SO K

R' et R étant les rayons des deux cercles.

De même, le rapport -jjj^ de deux ra^^ons parallèles el de

sens contraires étant constant, les deux circonférences sont aussi homothétiques inverses, et elles ont un centre d*homO' t/iétie inverte Si situé sur la ligne des centres, de telle sorte qu'on ait

S.(y R' SiO ~ K*

On volt que les deux centres d*homothétie divisent harmo^ .niquement la ligne des centres OCy des deux cercles.

Les tangentes comnnines extérieure passent i>ar le centre d'homothétle directe, et les tangentes communes intérieures par le centre d'homothétle inverse. C'est sur cette propriété qu'est fondée la construciion du n" 217.

Lorsque les deux cercles sont langcnis, leur point de contact est un centre d'iiomoihélie, directe si le contact est intérieur, inverse si le conlact est extérieur,

SCOLIS.

51V. Pour étendre aux figures curvilignes la notion de la similitude, il faut prendre pour point de départ une propriété essentielle des polygones semblables qui soit immédiatement appréciable envers les courbes. Voici comment on parvient à faire cette généralisation :

Considérons deux polygones semblables.

Si ces polygones sont semblablement disposés par rapport à deux observateurs placés à l'intérieur de chacun d'eux, comme cela arrive pour les pol^'gones ABCDE, A'B'CD'E' (fig. 297), il est facile de voir que deux côtés homologues

.COMPLÉKEIIT.

quelconques fontr^oujours le même angle a. On amènera donc les deux polygones à avoir leurs côtés homologues parallèles» en faisant tourner l'un d'eux de l'angle a autour de l'un de ses sommets.

Si les polygones sopt Inversement disposés comme ABCDE» ÂtBiGiBiEi, il faudra 9 pour rendre leurs côtés homologuesparallèles» rabattre le second polygone autour d'une droite quelconque XY, puis faire tourner d'un angle a le polygone A'B'G'D'E' ainsi obtenu.

Ainsi deux polygones semblables P et P' étant donnés dans un plan, on peut toujours (soit par une rotation, soil par un rabattement et une rotation) amener le second à avoir ses côtés parallèles aux côtés homologues du premier.

Or, on a vu que deux polygones semblables qui ont les côtés parallèles sont homolhéliques (512). Deux polygones semblables peuvent donc, d'après cela, être rendus homotliétiques; et réciproquement, la ligure homothélique d'un polygone est un polygone semblable au premier (509).

Par suite, pour qu'un polygone P' soit semblable à un autro polygone P, il faut et il suffit que ce polygone F soit égal à l'un des homothétiques de P.

Voilà donc une propriété caractéristique des polygones semblables. D'ailleurs» la définition de l'homothétie est immédiatement applicable aux figures curvilignes (506). On est ainsi conduit à cette définition générale :

Fig. 397.

3l6 COMPLÉMENT.

On dit qu'ime figure est semblable à une autre, lorsqu'elle e$i égale à tune des figura homothétiques à cette autre.

On comprend d'après cela pourquoi on donne, en général, les noms de centres ou pôles de similitude et de rapport de similitude aux centres et au rapport d'homothétie.

Programme officiel : Construire un carré dont le rapport à un carré donné soit égal au rapport de deux lignes données. — Construire un rectangle équivalent à un carré donné et dont les côtés adjacents aient une somme ou une différence donnée» — Jpplication à la construction des racines des équations du second degré à une inconnue.

PROBLÈBIE.

515. Construire un poly gone semblahlè à un polygone donné ^ et dont Vaire soit à celle de ce polygone dans le rapport de deux droites données M N {fig,

Fig. 298.

Al — <

Ml •

Ht 1 ,

Supposons d'abord que le polygone donné soit un carré, et soit A son côté. Si X est le côté du carré cherché, on devra avoir (250)

La question est donc de construire un triangle rectangle tel, que le rapport des segments déterminés sur l'hypoténuse par la perpendiculaire abaissée du sommet de l'angle droit soit

GOMPLÊMEMT. 3l7

égal à (198), et que le côté agacent au segpnent qui correspond à N soit égal à A.

Or, en portant sur une droite indéfinie BG = M, CD = N, en décrivant une demi-circonférence sur BD comme diamètre et en menant à BD la perpendiculaire C£ jusqu'à la rencontre de cette demi-circonférence, on obtiendra un triangle rec^ tangle BED dans lequel les segments de l'hypoténuse présenteront le rapport demandé. Il en sera de même ( i9o ) pour tous les triangles rectangles semblables qu'on formera en menant entre les côtés de l'angle droit BED, prolongés ou non, une parallèle à l'hypoténuse BD. Parmi tous ces triangles, celui dont le côté, dirigé suivant £D, est égal à A, répond à la question. •

On portera donc sur ED la longueur EG = A ; par le point G, on mènera à BD la parallèle GF jusqu'à la rencontre de EB, et F£ représentera le côté du carré cherché. On a en effet (198,190) ^ ^

EF^ FH BC H'M gg'^HG^CD' A* ~" N*

Soit maintenant un polygone quelconque P, soient p l'un de ses côtés et x le côté homologue du polygone cherché X. On devra avoir, d'après l'énoncé,

d'où

Le problème se trouve donc ramené à trouver le côté d'un carré qui soit à un carré donné dans le rapport de deux droites données, question que nous venons de résoudre. Quand on aura obtenu le côté a homologue de p, il restera à construire sur ce côté un polygone semblable au polygone P.

Dans le cas de deux cercles, en désignant par xe% r leurs rayons, on devra avoir

C'est encore le même problème*

3i8 COMPLÉMENT.