FF) E C

Soit {Ji^. 168) le parallélogramme ABCD. On obtient le rectangle de même base et de même hauteur, en menant des exirémités de la base AB sur le côté opposé les perpendiculaires AF et BE. Pour démontrer le théorème énoncé, il suffit alors (2'i.9 ) de prouver l'équivalence du parallélogramme ABCD et du rectangle ABEF. Le trapèze ABEl) est une partie commune à ces deux figures; il reste donc à comparer les parties non communes BEC, AFD. Or, ces parties non communes sont des triangles rectangles égaux, comme ayant l'hypoténuse égale et un côté de l'angle droit égal, savoir : BC = AD comme côtés opposés d'un parallélogramme, et B£ = AF pour la même raison.

253. En désignant par S, B, H les trois nombres qui mesurent respectivement l'aire d'un parallélogramme, sa base et sa hauteur, on a la i'ormule

Donc :

Deux paraîlélogramiM» de même hase et de même hauteur sont équivalents; deux parallélogrammes sont entre eux comme les produits respectifs de leur base par leur hauteur; deux pa-

rallélofçrammes de même base sont entre eux comme leurs hou»

leurs; deux parallélogrammes de même hauteur sont entre eux comme leurs bases.

lyo géom£tri£ plane.

THÉORÈME

25&. Vaire d'un triangle a pour mesure la moitié du pro^ duit de sa base par sa hauteur.

Il suffit, pour démontrer ce théorème, de prouver que tout triangle est la moitié du parallélogramme de même base et de

même hauteur.

Soit le triangle ABC {Jig* 169). On oblienl un parallélogramme de même base B(] et de même hauteur AE, en menant, par les sommets A et C du irianfîle, des parallèles AD et CD aux rôles opposés. Le triangle A1?C c^si la moilié de ce parallélogramme ABC.D, car tout parallclograninie est partagé par une de ses diagonales en deux triangles égaux (33), Donc, l'aire du parallélogramme ABCD étant égale au produit de sa base BC par sa hauteur AE {*25*2), l'aire du triangle AIîC sera égale à la moitié du produit de sa base BC par sa hauteur A£.

CoaOLLAIBBS.

255. En désignant par S, B, II, les trois nombres qui mesurent respectivement l'aire du triangle, sa base et sa hauteur, on a la formule

Donc:

Deux triangles de même base et de même hauteur sont équivalents; deux triangles sont entre eux comme les produits respectifs de leur base par leur haulriir; deux triangles de même base sont entre eux comme leurs /uutfeurs^ deux triangles de même hauteur sont entre eux comme leurs bases.

S56. Quand le triangle est équilatéral, son aire s'exprime en fonction de son côté rt, La hauteur du triangle lombanl alors au milieu de sa base.

UVBS IT. — LES AIBBS. 1 7 1

on a en effet

rs/3

et la formule

devient

EznPLB. — Quelle est l'àire du triante équilaUral de 1 mètre de côté ?

Ona

4 4 à I centimètre carré près.

257. Pour évaluer l'aire d'un polyf;one> il suffit de décomposer ce polygone en triangles, de calculer les aires de ces triangles et de faire la somme des nombres ainsi obtenus.

^ THÉORÈME

258. L'aire d'un trapèze a pour mesure le produit de la demi-^omme de ses bases par sa hauteur.

Soit le trapèze ABCD {Jig, 170). En menant la diagonale BC, on le partage en deux triangles ABC, BCD, qui ont pour hauteur commune la hauteur ËF du trapèze, et pour bases res-

pectives les bases mêmes du trapèze. L'aire du premier est AB CD

égale à — • ËF, celle du second à • EF. En ajoutant ces deux expressions, on trouve, pour l'aire du trapèze.

StOLIES.

259. En désignant par S, B, b. H, les nombres qui mesurent respectivement Taire d'un trapèze, ses deux bases et sa hauteur, on a la formule

260. Menons par le point G {fig. 170), milieu du rùié x\C, une parallèle GH aux deux bases du trapèze. Cette purailèle coupera le côté BD et la diagonale BC en leurs milieux U et L (169). On aura donc'