. On cherchera aussi ce que devient la projection verticale d'une droite et sa trace verticale nouvelle. On résoudra la même question de transformation pour un plan donné par ses traces.
V. On prend pour plan horizontal un plan qtÂelconquê, la trace horizontale de ce plan pour ligne de terre j et Von demande de trouver , avec ces nouvelles données, les projectiofis d'un point , les projections d'une ligne p et enfin les traces d'un plan*
On prendra toujours le pied de la perpendiculaire
abaissée d'un point sur le nouveau plan horizontal, et
la distance de ce point à ce nouveau plan. On rabattra
sur le plan horizontal primitif et le plan horizontal
274 APPKNDICB.
nouveau , et le plan vertical. Ce changement est trèsheureux pour la solution des problèmes très-difficiles a résoudre par d'autres procédés.
PROBLÈME XVIII
Plus courte distance de deux droites trouvée par le changement des plans de projection.
On a deux droites A et B; on mène un plan perpendiculaire sur la droite A, ce plan est le nouveau plan horizontal de projection; on cherche les projections de la droite B sur les nouveaux plans de projection , et ainsi ^ comme on le sait, la plus courte distance se projette en vraie grandeur sur ce plan.
Le problème étant résolu pour les nouveaux plans de projection, on fera la transformation pour obtenir les projections de cette plus courte distance sur le premier plan.
Une droite étant donnée , trouver sur cette droite un point tel, qu'en abaissant de ce point une perpendiculaire à la ligne de terre, cette perpendiculaire soit égale à une ligne donnée.
On changera de plan de projection, de manière que la perpendiculaire à la ligne de terre se projette en véritable grandeur sur ce plan.
On prendra, paur plus de simplicité, pour nouveau plan vertical, un plan perpendiculaire à la ligne de terre passant par la trace verticale de la droite donnée; on projettera sur ce plan vertical nouveau la droite donnée , et le problème reviendra à la construc-
APPBNDICS. S75
lion d'une circonférenee décrite d'un rayon égal à la distance donnée , et qui rencontrera la nouvelle pro-* jectîon de la première droite.
La suite de la construction de Tépure ne présente rien de nouveau.
Deuœ droites non situées dans le même plan étant données, trouver sur la première un point tel que la perpendiculaire abaissée sur la seconde soit égale à une ligne donnée.
Il est évident que si la droite sur laquelle on veut mener la perpendiculaire était perpendiculaire au plan horizontal; cette droite perpendiculaire qu'on cherche se projetterait sur le plan horizontal en véritable grandeur. Dans ce cas , la solution se réduirait à décrire une circonférence sur le plan horizontal de projection, de la trace horizontale de la verticale donnée pour centre; avec un rayon égal à la longueur de la pei^endiculaire cherchée. Les rayons menés aux points de rencontre de cette circonférence de cercle avec la projection horizontale de la seconde droite , donneraient les projections horizontales des deux droites cherchées.
Par les procédés ordinaires , on obtiendrait immé* diatement les projections verticales de ces droites. (Nous disons de ces droites ^ car il y a ordinairement 4eux solutions.)
On voit comment on peut résoudre le problème dans le cas général , au moyen d'un changement de plans de projection :
Soient  et B les deux droites données. On veut
276 ApnmiMci.
trouver un point de B tel qu*en abaissant une perpen<diculaire sur A^ etc.
Supposons que Ton connaisse la trace horizontale H de B; par ce points abaissons un plan perpendiculaire à la droite A : c'est ce plan que nous prenons pour nouveau plan horizontal de projection. Le problème est alors ramené au cas où la ligne principale est perpendiculaire au plan horizontal.
ScoLiE. Le problème de la plus courte distance est un cas particulier de celui que nous venons de résoudre ^ et nous engageons le lecteur à faire les constructions que nous avons indiquées^ en variant les données.
PROBLÈME XXI (figure 73).
Trouver les projections de Vépicycloïde sphérique. . L'épicyclolde sphérique^ dont il est ici question^ est engendrée par un point de la circonférence d'un cereie, qui sert de base à un cône droite lequel est tangent à un second cône droit de même sommet et de même génératrice.
On suppose donc que le premier cône roule , sans glisser^ sur le second; et qu'un point de la circonférence de la base du cône mobile engendre la courbe nommée épicycloïde sphérique.
La projection de cette courbe s'obtient par la méthode des rabattements d'une manière simple. En et* fety après le roulement d'une portion de la circonférence ^ il est facile de rabattre et de relever le point dans sa nouvelle position.
FIN m LA dÉCHUÉTRIB DESCRIPTIVE.
DE
PLANCHES
