LIVRE V. — LE PLAN. I

On voit, par la délinilion même de l'angle de deux droites, que, lorsque denv droites sont perpendiculaires entre elles, toute parallèle à l'une est perpendiculaire à l'autre.

THÉORÈME

901. Les intersections A et B de deux plans parallèles V etQ par un troisième plan R sont parallèles {fig, 189).

£d effet, les droites A et B sont dans un même plan R, et elles ne se rencontrent pas, puisque les plans P et Q n'ont aucun point commun ; donc elles sont parallèles.

Fig. iSg,

Fig. 190,

COBOLLAIIBS.

302. Par un point A, on ne peut mener qu'un plan parallèle à un plan donné P {fig. 190).

En effet, supposons qu'on puisse en mener deux Q etQ', et soit AI> leur inierseciion. Dans le plan Q menons une droite BG différente de AB, et par cette droite BC et un point quelconque D du plan P, concevons un plan auxiliaire; soient BC et 1)K les droites suivant lesquelles ce plan auxiliaire coupe les plans Q' et P.

D'après le théorème priVi-donl (301 ), BC et J)E seraient parallèles, et il en serait de même de \M J et de DE. On iiourrait donc par le point A mener deux parallèles BC et BC à Di£, ce qui est impossible (285).

303. Deux plans parallèles à un troisième sont parallèles entre eux; car, s'ils se rencontraient, on pourrait, par un point de leur intersection, mener deux plans parallèles à un même plan, ce qui est impossible (302).

200 GAOÏIÉTRIE DANS l'eSPAGB.

THÉORÈME

304. Si deux pians VetQ sont parallètes, toute droite D parrallèle au plan P est parallèle au plan Q ou située dans ce plan.

. En effet, un plan quelconque mené par la droite D coupera le plan P suivant une droite D' qui sera parallèle à D (291), et qui sera aussi parallèle au plan Q, attendu que, les plans P elQ étant parallèles, toute droite D' du premier est parallèle au second. Donc, la droite B étant parallèle à une droite D', qui est parallèle au plan Q, sera (295 ) parallèle à ce plan ou située dans ce plan.

GoaOLLllHB.

305. Si par un point A extérieur à un plan P, on mène des droites parallèles à ce plan, le lieu de ces parallèles est le plan Q mené par A parallèlement au plan P; car ruiie quelconque AC de ces parallèles doit n'avoir aucun point commun avec le plan Q ou y être contenue tout entière (30V); et c'est ce dernier cas qui a lieu ici, puisque la droite AC a déjà un point commun A avec le plan Q.

FIg. 191. Fig. 199.

THÉORÈME