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5. Soit un tétraèdre SABC coupé par un plan quelconque DEF : menons les diagonales des quadrilatères ABDE, BCFE, ACFD; ces diagonales se rencontrent deux à deux aux points G , H , K , et les droites SG, SH, SK, coupent elles-mêmes les cêtés dé la base ABC aux points L, M, N ; démontrer : i* que les transversales .AM, BN, CL, se coupent en un même point 0 de la base ABC; que les transversiries SO, AH, BE, GG, se coupent en un même point P de Tespaoe. -~ Examiner le cas où la section DEF est parallèle à la base ABC.

6. Sdt le tétraèdre SABC; menons une section quelconque DBF parallèle à la base ABC, et joignons les milieux des cêtés de cette section aux sommets opposés de la base : les trois droites obtenues se croisent en un même point dont on' demande le lieu.

7. Par un point quelconque pris dans l'intérieur de la base d'une pyramide régulière, on mène à celte base une perpendiculaire qui rencontre toutes les faces de la pyramide ou leurs prolongements ; démontrer que la somme des distances des pdnts de rencontre obtenus à la base de la pyramide est constante. — Considérer le cas où le pied de la perpendiculaire élevée à la base est extérieur à cette base.

8. Étant données les quatre hauteurs d'un tétraèdre et les distances d'un point à trois des faces, déterminer la distance de ce point à la quatrième face.

9. Quelle est la différence des volumes d'un tronc de pyramide à bases parallèles et d'un prisme de môme hauteur ayant pour base la section faite dans le tronc de pyramide à égale distance de ses bases?

10. La base d'une pyramide régulière étant un hexagone de 3 mètres de cêté, calculer la hauteur de cette pyramide, sachant que son aire latéralQ est dix fois Taire de sa base.

a66 GtOMiTRIB DANS l'BSPAGE.

ii. Soit une pyramide triangulaire SABC. Par le milieu E de l'arête SB, on mène le plan DEF parallèle à la base ABC, le plan EGH parallèle à la face ASC el le plan £DU ; la pyramide SABC se trouve ainsi décomposée en deux prismes triangulaires équivalents et en deux pyramides triangulaires équivalentes. On peut faire subir la même décomposition à la pyramide SDEF, et continuer ainsi indéfiniment ; en déduire le volume de la pyramide SABC.

lâ. Étant donnée une pyramide triangulaire SABC, à quelle distance

de la base ABC doit-on mener un plan parallèle abc, pour que le rapport des volumes de la pyramide &abc et du tronc de pyramide ABCabc soit

égal à

13. Couper un tétraèdre par un plan parallèle à deux arêtes opposées, de manière que la section soit maximum.

14. Far la droite qui joint les milieux de deux arêtes opposées d'un tétraèdre, on peut faire passer une infinité de plans; qael est celui qui détermine la section minimum?

15* Étant donné un prisme triangulaire, le couper par un plan tel, que la section soit semblable à un triangle donné.

16. Par un point 5 pris sur le prolongement de l'axe d*an prisme hexagonal régulier et par les côtés du triangle équilatéral obtenu en joignant de deux en deux les sommets de sa base supérieure, on fait passer des plans qui détachent du prisme trois tétraèdres et les remplacent par un tétraèdre unique reposant sur sa base supérieure; déterminer la position du point S qui rend minimum l'aire dn décaèdre ainsi* construit (alvéole (|es abeilles).

17. Sur une première droite ÂA.', on donne deux points fixes a et b; sur une seconde droite quelconque BB', deux points mobiles cetd restent à une distance constante : chercher pour quelle position du segment cd Taire de la pyramide abcd est minimum.

18. Cionstruire deux droites qui soient dans le même rapport que deux cubes donnés.

19. Une droite comprise entre deux faces d'un polyèdre donné est divisée en plusieurs segments; sur chaque segment, considéré comme l'homologue de la droite donnée, on construit un polyèdre semblable au polyèdre donné. Démontrer que Taire de ce polyèdre est égale au carré de la somme des racines carrées des aires des polyèdres segmentaires, et que son volume est égal au cube de la somme des racines cubiques des volumes de ces mêmes polyèdres.