Dans un polygone sphérique convexe, la somme des

côtés est moindre quune circonférence de grand cerc/e (354).

579. Dans tout triangle sphérique, la somme des angles est comprise entre deux et six angles droits, et le plus petit angle augmenté de deux droits surpasse la somme des deux au^ très (540). 11 résulte de là qu'un triangle sphérique peut avoir un, deux ou trois angles droits. Quand le triangle est bireotangle, le sommet de Tangle qui n'est pas droit est le pôle du côté opposé, et les côtés qui comprennent cet angle sont des quadrants. Dans le triangle sphérique trirectangle , tous les côtés sont des quadninis ; le triangle trirectangle est le huitième de la splière sur laquelle il est tracé : on le voit immédiatement en prolongeant les arcs de grand cercle qui forment les côtés du triangle.

580. Deux triangles sphériques tracés sur la même sphère ou sur des sphères égales sont égaux dans toutes leurs parties lorsqu'ils ont : i^un côté égal adjacent à deux angles égaux; s» un angle égal compris entre deux côtés égaux; les trois côtés égaux chacun à chacun; 4* trois angles égaux chacun à chacun. Il y a égalité ou symétrie suivant que les éléments donnés sont semblablement ou inversement disposés {ok'2, 5W).

Toutes ces propriétés résultent immédiatement (574) des propriétés correspondantes des angles trièdres et polyèdres démontrées aux numéros cités.

THÉORÈME

581. L'angle ÂPB de deux arcs de grand cercle PÂP> FBP', a pour mesure, soit l'are de grand cercle ÂB décrit de son sommet P comme pôle et compris entre ses côtés, soit le plus petit are de grand cercle pp^ qtd unit les pâles de ses côtés 336).

En effet :

1** Les arcs PA, PB, étant des quadrants, les angles POÂ , POB, sont droits, et Tangle ÂOB est l'angle plan qui mesure l'angle dièdre formé par les plans des deux grands cercles. Mais (571) cet angle dièdre est égal à l'angle APB des deux arcs de grands cercles, et l'angle au centre AOB a pour m^ure l'arc AB ; donc l'arc AB est aussi la mesure de l'angle APB.

9/ Prenons sur la circonférence ABC, à partir des points A et B, danx le même sens, deux arcs A.p et Bp^ , égaux à un quadrant ; l'arc pp^ est

COMPLtHVlfT. 363

évidemment égal à l'arc ÀB, et pour justifier le second énoncé du ibéorème, il sufiBtde prouver que p et p^ sont les pôles des cercles PAP', PBP,. Or, la droite 0/>, perpendiculaire à OÂ, puisque Xp est un quadrant,

Fig. 336.

et perpendiculaire à OP, puisqu'elle est dans le plan ABC, est perpendiculaire au plan du grand cercle PAP' ; p est donc le pôle de ce grand cercle. De raème, est le pôle du grand cercle PBP'.

Nous avons dit que nous portions les arcs kp et B/^, dans le môme sens, à partir de leurs origines respectives A et B ; si on les portait l'un dans un sens et l'autre en sens contraire, l'arc pp^ seriiit le supplément de l'angle des deux grands cercles. Il y a donc une préc;iution à prendre dans l'application du second énoncé. Il faut considérer, pour l'un des grands cercles PAP', le pôle p qui est du même côté que le demi-cercle PBP', et, pour l'autre grand cercle PBP', le pôle p^ qui n'est pas du même côté que le demi-cerde PAP'.

Corollaires.

582. Pour que deux grands cercles se coupent à angle droit, il faut et il suffît que chacun d'eux renferme le pôle de l'autre.

{$83. Deux grands cercles APC, BPD, forment en se coupant an point P quatre angles APB, BFG, CPD, DPA; les angles adjacents ÂPB, fiPC, sont supplémentaires ; les angles opposés par le sommet APB, CPD, sont égaux.

S84. Si un triangle sphériqiic A'B'C est le triangle polaire d'un triangle sphérique dxnmé ABC, réciproquement ABC est le triangle polaire de A B C.

Pour bien comprendre la définition du triangle polaire et Tobjet du présent théorème, il convient de faire une remarque.

