Inscrire un carré dans un triangle. — Discussion
8. Sur la ïase BC d'un triangle ABC, on décrit extérieurement au triangle un carré BCDE; on mène les droites AD et AE qui coupent BC en P et en Q : démontrer que PQ est égal au côté du carré inscrit dans le triangle ABC et reposant sur BC.
9. a, b, r, désignant les longueurs des trois côtés d'un triangle, Pj y, r, celles des trois hauteurs; x, r, 2, les côtés des trois carrés inscrits ; •2?', y, z'f les côtés des trois carrés ex-inscrits^ démontrer les relations
ar p a y* q o Z r c
10. La distance d'un point M d'une circonférence à une corde quelconque est la moyenne proportionnelle des distances du même point aux tangentes menées par les extrémités de la corde considérée.
11. Si, d'un point pris dans le plan d'un polygone, on abaisse des perpendiculaires sur tous ses côtés, les deux sommes des carrés des segments déterminés pris alternatiYoment sont égales.
12. Dans tout triangle ABC, le produit des distances xles pointe B et G à la bissectrice de Tangle mtérieur A est égal au carré de la moilié de BC, diminué du carré de la demi-différence des côtés AB et AG ; de même, le produit des distances des points B et G à la bissectrice de l'angle extérieur A est égal au carré de la demi-somme des côtés AB et AG, diminué du carré de la moitié de BG.
13. Le sommet A d'un rectangle ABCD est fixe, les sommets B et D se meuvent sur un môme cercle; quel est le lieu du sommet G opposé au
, sommet A?
14. Trouver le lieu des points qui partagent les diverses cordes d'un cercle donné en deux segments (additib ou soustractifs) dont le produit soit constant.
Itf. Dans tout trapèse, la diiSftrence des carrés des diagonales est à la
tt
l62 GÉOMÉTIIB PLAlfB.
dîfféFence des carréB des côtés non parallèles comme la somme des côtés parallèles est & leur diflérence.
16. Calculer les diagonales d'un trapèze, connaissant ses quatre côtés.
17. Si Ton mène une tangente à un cercle, la partie de cette tangenic interceptée par les tangentes menées aux extrémités d*un môme diamètre est divisée au point de contact en deux segments dont le produit est égal au carré du rayon.
18. Deux cercles sont tangents en 0; par le point 0, on mène à angle droit l'une sur Tautre les sécantes communes POP', QOQ'; A et À' étant les points où la ligne des centres coupe les deux cercles, démontrer la relation
19. AOB est un quadrant; si l'on tire la corde Qq parallèle à ia corde AB, jusqu'à ses points de rencontre R et r avec les rayons OA et OB, oii a
QR* + Qr'=ÂB'*
20. Soit un demi-cercle décrit sur AB; deux cordes quelconques AD et BG se coupent en F : démontrer que Âb' = AD. AP + BC.BP.
21 . Dans un triangle quelconque ABC, soient M le milieu de la base BG, I son point de contact avec le cercle inscrit au triangle, H et K les points de rencontre de la hauteur et de la bissectrice issues du sommet A avec BG ; démontrer la relation
MI.HIsMH.KI.
22. R, r, p,, p.^, p., étant les rayons du cercle circonscrit, du cercle inscrit et des cercles ex-inscrits à un trian<;lc quelconque, et o.^, Oj, éteint les disUinces du centre du cercle circonscrit aux centres des cercles inscrit et ex-inscrits, démontrer les relations
R« = 1^4- aRr = ^ « aRp, = ^1 aBp, g ^ i aRp,= ° '
23. Si ABCD est un parallélogramme, et si Von décrit un cercle passant par A et coupant respectivement en F, H, G, les côtés AB et AD et la diagonale AC, démontrer la relation
