C0ROU.AIRE

314. Deux droites AB et CD peipendiculairet à un même plan P sont parallèles ( fig, 1 94 ) ; car si l'on imagine par un point quelconque G de CD la parallèle à AB, cette parallèle sera perpendiculaire au plan P (312); elle coïncidera donc avec CD,

UTBB T« — LB PLAN. 205

puisque du point G on ne peut mener qu!une perpendiculaire au plan P( 313).

SCOLIES

315. Eu Géométrie, le mot distance est toujours synonyme de plus courte distance. D'après cela, il résulte du raisonnement fait au n** 313 ( i°), que la distance d'un point A. à un plan P est la longueur de la perpendiculaire abaissée de ce point sur ce plan,

U résulte de là, ainsi que des n~ 294, 306 et 314, que: 1^ une droite et un plan parallèles sont partout équidistants ; t!* deux plans parallèles sont partout équidisttmts»

316. On appelle projection d'un point A sur un plan P {Jig. 197) le pied a de la perpendicubiro abaissée de ce point sur ce plan. La projection d'une ligne quelconque ABC... sur un plan P est le lieu des projections a, b, c,. . des divers points de celte ligne.

Fjg. 197. Fig. 198.

La projection d'une ligne droite AB sur un plan P est une

ligne droite [fig. 198); car toutes les perpendiculaires Aa, B^, . . . , abaissées sur le plan P des divers points de la droite AB sont parallèles (314-); leur lieu est donc un plan (285), cl, par suite, le lieu de leurs pieds est la droite a6 suivant laquelle ce plan coupe le plan P.

Lorsque la droite donnée est, comme EF, perpendiculaire au plan P, sa projection sur ce plan se réduit à un point e. Lorsque celte droite esi, comme CD, parallèle au plan P, elle est parallèle à sa projection cd ( 291 ).

THÉORÈME

317. Par un point donné A, on peut tou jours mener un plan perpendiculaire sur une droite donnée XY, et on ne peut en mener qu'un,

I* Supposons le point A situé sur la droite XY {Jig. aoo).

ao6 GtOMÉTR» DANS l'sSPACB.

Considérons à part un plan Q {Jig., 199), et la perpendiculaire HO élevée sur ce plan par Fun de ses points H pris à volonté; puis transportons cette figure tout d'une pièce, de manière que la droite OH s'appli(iue sur la droite XY de la Jig, 200, et que le point H tombe en A ; le plan Q, dans sa nouvelle position P, sera un plan perpendiculaire à XYau point A.

On ne peut en nicncr qu'un. En effet, soient AB et AC (^g-. 200) deux di oiles menées par le point A à angle droit sur XV; loul j)lan perpendiculaire à XY au point donné A doit (310) eonlenir clinrune des droites AB et AC; or> par ces deux droites on ne peut conduire cju'un seul plan {*i8V).

a° Supposons le point A extéi ieur à la droite XV {Ji^. ?.oi).

Soit UZ la parallèle à XV menée par A. Les droites parallèles XV' et UZ ayant leurs plans perpendiculaires communs <3i2), dire que par le point A on peut abaisser un plan perpendiculaire sur XY et qu'on ne peut en abaisser qu'un» c'est dire que par le point A on peut élever un plan perpendiculaire sur UZ et qu'on ne peut en élever qu'un; or c'est ce que nous venons d'établir ( 1 ? ].

Fig. 199. Fig.soo. Fig.aoï.

Corollaire.

318. Deux plant perpendiculaires à une même droite sont parallèles; car s'ils se rencontraient, d'un point d(^ leur intersection on pourrait mener deux plans perpendiculaires sur la même droite, ce qui est impossible (317).

SCOLIES

319. Le lieu géométrique des perpendiculaires que Von peut mener à une droite AB par un point C est le plan P mené par ce point perpendiculairement à la droite AB {fg. 20 >. ) ; car l'une quelconque CD de ces perpendiculaires doit (310) n'avoir aucun point commun avec le plan P ou y être contenue tout