Si le rapport ~ était donné namériquement et égal

par exemple, à -9 on choisirait une certaine longueur pour

unité, et l'on rentrerait dans le cas précédent en prenant les droites BG et CD égales à cinq fois et à sept fois cette longueur.

PROBLÈME

517. Constfuire un rectangle équivalent à un carré donné et dont les côtés adjacents aient une somme ou une différence donnée.

Soient A le côté du carré donné et BC la somme donnée {Jig. 299). Sur BC comme diamètre, décrivez un demi-cercle; au point B, élevez BD perpendiculaire sur BC et égale à A; menez DEE' parallèle à BC, et projetez en F et F' sur BC les points E et E' où cette parallèle rencontre le cercle. Les deux côtés cherchés seront BF et FC ou, ce qui revient au mêmey BF' et F' G. En effet, on a d'abord

BF-h FC = BC,

et ensuite (199),

BF.FG = FË':= Bd' as

relation qui prouve l'équivalence du rectangle ayant pour dimensions BF et FG et du carré construit sur A.

Pour, que le problème soit possible, il faut et il sufût que la parallèle BEE' rencontre la demi-circonférence, c'est-à-dire que la droite BD ou A ne surpasse pas son rayon ou la moitié

de BG. Lorsque la quantité A atteint son maximum ^ BG, la

parallèle DEE^ tôuche le demi-cercle, les deux segments de BC sont OB et OC, et le rectangle cherche est un carré» De là cette proposition : De tous les rectangles de même périmé^ tre, le plus grand est le carré.

En représentant par ^ le côté du carré donné, et par p la somme donnée, on a

E0 = B0 = C0 = ^9 FE = BD = v^,

et, par suite,