LITRE TI. — LES POLYÈDRES

d'autres termes, le volume d'un paraUélipipède rectangle e$t égal au produit de ses trois dimensions.

Ce second énoncé n'est applicable qu'au paraUélipipède rectan^^e; nous allons prouvée en terminant ce paragraphe que le premier (38^)» où entrent explicitement la base et la hauteur du paraUélipipède, est applicable à tous les prismes.

38G. Le volume d'un cube est égal à la troisième puîssnnce de son arête. De là, le nom de cube donné à la troisième puissance d'un nombre.

THÉORÈME

387. Le volume d'un paraUélipipède quelconque a pour mesure le produit de sa base par sa hauteur.

Soit {Jig. 235) le paraUélipipède quelconque ÂG ayant pour base ABCP ou EFGH, et pour hauteur la perpendiculaire EP abaissée du sonnmet E sur le plan ÀBGD. Menons par le point E, dans le plan EFGII , la perpendiculaire EM à HG. Si l'on prend la face AEUD pour base du paraUélipipède pro-

Fig. 235.

posé (364), son arôle latérale sera £F, et sa section droite sera le parallélogramme EMQR déterminé par le plan HEP. Le paraUélipipède AG sera donc équivalent au paraUélipipède droit RK ayant pour base la section droite EMQR et pour hauteur l'aréte EF (379).

Ceci posé, reproduisons à part, pour plus de clarté {Jig. 235), ce paraUélipipède droit RK, et construisons un parai ItMipipède rectangle PK ayant pour dimensions EF, £M, EP. Le paraUélipipède droit RK et le paraUélipipède rectangle PK ainsi déterminé, présentent seulement comme parties non communes les deux prismes droits qui ont pour hauteur EF et pour bases les deux triangles égaux EPU, MVQ. Ces deux prismes droits étant égaux (377), les deux parallélipipcdcs seront cqui-

a38 GtOll£TRl£ DANS l.'£8PACB.

iralentset, parsuîic, il en sera de môme du parallélipipède quelconque AG ei du parallélipipède rectangle PK. Donc, le produit EF*£M.£P, qui exprime la mesure (d8S} du parallélipipède rectangle PK, mesuie aussi le volume du parallélipipède quelcomfue ÂG. Or, EF.EM mesure la base EFGII de ce parallélipipède, et EP est sa hauteur, v

Donc enfin, le volume du parallélipipède quelconque AG est égal au produit de sa base par sa hauteur.

THÉORÈME

388. Le volume d'un prisme quelconque a pour mesure lè produit de sa hase par sa hauteur.

Fig. 336. Fi;. 337.

1° Soit [fig. 236) le prisme triangulaire ABCEFG. Par l'extrémité A de l'arête AB, menons le plan ADllE parallèle à la face BCGF, et par l'extrémité G de l'arête BC le plan CDHG parallèle à la face AfiF£; prolongeons en même temps les deux bases du prisme jusqu'à la rencontre de ces plans. On obtiendra ainsi (3G6) le parallélipipède AG construit sur les trois droites AB, BC, BF. La face ACGE du prisme triangulaire considéré étant un plan diagonal du parallélipipède AG, ce prisme en sera la moitié (380). Donc, le volume du parallélipipède AG ayant pour mesure le produit de sa base ABCD par sa hauteur EP (387), le "volume du pdsme triangulaire ABCEFG aura pour mesure la moitié de ce produit, c'est-à-dire Je produit de sa base ABC, moitié du parallélogramme ABCD, par sa hauteur EP.

a» Soii [Jîg. ^37) un prisme quelconque ABCDEFGHIK. On le décompose en prismes triangulaires en faisant passer des plans diagonaux par l'arête AF et chacune des arêtes CH, DL Ces prismes triangulaires ont pour bases les triangles ABC,