LIVRE YI. — LES POLYÈDRES
ÂCD, ADË, qui composent la base du prisme donné, et leur hauteur commune est celle H du prisme. La somme de leurs mesures ( i°)
ABC.H -h AU).H + AD£.H,
ou la mesure du prisme AI, sera donc égale au produit de sa base ABCDË par sa hauteur H.
GOIOLLAIIBS*
389. En désignant par V, B, H, Ips trois nombres qui mesurent respectivement le volume d'un prisme, sa base et sa hauteur, on a la formule générale
Donc, deux prismes de bases équivalentes et de même haun teur sont équivalents ; deux prismes sont entre eux comme les produits respectifs de leur base par leur hauteur; deux prismes de même hase sont entre eux comme leurs hauteurs; deux prismes de même hauteur sont entre eux comme leurs bases,
EXERaCES.
1. Un bassin a la forme d'un prisme hexagonal régulier de o™,75 de hauteur, le côté de la base hexagonale est égal à i mètre; calculer la capacité du bassin.
2. Le volume d'un prisme triangulaire a pour mesure la moitié du produit de l'aire d'une face latérale par la distance de celte face à Tarétc opposée.
3. Si sur trois droites parallèles et non situées dans un môme plan, on prend d'une manière quelconque de? longueurs égales à une droite donnée, le volume du prisme triangulaire ainsi formé est constiint.
4. Deux prismes sont égaux : i* lorsqu'ils ont un angle dièdre égal compris entre une base et une face égales chacune à chacune et seniblablement disposées; 2° lorsqu'ils ont une base et deux faces adjacentes égales chacune à chacune et semblablement disputées.
5. Deux prismes triangulaires sont égaux, lorsqu'ils ont leurs faces latérales égales chacune à cliacune et semblablement disposées.
6. Vérifier par la Géométrie la formule qui donne le cube d'une somme ou d'une di£féreace de deux parties.
7. Mener par une droite donnée un plan qni partage un parallélipipède en deux parties équivalentes.
GÉOMÉTRIE DANS l' ESPACE.
DÉFINITipKS.
390. La pyramide est un polyèdre dont l'une des faces est un polygone quelconque, et dont toutes les autres faces sont des triangles ayant pour bases respectives les différents côtés delà face polygonale, et pour sommet commun un point extérieur à cette face.
Ainsi, soient [Jig. 238) un polygone ABCDE et un point S pris hors du plan de ce polygone. Le corps limité par la face polygonale ABCDE et par les faces triangulaires SAB, SBC, SCD, SD£, S£A, est une pyramide.
, 391. La pyramide SABGDE a pour base le polygone ABCDE et pour sommei le point S. Sa hauteur est la distance du sommet S à la base ABCDE, e'est-Mire la longueur de la perpendiculaire abaissée de ce point sur ce plan.
Les droites SA, SB, SC, etc., sont les arêtes latérales de la pyramide, et la somme des faces triangulaires SAB, SBC, SCD, etc., constitue son aire latérale.
392. La pyramide est régulière lorsque sa base est un polygone régulier dont le centre se confond avec le pied de la hauteur de la pyramide.
Les arêtes latérales d'une pyramide régulière sont nécessai-. rem'ent égales comme obliques s'écartant également du pied de la hauteur; ses faces latérales sont donc des triangles isocèles tous égaux entre eux. La hauteur d'un de ces triangles * est Vapothème de la pyramide régulière.
Fi0. 338.
UTRX TI. — UBS P0LTÈDRB8. 24 1
393. Suivant que la base de la pyramide est un triangle, un quadrilatère, un pentagone, un hexagone, etc., la pyramide est dite triangulaire, quadrangulaire, pentagonaUs, hexagonaUj ete,
39^^. Toute pyramide triangulaire ayant quatre faces, on lui donne souvent aussi le nom de tétraèdre (355).
D'après la dériniiion générale de la pyramide, on voit qu'on a le droit de prendre pour base d'un tétraèdre telle face qu'on veut; le sommet du tétraèdre est alors le sommet opposé à la base choisie.
Les tétraèdres sont dans la Géométrie de l'espace ce que les triangles sont dans la Géométrie plane. On fixe la position d'un point sur un plan en le rattachant par un triangle à deux points donnés. On fixe la position d'un point dans l'espace en le rattachant par un tétraèdre à trois points donnés.
395. Si l'on coupe une pyramide par un plan qui rencontre toutes ses faces latérales, le polyèdre compris entre la section obtenue et la base de la pyramide est une pyramide tronquée ou un tronc de pyramide.
Si le plan sécant est parallèle au plan de la base de la pyramide, le tronc de pyramide est dit à bases parallèles*
FSq. 339.
Soit {Jig. 289) la pyramide SABCDE. Coupons cette pyramide par le plan abcde parallèle à la base ABCDE, et compris entre celte base et le sommet S* La section abcde et la base ABCDE sont les bases du ironc de pyramide à bases parallèles ABCDEidkcde. La liaateur du tronc est la distance constante des plans de ses deux bases. Les segments Âa, B6, Gê, etc., sont ses arêtes latérales, et SOU aire latérale est la sonime des trapèzes ABa6, BC 6c, CD cJ, etc.
GÉOMÉTIIB DANS l'ISPACB.
396. Si la pyramide considérée est régalière» le tronc de pyramide à bases parallèles qui lui correspond esl un tronc de pyramide régulier.
THÉORÈNE.
897. Si une pyramide est coupée par un plan parallèle à sa . base:
Ses arêtes latérales et sa hauteur sont divisées en parties proportionnelles ;
1° La section est un polygone semblable à la base de la py^ ramide.
Fig. 34o. Fig. a4i.
i<* Soit (fig. i^o) la pyramide SABCDE coupée par le plan abcde parallèle à sa base. Ce plan rencontre les arêtes latérales SA, SB, se, etc., et la hauteur SU de la pyramide aux points a, by Cy. . h. Deux plans parallèles coupant en parties proportionnelles une série de sécantes issues d'un même point (307), on peut écrire immédiatement
Sa S6 Sr S^
SX ""SB"" se SH"
a« Les polygones ABCDE et abcde ont leurs côtés deux à deux parallèles (301 ) et dirigés dans le même sens. Les angles homologues de ces polygones sont donc égaux (297). De plus, le parallélisme de leurs côtés entraîne la similitude des triangles SAB et Sab, SBC et Sbc, etc. Par suite,
ab Sb Sb bc ^ ab bc
ÂB^SB* §B"~BC' • " ÂB""BC'
On prouverait de la môme manière qu'on a
bc cd de ea
BC"CD""Dl""IÂ*
LITRE TI. — LBS POITftDBXS. St^S
Les polygones ABCDE et abcde, ayant leurs angles égaux et
leurs côtés proportionnels, sont semblables.
COROLLAIIB.
* (th S o,
