ACD -4- BCD = AGE + ECD + BCD

Or Tangle ACE est droit, et la somme ECD h- BCD est égale à l'angle droit BILiË. Donc enfin

ACD + BCD = 3 angles droits.

18. On dît que deux angles sont supplémentaires lorsque leur somme est égale à deux angles droits. D'après cela, dans la Jig, i4» chacun des angles adjacents ACD, BCD, est le supplément de l'autre. Deux angles qui ont des suppléments égaux sont égaux. Pour avoir le supplément BCD d'un angle ACD» il suffit de prolonger l'un des côtés AC au delà du sommet.

19. On nomme réciproque d'une proposition une seconde ^ proposition dont l'hypothèse et la conclusion sont respective- ^ ment la conclusion et l'hypothèse de ki première. Prenons pour exemple le théorème précédent. On peut l'énoncer de la manière suivante : Si deux angles adjacents ACD, BCD, ont leurs côtés extérieurs AC et BC en ligne droite, ces angles sont supplémentaires. La réciproque sera : Si deux angles adjacents ACD, BCD, sont supplémentaires, leurs côtés exlé" rieurs AC et BC sont en ligne droite»

Pour démontrer celte propos! lion, il suffit de remarquer que le prolongement de AC doit former avec CD ( 18) un angle

ÏO GÉOMÉTRIE PLANE.

égal au supplément de ACD, c'esl-à-dire, à cause de l'hypothèse, un angle égal à BCD; le prcdoDgemenl de AC ne diffère donc pas de BG.

On énonce la proposition contraire d'une proposition donnée, en adoptant à la fois une hypothèse et une conclusion opposées à celles de la proposition primitive. Prenons encore pour exemple le théorème précédent. Sa proposition contraire sera : Si deuxanf^ adjacents n'ont pas ieurs côtés extérieurs en ligne droite, ces deux angles ne sont pas supplémentaires^ En effet, s'ils Tétaient , leurs côtés extérieurs devraient être situés en ligne droite, en vertu de la proposition réciproque.

On volt que la proposition directe et sa réciproque étant I vraies, leurs propositions contraires le sont nécessairement; de même, l'cxisience d'une proposition directe et de sa contraire entraîne celle de leurs propositions réciproques.

Corollaires.

20. La somme de tous les angles consécutifs ABD, DBE, EBF, FBC, que l'on peut former autour du point B dune droite AG, (tun même côté de cette droite^ est égale à deux

Fie. i^* Fig. 16.

angles droits {fig- i^^); cnr lour somme est évidemment la même que celle des deux angles adjacents ABF, JbBC.

21 . Z« somme de tons les angles consécutifs AOB, BOC, COD, DOl^ EGA, que Von peut former autour d'uti même point 0, est égale à quatre angles droits [fig. 16); car en prolongeant OC, par exemple, suivant OC, on voit que celle somme équivaut à celle des angles C'OA, AOB, BOC, situés d'un cùté de ce, plus celle des angles COD, DOE, EOC, situés de l'autre côté ; et l'on vient de prouver que chacune de ces deux sommes partielles est égale à deux angles droits.

UTBB I. — LK LIGKE DROITE

XUÉÛRËM£.

5!3. Lorsque deux lignes droites AB, DE, se coupent, les angles opposés par le sommet sont égaux [fig, 17 ).

FIg. 17. Fig. 18.

Soient, par exemple, les deux angles opposés AOE, DOB. Le premier AOE a pour supplément l'angle AOL) foriiK'; par le côté AO et le prolongement OD du coté OE. Le second BOD a aussi pour supplément l'angle AOD, qui peut être considéré comme formé par le côté 01) et le prolongement OA du côté BO. Les deux angles AOE^DOB, ajant même supplément AOD, sont égaux entre eux.

On démontrerait de la même manière l'égalité des angles AOD et B0£.

GOBOLLAIRBS.

