L* intersection de deux plans est une ligne droite

Car, si surja ligne commune aux deux plans on pouvait trouver trois points non en ligne droite, les deux plans coïncideraient (283), au lieu d'être distincts comme on le suppose.

287. L'intersection de trois plans estf en général, un point; c'est le point où la droite commune aux deux premiers plans coupe le troisième.

UYRE V. — LE PLAN.

Programme qfficiel : Parallélisme des droites et des plans,

BÉnHITIONS.

288. Deux droites prises arblirairemenl dans l'espace ne sont pas en général siiuées dans un même plan. Or, deux droites non situées dans un même plan ne peuvent ni se rencontrer (28i) ni être parallèles (-285). On voit par là que, pour prouver le parallélisme de deux droites, il ne suffira plus désormais d'établir qu'elles ne se rencontrent pas; il faudra montrer en outre qu'elles sont dans un même plan.

289. Une droite et un plan sont dits parallèles lorsqu'ils ne peuvent avoir aucun point commun.

Deux plans sont dits parallèles lorsqu'ils ne peuvent avoir aucun point commun.

THÉORÈME

290. Si une droite CD est située dans un plan P, toute parallèle AB à cette droite est parallèle à ce plan ou située dans ce plan {Jig, i83 et 184).

En effet, le plan Q des deux parallèles AB et CD coïncide avec le plan P ou le coupe suivant la. droite CD, Dans le premier cas i^g. i83 ), la droite AB appartient tout entière au plan P. Dans le second cas [Jîg. 184), la droite AB est parallèle au plan P ; car si elle rencontrait ce plan, ce ne pourrait être qu'en un point de CD, eX alors elle couperait CD couirairement à l'hypothèse.

Fig. i83. Fig. 184.

THÉORÈME

291. Si par une droite AB parallèle à un plan P on mène un plan Q qui coupe le plan P, l* intersection CD est parallèle

àKh{fig. i84).

196 6É0MÉTRIB DAHS l'bBPACB.

En effet, les droites AB et CD sont dans un même plan Q; et AB,qui esl parallèle au plan P, ne saurait renconirer CD, qui appariicni tout entière à ce plan P. Donc les droites AB et CD sont parallèles.

Corollaires.

292. rinteneetwn kk' de deux plans BB'A'A, CG'A'A, menés par deux droites parallèles BB', CC, est parallèle à chacune de ces droites {Jîg. 187 ).

En effet, la droite BB' étant parallèle à CC est parallèle au

plan CC'A'A (290); par suite, rinlersection AA' de ce plan et du plan BB'A'A, mené parBB', esl parallèle à BB' (291). On verrait de même que AA' est parallèle à CC.

293. Deux droites A A', BB', parallèles à une troisième GC, sont parallèles entre elles {Jig. 187 )•

En eflet, À étant un point pris à volonté sur A A^ les plans ABB% ACG% conduits suivant les parallèles BB' etCC, doivent % se couper suivant une droite passant par A et parallèle à la fois à BB' et à ce (292). Cette intersection n'est donc autre que AA', puisque par A on ne peut mener qu'une parallèle AA' à ce (285); donc enfinUA' est parallèle à BB'.

294. Les parallèles AC et BI) comprises entre une droite CD et un plan P parallèles sont égales {Jîg, i85).

En effet, le plan 0 des deux parallèles AG et BD coupe le plan P suivant une droite AB parallèle à CD (291 ). Donc AG et BD sont égales comme parallèles comprises entre parallèles (67).

Fiff. i85. fif. 186.. Fig. 187.

THÉORÈME

295. Si une droite CD est parallèle à un plan P, toute parallèle AB à cette droite est parallèle à ce plan ou située dans ce plan {fig, 1 85 et 186).