Soient BIP un grand cercle (^g. 337 ), P Pun de ses pôles, et M un point quelconque de la sphère. Si P et M sont d'un même côté du grand cercle EF, le plus petit arc de grand cercle qui va de Pen M est moindre qu'un quadrant PL Si P et M sont de part et d'autre du grand cercle EF, le plus petit arc de grand cercle allant de P en M est supérieur à un quadrant.

3G4 COHPLtSEKT.

Cela posé, on nomme triangle polaire d*un iriangfe sp/térique ABC un nouveau triansle AfWCf [fig. 338) dont les EommetB sont définis do la

manière suivante : A' est celui des deux pôles du griind eercle I3C qui est par rapport à ce grand cercle du même cùt6 que le sommet opposé A ; de même B' est le pôle de AC qui est situé par rapport k x\C du même côté que B, et C est le pôle de AB qui est placé par rapport à AB du môme côté que C.

Il s'agit de démontrer que, n'ciproquement, le triangle ABC est le triangle polaire de A'B'C. A cet effet, considérons l'un quelconque de ses Bommets, C par exemple ; A' étant le pôle de BC, l'arc de grand cercle qui joindrait C et Â' est un quadrant ; de même Tare de grand cerde CB' est un quadrant, puisque B' est le pôle de AC. Donc le point C (474) est le pôle de À'B'. De plus, puisque C' est le pôle de AB, qui se trouve par rapport à AB du mémo côté que C, le plus petit arc de grand cercle allant de C en C est moindre qu'un quadrant; par suite, C est le pôle de Â'B'* qui se trouve par rapport à A'B' du môme côté que C\

S85. D'après cela, le triangle polaire A'B'C d'un triangle donné ABC peut être considéré comme obtenu en décrivant des sommets A, B, C, pris successivement pour pôles, trois circonférences de grand cercle. Ces trois circonférences divisait la surface de la sphère 0%. 338) en huit triangles, dont Tun A'B'C est le triangle polaire de ABC. Cest celui qui est tel, que les sommets A et A' soient d'un même côlé par rapport à BC, les sommets B et B' d'un même côté par rapport à AC, et Ici sommets C et C d'un même côté par rapport à AB.

Les deux trièdres OABC, OA'B'C, qui répondent aux triangles polaires ABC, A'B'C'j sont suj)plémenlaires (îj37). En effet, d'après la construction du pointe, on voit que l'arête OC, par exemple, est perpendiculaire au plan AOB et située par rapport à ce plan du môme côté que OC : on raisonnerait do mùme pour les autres arêtes OB' et OA'. Chaque angle de l'un des triangles ABC, A'B'C, doit donc (îj38) ôtre le supplément du côlé opposé dans l'autre triangle. Mais cette propriété, en

COMPLÉMEKT* 3G5

verta de laquelle deux triangles polaires sont aussi appelés triangles sup* ph'ftientaires, mérita d'être démontrée directement ; c'est là l'objet du théorème qm suit. '

THÊORÈBIE.

S86. Si ABC, A'B'C, soni deux triangles polaires , chaque angle (le i*un de ces triangles a pour mesure une demi-circonférence de grand eerrle, moins le c&té opposé dans Vautre triangle [fg. 339).

En effet, considérons, par eiemple, l'angle A, et prolongeons, s'il le faut, les côtés ÂB el AC jusqu'à la rencontre de l'arc B'C; puisque A est le pôle de B'C, l'angle A a pour mesure Tare DE (581) ; mais on a évidemment

DE = B'E + DC'-FC'.

D*8iUear8 B'E et DG' sont des quadrants, puisque B' est le pôlo de AC et a le pôle do AB. On a donc

DB = - cire, de grand cercle — B'C'.

On procéderait de la même manière pour les angles B et C.

Les triangles ABC et A'B'C résultant l'un do l'autre par la mémo c( nstruction (080), la propriété que nous venons de démontrer pour les angles A, B, C, du premier triangle convient aux angles A', B', C, du second.

Fi|^ 339. Fig. 340.

THÉORÈlkïE.