23. Lorsque V un des quatre angles formés par la rencontre de deux droites indéfinies AB et CD est droit, les trois autres sont aussi droits [fig. 18) ; car, de ce que l'angle AOC, par exemple, est droit, il résulte que son opposé DOB doit l'êti^e» ainsi que chacun de ses suppléments AOD et GOB.

On .voit par là que :

'Lorsqu'une droite AO est pet^ndiculaire sur une autre droite CD, son prolongement OB est aussi perpendiculaire sur la même droite /

Si une droite AB est perpendiculaire sur une autre CD, la seconde CD est à son tour perpendiculaire sur la première AB.

THÉORËBIE.

2^. Par un point O pris hors d'une droite AB, on peut tou-

12 GÉOMÉTRIE PLAKK.

jours abaisser une perpendiculaire sur cette droite, et on ne peut en abaisser qu'une {Jig, 19).

Fig- 19.

Désignons par 0' le point sur lequel vient s'appliquer le point 0, lorsqu'on plie la figure autour de la droite AB, de manière à en rabattre la partie supérieure sur la partie inférieure. Joignons aux points 0 et 0' un point quelconque I de la droite AB. Les angles adjarents OIB, O'IB, seront égaux ; car, si l'on pliait de nouveau la figure autour de AB, 0 venant sur ()' et 1 restant fixe, le premier angle recouvrirait exactement le second. D'après cela, pour que la droite 01 soit perpendiculaire sur AB, c'est-à-dire pour que l'angle OIB soit droit, il faut et il suffit que la somme des deux angles iidjacents égaux OIB, O'IB, soit égale à deux angles droits; et, par suite, que leurs côtés extérieurs 10, 10', soient en ligne droite. Donc enfin, comme entre G et 0' il existe toujours une droite, et une seule, on voit que du point 0 on peut toiijours mener une perpendiculaire sur AB, mais une seule.

EXERaCBS.

1. Les bissectrices de deux angles adjacents et BQpplémentaircs sont

perpendiculaires l'une à l'autre.

2. Les bissectrices des quatre angles formés par deux droites indéfinies forment deux droites à angle droit l'une sur l'autre.

3. Étant données quatre droites OA, OB, OC, OD, issues d'un mémo point 0, si les angles DOA, BOC, sont égaux entre eux, ainsi que les angles AOB, CDD, les côtés OA et OC sont en ligne droite, ainsi que les

côtés OB et OD.

4. ACB étant an angle, CO sa bissectrice et CM une droite menée à

volonté par le sommet C dans l'intérieur de cet angle, l'angle MCO est égal à la demi-ditîérence des angles MCA, MCB. Si la droite CM est extérieure à l'angle ÂCB, l'angle MCO est la demi-somme, des angles MCA, MCB.

LlYkE 1. — JLA UGMS DROITS

su.

Prociaiimb OFFicnL : Triangles. — Cas d' égalité les plus sinir , pies. — Propriétés du triangle isocèle^

DÉFINITIOMS.

S5« On appelle triangle la portion de plan renfermée entre trois droites qui se coupent deux à deux. La partie de chaque droite comprise entre les points où elle rencontre les deux autres est un côté du triangle. Ainsi la figure ABC [Jig. 10) est un triangle dont les côtés sont AB, BC, CA. Chacun des angles formés par deux côtés consécutifs est un angle du triangle :

F%. 91. Ftg.33.

ies sommets A, B, C, de ces trois angles sont appelés les somr mets du triangle.

On dit que deux triangles sont égaux, lorsqu'on peut les appliquer l'un sur l'autre de manière qu'ils coïncident.

26. Un triangle est isocèle, quand il a deux côtés égaux : tel est le triangle ÂBG (fig. 21), dans lequel ÂB est égal à ÀC. Le troisième côté BC prend spécialement le nom de base du triangle isocèle» et le sommet opposé A le nom de sommet du triangle isocèle.

Un triangle est équilatérai^ lorsqu'il a ses trois côtés égaux entre eux.