En effet, le plan ABCD ne peut couper le plan P que suivant

UTRV T. — W l*LAW. 197

une parallèle à CD (291); puisque AB et CD sont parallèles, celte inlerseciion est la droite AB elle-même {Jig. i85), ou (293) une parallèle EF à AB (/ig.iSGj.Donc AB est située dans le plan Pou lui est parallèle.

Ce théorème est la généralisation de celui du n° 290. Ck>BOLijaRS.

â96. L*intenection de deux plans parallèles à une même droite est parallèle à cette droite; car si, par un point commun aux deux plans, on mèn^ la parallèle à la droite considérée» cette parallèle doit (295) appartenir à chacun des deux plans.

THÉORÈME

297. Deu.v ai^^s qui ont leurs côtés respectivement parai* lèles sont égaux ou supplémentaires^ et leurs plans sont pO' mUèles» ,

!• Deux angles BAC, B'A'C, dont les côtés AB et A'F , AC et A'C'«ont deux à deux parallèles et de même sens* sont égaux CAg. 187). •

En «ffet, prenons A'B' =AB, A'C = AG, et menons AA% BB', ce, BC, B'C. Les deux droites AB et A'B' étant égales et parallèles, la figure AB B'A' est un parallélogramme, et, par suite, BB' est égale et parallèle à AA'. On verrait de même que ce est égale et parallèle à AA'. Donc (293) BB' et CC sont égales et parallèles, la figure BB'C'C est un parallélogramme, et BC = B'C'. Les triangles ABC, A'B'C, étant égaux comme ayant leurs côtés égaux chacun à chacun, les angles BAC, B'A'C, sont égaux.

On déduit de là, comme en Géométrie plane, que deux angles dont les côtés sont deux à deux parallèles ei de sens contraire sont égaux, et que deux angles qui ont deux côtés parallèles et de même sens et deux côtés parallèles et de sens contraire sont supplémentaires.

2° Les plans BAG,B'A'C', sont parallèles.

En effet, AB étant parallèle àA'B' est parallèle auplanB'A'C (290) ; donc si le plan BAC rencontrait le plan B'A'C, Vintersection serait parallèles AB (291 ). AG étant parallèle à A'C', on Terrait de même que l'intersection des deux plans serait parallèle à AG. Donc, par le point A, on pourrait mener deux parallèles AB et AG à l'intersection, ce qui est. impossible (285).

ig8 GtoMftruB sahs l'espa€b.

Corollaire.

298. Pour mener par un point donné A un plan BAC parallèle à un plan donné B'k'C, il suffit de tracer dans ce plan deux droites qui se coupent A!B\ A'C% et de mener par A des parallèles AB et AG à ces deux droites. Ces parallèles déterminent le plan demandé.

Fig. 188.

SCOLIB*

899. Sur une droite (fielconque MN {fg. 188), on doit distinguer deux sens : le sens de MN et le sens contraire, celui de NM.

On appelle angle de deux droites dont la position dans l'espace cl le sens sont donnés, l'anf^lc que l'on forme en menant par un point quelconque, à chanme des droites données, une droite parallèle el de même sons. Ainsi MN et PQ étant les deux droites données, par un point quelconque A do l'espace, menons AB parallèle à MN et de ni(Mne sens, A(' parallèle à l'Q el de même sens ; l'angle BAC sera, par dérinition, l'angle des deux droites MN et PO.

Pour que cette définition n'offre rien de contradicloire, il faut que la grandeur de l'angle ainsi obtenu soii indépendante de la position du point par lequel on mène des parallèles aux deux droites données. Or, soient BAC et B'A'C les valeurs obtenues pour l'angle de MN et de PQ en menant à ces droites des parallèles par deux points difTérents A et A'. Les droites AG et A'C étant chacune parallèles à MN et de même sens que cette droite sont parallèles et de même sens (293); il en est de même pour AB et A'B'; par suite, les deux angles BAC,B'A'C% sont égaux (297,

300. On dit que deux droites non situées dans le même plan sont perpendiculaires l'une à l'autre, lorsque leur angle (299) est droit.