587. Deux triangles sphériques symétriques ABC, X'b'Cf sont éqt:i' valents {Jig. 3 40).

Prenons le pôle P du petit cercle qui passei ait par les points A, B, C, et menons les arcs de grand cercle PA, PB, PC, qui sont égaux entre eux {473). Traçons le diamètre POP' et les arcs de ï^rand cercle P'A', P'B', P'C. L'égalité des angles POA, P'OA', entraîne celle des arcs PA el P'A'; on voit de même (jue PB P'B', et PC = P'C; par suite, comme PA = PB-=PC, il faut qu'on ait P'A' = P'B' P'C. D'après cela, les triangles IWB, P'A'B', sont symétriciuos et isocèles; ils sont donc superposables. De même les triangles PAC, P'A'C, sont égaux entre eux, ainsi que les triangles PBC, P'B'C. Donc enfin, le triangle ABC,

366 COMPLÉSIËIST.

somme do PAB, PAC et PBC, est équivalent au Iriangle A'B'C, somme

de P'A'B', P'A'C et P'Ii'C.

Si le pôle P tombait à Tc xtérieur du triangle ÂBC, ce triangle ne serait plus une somme, mais une différence.

Fig. 341.

GoROLLAimE.

588. Si deux arcs de grand cercle k£!k\ BC'B', se coupent dans un même hémisphère C'ÂBA'B', Ut somme des triangles opposés ÂC'B, A'G'B', est égale au fuseau dont Vangîe est AG'B [fig. 34 1 ).

On nomiuQ jusemi la ]iorti(ni de surface spliéri(jue comprise entre deux i demi-sîrands cercles CAlV, CBC, qui se lerininenl à un diamètre commun COC'; l'angle ACli ou AC'B de ces deux arcs est dit \ angle du fuseau.

Cela étant, le fuseau compris entre GAG' et GBG' se compose dn triangle ABC' et du triangle ABC ; et, comme le triangle A'B'G' est évidemment le symétrique de ABC et que deux triangles symétriques sont équivalents, on voit que le fuseau dont Tangle est G' est égal à la somme des triangles opposés AG'B, A'G'B'.

THÉORÈME

889. & l'on prend pour unité d'angle Pangle droit et pour unité d*aire Paire du triangle trireetangle, un fuseau a potar mesure le double da nombre ^ifi mesure son angle»

On voit immédiatement que, sur la ifiéme sphère ou sur des sphères égales: deux fuseaux tleméme angle sont superposables^ 2* tut fuseau est égal à la somme de deux autres, si son angle est égal à la somme des angles de ces deux autres.

Il résulte de là (i2S) que deux fuseaux quelconques d'une même sphère sifnt entre eux comme leurs angles.

Cela étant, soient A et A' les nombres qui mesurent les angles de deux fuseaux d'une môme sphère, l'angle droit étant pris pour unité ; et soient F et F' les nombres qui mesurent ces fuseaux, le triangle trireetangle (579) 'étant pris pour unité d'aire; on aura

COMPLtSBlfT. 367

Prenons Â'= i; le fuseau correspondant, ayant son angle droit, sera ég^ au quart de la sphère, c'est-à-dire au double du triangle trirectangle : on aura donc F' s= a, et par suite

d*où F=aA.

THÉORÈME

S{80. Si Von prend l'angle droit pour unité d'ange et le triangle tri' > rectangle pour unité d*aire, l'aire d'un triangle sphériquea pour mesure la somme des nombres qui mesurent ses an^es diminuée de 2.

Soit ABC le triangle propose; achevons le grand cerclo AB, et prolongeons les côtés AC, BC, jusqu'aux points A' et B' où ils rencontrent ce grand cercle. On aura évidemment

ABC-i-BCA'=ius.A, ABG + AGB'=fus.B,

et (58&)

ABC-hB'CV=fus.C,

La somme des premiers membres de ces trois égalités se compose de la demi-sphère et de deux fois Taire du triangle ABC. Gomme, dans le système d'unités adopté, la demi-sphère est mesurée par le nombre 4t Ton désigne par S, A, B, C, les nombres qui mesurent Taire et les angles du triangle, on aura (888)

d*où

SCOLIES

591. Soient R le rayon de la sphère évalué en mètres, o- l'nire du triangle en mètres carrés, et a, 6, y, les angles de ce triani^lo évalués en degrés ; ou aura, en observant que le triangle trirectangle est égal au huitième ^ ttR* de la' sphère,

90 90 90 irR»

368 C01IPLÉSIEK7.

et par suite, en vertu de la relation (i),

(.) »= ^ ,rn«.

