AB BC AC AD'^DE"' AE

Mais les segments AD, DE, AE, sont respectivement égaux à A'B', B'C, A'C\ comme parallèles comprises entre plans parallèles (306). La relation (i) est donc démontrée.

Deux droites concourantes AC, AE, étant divisées en parties proportionnelles par le point A et les plans parallèles Q et R, il en sera de même évidemment pour une série de sécantes partant du point A.

EXERaCES.

1. Dans tout quadrilatère gauche, c'est-à-dire dont les o6tés ne sont pas situés dans un plan unique, les milieux des cèlés sont les sommets d'un parallélogramme.

2. Par une droite donnée, on peut mener un plan parallèle à une autre droite donnée, et on n'en peut mener qu'un.

3. Par un point donné, on peut mener un plan parallèle à deux droites données, et on n'en peut mener qu'un.

4. Mener une droite qui soit parallèle à une droite donnée, et qui roir contre deux droites données non situées dans un mômo plnn.

■ 5. Démontrer que deux droites qui sont parallèles à un plan donné, et qui rencontrent deux autres droites {)iacées d'une manière quelconque dans l'espace, ne sont pas en général dans un même plan.

6. Une droite se déplace en restant parallèle à un plan donné et en s'appuyant sur deux droites placées d une manière quelconque dans l'espace; quel est le lieu des points qui divisent la droite mobile dans un rapport donné?

7. Entre deux droites données d'une manière quelconque dans l'espace, mener une droite parallèle i un plan donné et ayant une longueur donnée.

aoa cfioatnn dans l'BsrACB.

Progeammb OFnciEL : Perpendiculaire et obliques au plaii.

DÉFINITIOlfS.

908. On dit qu'une droite et un plan sont perpendiculaires l'un à Vautre, lorsque cette droite est perpendiculaire (300) à toutes les droites du plan.

Une droite est dite oblique à un plan, lorsqu'elle rencontre ce plan sans lui élre perpendiculaire.

Fig. igS. Fi0. 194. FIg. ig5.

THÉORÈME

309. Si une droite AB est perpendiculaire au plan P, toute parallèle CD au plan P est perpendiculaire à la droite AB

£n effet, si par le point A, où AB rencontre le plan P, on mène A£ parallèle à CD, cette droite A£ sera contenue dans le plan P (295); par suite (308), l'angle BAS sera droit, el comme cet angle est égal à l'angle des deux droites AB et CD (299 )y on voit que ces deux droites sont perpendiculaires l'une à l'autre*

310. RÉ(:irR()(H;E:'îrNT, si une droite \B est perpi ndiculaire à un plan P, toute perpendiculaire Cl) à la droite AB est parrallèle au plan P ou située dans ce plan,

£n effet, menons.par le point A la parallèle A£ àCD: l'angle BA£ sera droit. Par suite, la droite ÂE sera contenue dans le plan P, car sans cela le plan BAE couperait le plan P suivant une perpendiculaire à AB (308), et l'on aurait au point A, dans le plan BA£, deux perpendiculaires sur BA, ce qui est impos-

LITBI T. — tB PLAN. 203

sible. Dès Iors> la droite CD étant parallèle .à une droite AE du plan P, est parallèle à ce plan ou située dans ce plan (295).

Corollaire.

311* Si deux plani P Q sont parallèles, toute droite D perpendiculaire à Vun P est perpendiculaire à l'autre Q; ou plus brièvement» deux plans parallèles ont leurs perpendiculaires communes.

En effet, toutes les droites du plan Q, étant parallèles au plan P, sont perpendiculaires à la droite D (309), qui, par suite, est perpendiculaire au pian Q (308).

SCOUB.

312. Si une droite AB est perpendiculaire à un plan V, toute parallèle CD à cette droite est perpendiculaire à ce plan {Jîg. ig^); en d'autres termes, deux droites parallèles ont •

leurs plans perpendiculaires copimuns.

En etïel, toute droite KF du plan P, étant perpendiculaire à AB, est (300) aussi perpendiculaire à sa parallèle CD, qui, par suite, est perpendiculaire au pian P.

THÉORÈME

313. Par un point donné A on peut toujours mener une droite perpendiculaire à un plan donné P, et on ne peut en mener qvC une.

1° Supposons le point A extérieur au plan P [fi^. 195). La dislance du point A à un point (juclconquo du plnn P varie avec la position du point M dans ce plan; car si le point M se déplace, par exemple, sur une droite EF du plan P, la longueur AISÏ croît à mesure (jue le point M s'écarte du ])iod G de la pcrpcndirulaire AG, abaissée du point A sur la droite EF - dans le plan AEF (iO). Celte distance variable du point Vaux divers points du plan P ne peut évidemment devenir aussi petite que l'on veut, puisque le point A est hors du plan P; donc elle ne descend pas au-dessous d'une certaine limite, en d'autres termes, elle est susceptible d'un minimum. D'ailleurs, parmi les droites qui unissent le point A aux divers points du plan P, il n'en est qu'une qui possède cette longueur minimum, car cette longueur minimum ne saurait appartenir

304 GtOatTUI DAKS L'UPACE*

à deux droites égales, telles que AG et AD, puisque la médiane AI du triangle isocèle ACD est moindre que chacune d'elles. Enûn, cette droite unique AB, de longueur minimum, dont nous venons de prouver l'existence, est perpendiculaire à une droite quelconque EF du plan. En effet, en menant par le point B, où AB perce le plàn P, la parallèle BH à EF, on forme un angle ABU é{^al à celui des deux droites BA et EF (299); or, cette parallèle Bll est située dans le plan BEF, c'est-à-dirt; dans le plan P; déplus, la dioite AB, plus courte dislance du point A au plan P, est en particulier la plus courte distance du point A à la droite KBll de ce plan; donc AB est perpendiculaire à BH, et, par suite, à EF. Ainsi on peut mener du point A une droite AB qui soit perpendiculaire à une droite quelconque du plan P, c'esl-à-dire (308) qui soit perpendiculaire à ce plan.

On ne peut en mener qu'une* En effet, toute autre droite AM issue dii point A est oblique au plan P, puisque, le triangle AMB étant rectangle en B, i'anglq AMB est aigu.

FJ9. igS. Fig. 196.

^ Supposons le point A situé dans le plan P (Jig, 196).

Soit Q un plan parallèle à P. Les plans parallèles P et Q ayant leurs perpendiculaires communes! 311), dire que par le point A on peut élever une perpendiculaire au plan P et qu'on ne peut en élever qu'une, c'est dire que du point A on peut abaisser une perpendiculaire sur le plan Q, et qu'on ne peut en abaisser qu'une; or c'est ce que nous venons d'établir ( 1°).