DF = OD 4- OF

3ao

SCOUB

COMPLÉMBKT

518. Le problème précédent permet de construire les racines de toute équation du second degré à une inconnuet c'est-à-dire de toute équation de la forme

X* di px :±z q = o,

p etq étant des nombres positifs quelconques. En effet, des quatre t^ pes

x^-^-px — ^ = o, X* — px — ^ = o,

le premier se ramène au second, et le troisième au dernier, par le seul changement de en — x. Il sufût donc de construire les racines des équations

x^ — />j7H-y = o et x^ — px — g = o*

En mettant ces équations sous la forme

q^x(p — ar), qz:zx{x^p)^

on voit que, consiruire les racines de la première, c'est construire les deux côtés adjacents x et p — x d'un rectangle, connaissant la somme p de ces côtés et Taire q ou le c6té ^ du carré équivalent. De même, construire les racines de la seconde, c'est construire un rectangle équivalent à un carré donné q et dont les côtés x et x—p ont upe différence donnée p.

D'après cela, toutes les fois qu'une question de Géométrie, «traitée par l'Algèbre, conduira à une équation du second degré, on saura immédiatement construire la solution.

519. Le calcul algébrique est un utile auxiliaire dans les recherches géométriques; son emploi permet d'i^rriver directement à des formules que la Géométrie pure ne donnerait souvent que d'une manière pénible et détournée.

Voici un exemple :

Trouver l'aire dun triangle en fonction des côtés.

conPLÊiniT. 321

Soient ABC le triangle; b, v, les longueurs des côtés rcspecliveniont opposi's ;ui\ angles A, B, C; S l'aire et /i la hauteur AD issue du soiiiinet A {Jig. i^o).

On a (255)

Poyr calculer A en fonction de a, 6, c, remarquons que des deux angles B et G, l'un au moins est aigu; supposons que ce soit l'angle G. Le triangle rectangle ADC donne (201 )

A« = ô» — Cd';

on a d'ailleurs dans le triangle ABC (202)

c>=a'-l-ô» — afl.CD, d'où GD = ^ ^* ~ ^

ex, par suite,

Donc

es 4«'^' — («' — c')»

(2a6 -ha'H- 6' — c')(aa^ — g» — ô'-hc') '

{a -h b -h c] {a -i- b — c){c -h a — b]{c — a-\- b) = TG

Or, si l'on désigne par p le demi-périmètre du triangle ACC, c'est-à-dire si l'on pose

on a

— a = 3|? — 2a = a(p — a), a-hc — 6 = a^ — 26 = 2(/> — é),

et enfin

S'=pip-a](p^b){p-~c).

322 COMPLtMBKT.

Par exemple, pour

on a

et

S'=56o, d'où S=23°"i,67, à moins de ^ décimètre carré.