Enfin un triangle est dit rectanglcy lorsqu'il a un angle droit. Le côté BC {Jig, 22) opposé à l'angle droit A reçoit le nom ^hypoténuse,

27. Dans tout triangle ABC> un côté quelconque BC est moindre que la somme des deux autres AB et AG {Jig» 20 ).

Car la ligne droite BC, étant le plus court chemin entre les points B et G, est moindre que ia ligne brisée BA + AC.

t4 GÉOMÉTRIE PLANE.

28. Dans tout triangle ABC, un côté quelconque BC est plus grand que la différence des deux autres ÂG et AB. En effet» soit AC le plus grand des deux côtés AG et AB» on aura, d'après -le numéro précédent»

BC-hAB>AC;

d'où, en retranchant ÀB de part et d'autre» ^

BOAC — AB.

S9. Trois droites de longueurs arbitraires ne peuvent pas toujours former les trois côtés (tun triangle. Il faut que chacune d'elles soit moindre que la somme des deux autres, ou, plus brièvement, que la plus grande d'entre elles soii inférieure à la somme des deux autres. Par exemple, il n'existe pas de triangle dont les côtés aient des longueurs respectivement égales à 7 mètres» 5 mètres» i mètre.

30. Si deux triangles OBC, A15C, qui ont un côté commun BC, sont compris l'un dans l'autre, la somme des deux côtés OB et OC (lu triangle enveloppé est moindre que la somme des deux côtés AB et AC du triangle enveloppant {Jig, 23).

Fig.33.

En effet, prolongeons BO jusqu'au point I) où celte droite rencontre le coté AC. En rcniplaranl la ligne droite OC par la ligne brisée 01) -hDC, on change la somme UB + OC en une autre plus grande

OB + OD+DC ou BBh-DC.

De même, en remplaçant la ligne droite BD par la ligne brisée AB -h AD» on change la somme BD + DC en une autre

AB4-AD4-DC ou AB-i-AC,

UVRI I. — Là lignb raoïTB. l5 qui est plus grande encore. On a donc

OB-i-OG<ÂB+AG.

SCOLIE

31. Longue deux triangles O'BC, ABC, qui ont un côté commun BG» s'entrecoupent, la somme des deux côtés ÂB et (y€ qui ne se croisent pas est moindre que la somme des deux côtés AG et O'B qui se croisent (fig. a3}.

En effett on a dans le triangle ABD

AB< AD

et dans le triangle (yCD,

0'C<DC-hO'D.

En ajoutant ces deux inégalités membre à membre, on obtient

AB 4- OX < AD -t- DC -i- 0' D -f-

ou '

AB-f-(yG<AG-h(yB.

THÉORÈME

32. Si deux côtés ^un triangle sont égaux à deux côtés d'un autre triangle chacun à chacun, et si l'angle compris entre les premiers est plus grand que l'angle compris entre les

seconds, le troisième côté du premier triangle est plu^ grand que le troisième côté du second {fig. 24, 25, 26).

Soient les deux triangles ABC, A'B'C, dans lesquels on a AB r= A'B', AC = AT/, cl l'angle BAC plus grand que l'angle A' : le culé BC sera plus grand que le côté B'C

En effet, plaçons le triangle A'B'C en ABD, de manière que A'B' coïncide avec son égal AB, et que le côté A'C, qui fait avec A'B' un angle A' moindre que BAC, tombe suivant AD dans l'intérieur de l'angle BAC. La droite BD n'étant autre chose que le c6té B' C transporté, il sufût de démontrer que BG est plus grand que BD.

Or, il peut se présenter trois cas, suivant que le point D

l6 GÉOMÉTRIE PLANE.

tombe sur BG {Jîg. 24}> ou à l'intérlear du triangle ABC {Jig^ a5)» ou au dehors {Jig* a6).

Dans le premier cas (Jig, 24), le théorème est évident, puis-

Fig. 24. Fig. 25.

que BD n'est qu'une partie de BC.

Dans le deuxième cas [fig. a5), on a (30)

AC-t-BC>AD-i-BD;

d'où» en supprimant d'une part AC et de l'autre son égal AD,