III
Programme officiel : lie tour sur V inscription des polygones
réguliers. — Cas du décagone,
SâO. Nous avons, au § V du livre III, inscrit à l'aide de la règle et du compas les polygones réguliers de 4> 3, i6, 32,...
côié^ et ceux de 3, 6, 12, 24, . . côtés. Nous allons nous occuper ici des polygones réguliers de 5, 10, 20, 40,. . . côtés et de i5, 3o, 60, 120, .. . côtés. Mais quelques notions préliminaires sont indispensables.
Supposons la circonférence divisée en m parties égales; désignons par a la longueur de l'une des parties, et joignons les points de division de p en p, bi partir de l'un d'eux.
Si p est premier avec m, la circonférence ma et l'arc pa sous-tendu par chacune des cordes successives auront pour plus petit multiple commun pma, et l'on reviendra au point de départ après avoir parcouru p fois la circonférence ou m fois l'arc pa* On aura donc formé ainsi un polygone régulier de m côtés. Par exemple, dans la Jig. 3o2 où la circonférence est divisée en 10 parties égales, on obtient, en joignant les points de division de i en i, le décagone convexe, et en joignant ces points de 3 en 3 un décagone régulier éioilé.
Si p et m, au lieu d*être premiers entre eux, ont un plus grand commun diviseur B, le plus petit multiple commun de
l'arc pa et de la circonférence ma sera -^a. On reviendra alors au point de départ après avoir parcouru ^ fois la cir-
conférence ou ^ fois Varc pa; en d'autres termes, on aura
formé ainsi un polygone régulier de y côtés» et non plus de
m côtés.
Au premier abord, il semble résulter de là qu'il existe autant de polygones réguliers (convexes ou éloilés) de m côtés qu'il y a de nombres premiers à m dans la suite i , 2, . . . , m — I . Mais si l'on remarque qu'en joignant les points de division de p enp, p étant premier km, on obtient le même polygone qu'en les joignant de m— p en m^p,on voit qu'en réalité ie nombre det polygonet réffUien de m côtés est égal au nombre des enthrs premiers à m contenus dans la suite
D'après cela, il n'y a qu'un hexagone régulier; il y a deux pentagones réguliers, deux décagones, quatre pentédécagones,etc. L'inscription du décagone est fondée sur le problème suivant:
PROBLÈME
5S1. Diviser une droite en moyenne et extrême raison IJig. 3oi).
Fig. 3oi.
Ul- i-::^
On dit qu'un point divise une droite AB en moyenne et extrême raison, lorsque sa distance h Tune des extrémités A de cette droite est moyenne proportionnelle entre sa distance à l'autre extrémité B et la droite AB.
On voit à priori :
Que, einvQ A et B, il existe un point X et un seul jouis-
AB
sant de la propriété énoncée. Car, de A en B, le rapport
décroît d'une manière continue de rinûni à i» tandis que le XA
rapport ^ croit de zéro à l'infini; ainsi, quand le point X se
meut de A en B, le premier rapport diminue^ le second aug-
324 COMI'LÉMKNT.
mente, cl comme le premier, d'abord supérieur au second, finit par devenir moindre, il y aura entre A et B une position de X, et une seule, telle qu'on ait
(1) XÂ=AB.XB.
o.^ Que, sur le prolongement de AB à gauche du point A, il existe un point X' et un seul jouissant de la propriété énon-
AB
cée. Car, dans celle région, le rapport croii d'une maifière
continue de zéro à l'infini, tandis que le rapport décroît
de 1 à o; il y a donc i gauche de A une position de \', mais une seule, pour laquelle on aura
(2) ^""^ xr = AB.X'B.
3<> Que sur le prolongement de AB à droite du point B, 'il ne peut exister aùcuit point jouissant de la propriété énoncée. Car la distance d'un point de cette région au point A, étant
plus grande que la distance du point considéré au point B et que la ligne AB, ne saurait être moyenne proporlionnelle entre ces deux longueurs.
Ainsi, sur la droite indéfinie qui unit les points A et B, il existe deux points X et X', et rien que deux, qui divisent la droite AB en moyenne et extrême raison : l'un X intérieur^ et les deux segments correspondants XA, XB, sont alors additifs; l'autre X' extérieur, et les deux segments correspon* danls X'A, X' B, sont alors âoustractifs.
Pour déterminer ces deux points X et X', il suffit de trouver AX et AX'. Or, d'une part» si Ton retranche la relation (i) de la relation (2), on a
X'A — XA = AB(X'B — XB)
ou
(X'A + XA)(X'A- XA) = AB(X'B — XB), c'est-à-dire
