LIVRE YII

LES COlU'S RONDS.

PrograMxMe officiel : Cylindre droit à hase circulaire. — Mesure de la surface latérale et du volume^ — Extension aux cylii^res droits à base quelconque.

424. On nomme surface c/'lindrique de révolution la surface engendrée par une droite GG' qui tourne autour d'une droite fixe XX' à laquelle elle est parallèle et invariablement

liée [fig, 255).

La droite fixe XX' reçoit le nom d'axe de la surface, et la

droite mobile GG' celui de génératrice ou d'arête.

.425. Tout point A de la droite GG' décrit une circonférence dont le plan est perpendiculaire à l'axe et dont le centre est sur Taxe; car» pendant la rotation, la perpendiculaire ÂO abaissée du point A sur XX' reste perpendiculaire à cet axe et conserve toujours la même longueur.

On appelle section droite toute section faite par un plan perpendiculaire à l'axe. 11 résulte des considérations précédentes que les diverses sections droites d*une même surface cylin^

DÉFINITIONS

268 GÉOMÉTRIE DAKS l'eSPACE.

drique sont des circonférences égales : le rayon commun de ces cercles, c'est-à-dire la distance des deux parallèles XX' et GG', est dit le rayon de la surface cylindrique, et l'on voit que le lieu des points de l'espace situés à une distance donnée d'une droite fixe est la surface cyUndnque de révolution qui a cette droite pour axe et la distance donnée pour rayon*

426. On appelle cylindre de réi>olution le corps compris entre une surlace cylindrique et deux plans perpendiculaires à l'axe de celte surface, ou, en d'autres termes, la ligure engendrée par la rotation d'un rectangle AA'0'0 autour d'un de ses côtés 00' (Jig. 256).

La surface cylindrique engendrée par le côté AA' est la surface latérale cylindre; les cercles décrits par les côtés OA et (yAf en sont les hases, et la droite OO' en est la haa~ teur.

427. En construisant un prisme droit de même hauteur que le cylindre, et ayant pour base un polygone inscrit au cercle de base du cylindre, on obtient un prisme inscrit au cylindre {flg. 267 ). Si le polygone inscrit au cercle de base est régulier, le prisme inscrit au cylindre est régulier (359).

428. Deux cylindres de révolution sont dits semblables, lorsqu'ils sont engendrés par des rectangles semblables, c'està-dire lorsque leurs hauteurs sont entre elles comme les rayops de leurs bases.

429. L'aire latérale d'un cylindre de révolution a pour mesure le produit de la circonférence de sa base par sa hauteur.

L'aire latérale du cylindre est la limite des aires latérales des prismes réguliers inscrits dont le nombre des faces croît indéfiniment. D'après cela, soient S, C, U, Taire latérale, U

UTBB VII. LB8 CX>BPS RONDS. 269

circonférence de base et la hauteur du cylindre considéré; soient « et l'aire latérale et le périmètre de la base d'un prisme régulier inscrit. On a (374)

Lorsqu'on lliit crottre indéfiniment le nombre des côtés de la base du prisme, % tend vers S et vers C; on a donc, à la limite,

CSOROLLAIRXS.

430. Si R est le. rayon du cylindre, on a C = 2;rR et, par suiie,

S = air RU.

En ajoutant à cette aire latérale les aires des deux bases ou le double 27rR' de l'aire de l'une d'elles, on obtient, pour l'aire totale T du cylindre,

T = airRH -4- awR» = 27rR (R H).

431. Soient S, S', les aires latérales; T, T', les aires totales; R, R', les rayons et H, H', les hauteurs de deux cylindres de révolution semblables. On aura (^28)

R H R-hH R' H' R' + 11'

et, par suite,

S R Ii Hl RI

T R(R + H) R R-hH H' R»

Donc, /es aire» latérales ou totales de deux cylindres de révolution semblables sont entre elles comme les carrés des rayons ou comme les carrés des hauteurs,

ScouB.

432. Considérons un cylindre de révolution et un prisme régulier inscrit ABCDEFA'B'CD'E'F {Jlg. iS'j ); par une rotation autour de l'arête BB', amenons la face ABB' A' dans le prolongement de la face BCCB'; puis, par une rotation autour

a^O GÉOUÉTRIB DANS l'eSPAGE.

de ces amenons les deux faces déjà réunies dans le prolongement de la face suivante CDIKC» et ainsi de suite jusqu'à ce que toutes les fiices latérales du prisme soient réunies sur le plan de la dernière d'entre elles ÂFF'A'. Dans son mouvement autour de l'arête BB', le côté AB reste per|)endiculaire à cette arête; il se place donc sur le prolongement de CB; de même,

Fig. a58.

A', Vi

la droite ABC, formée alors par la réunion de AB et de BC,

vient se placer sur le prolongement de DG, etc. On obtient

donc finalement sur le dernier plan un rectangle A, A, A', A' {Jig. 258) dont la hauteur est celle du prisme droit et dont la base est égale au périmètre de la base du prisme. Ce reolangle est le développement de l'aire latérale du prisme.

Si le nombre des côtés du prisme régulier inscrit dans le cylindre croît indéfiniment, le rectangle AiAjAjA', conserve la même hauteur, et la longueur de sa base A, A, tend vers la circonférence de la base du cylindre. Le rectangle limite, qui a une base égale à la circonférence de la base du cylindre, est dit le développement de l'aire latérale de ce cylindre.

THÉORÈME

433. Le volume d'un cylindre de révolution a pour mesiire le produit de sa base par sa hauteur.

Le volume du cylindre est la limite des volumes des prismes réguliers inscrits, dont le nombre des faces croît indéliniment. D'après cela, soient V, B, H, le volume du cylindre, l'aire de sa base et sa hauteur; soient c et b le volume et l'aire de la base d'un prisme régulier inscrit au cylindre; on a (389j