Par exemple, f/iwl'tf est, sur la sphère dont le rayon est a", 4» du triangle spherajue dont les angles sont de 61*37', 7^*'*'» 87*43'? La formule (2) donne, en réduisant en minutes,

(51 + 73+87 — i8o)6o-»-37H-iH-43 ,

^= îiJTÏÏS ''(^'^^

= t,o4o533ir = 3"',a689

à I conlirnùlro carré près. .

Les unités étant les mêmes qu'au n° 500, l*aire (dm polygone sphériqite de n côtés a pour mesure la somme des nombres qui mesurent ses angles, diminuée de a (/? — 2).

THÉORÈME

S93. Le plus court chemin d'un poi/it à un autre, sur la surface de ta sphère, est Varc de grand cercle, moindre qtj^ une demi-circonférence, qui foini ces deux points.

(") Nous croyons, en vue des examens, devoir donner de ce théorème uuc ■eeonâe démoiwtration, que nous empruntons textuellement aux Étémemta de Gémnétne de H. Briot.

Sur Tare de grand cercle, moindre qu'une demî-circonrërcnce, qui joint tes deux points donnés A et jirenons un point arbitraire ; je dis que lo plus court cliemin de A à b sur ia surface de la splière doit passer par le point C W'g' 3/|3).

Du point A comme pôle, avec U corde qui eotts-tond Tare AC pour rayon, décri* Tons un petit cerde ; du point B comme p61e, avec la corde qui soua-tend BC pour rayon, décrivons de même un petit eerde. 11 est aisé de roir que les deux calottes

Sphériqucs qui ont pour pôles A et B et qui sont limitées par les deux petits cercles dont nous venons de parler sont extérieures l'une ii l'autre. En efl'et, soit M un point quelconque du petit cercle dont K est le polo, joi[;iions ce point M uux deux points A et B par des arcs de grand cercle ; dans le triangle spkérique ABM, le côté AB est plus petit que la somme des deux autres AM-t- BM*; si Ton retranche de part et d'antre les ares égaux BC et BM, on toit que l'arc AG est plus petit ({ue AM ; l'arc AM étant plus grand que AC, il est clair que le point M est situé en dehors de la calotte si)htMique A; ainsi l:i calotte sphé- ' rique B est située tout entière en dchtM s de la calotte splieritiue A.

Cela poi>é, considérons un chemin tel que ADLH tracé sur la surface de la sphère et allant du point A au point B sans passer par le point C; ce cliemin eoopera néoesaairemwt les deux petits cercles, l'un en D, l'autre en E. Le cbumin ADEB se compose de trois parties, le chemin de A à D, celui de D à E, et enfin celui do E à B; mais (en vertu de la symétrie de la sphère par rapport an diamètre passant par A), le plus court chemin do A à D est le même que eelui

GOMPLÉMXRT. 36q

On appelle ligne brisée sphérique toute ligne tracée sur une sphère et formée par une série d'arcs de grand cercle. La longueur d'une telle ligne offre un sens précis, puisqu'on a défini (227) la longueur d*on arc de cercle.

On appelle longueur d^un arc de courbe AB quelconque tracée sur la sphère la limite vers laquelle tend le périmètre d'une ligne brisée sphérique AEFGIB inscrite dans cet «rc, lorsque les côtés de cette ligne t* ndent vers zéro [Jig. 344)- On démontre [voir notre Tmitc de Gcomctrie) que cette limite existe et qu'elle ebt indépendante de la loi suivant laquelle les côtés tendent vers zéro.

Cela posé, il est facile de trouver le plus court chemin entre deux points A et B de la surface de la sphère.

Soient AUB l'arc de grand cercle» moindre qu'une demi-circonférence, qui unit les points A et B, et AEFGIB une courbe sphérique quelconque

Fig. 343. Fig.344.'

tracée entre ces deux points. AEFGIB étant une portion de polygone sphérique inscrite dans cette courbe, on aura (576)

AUB < AB + BP + Fa + GI -4- IB.

Or, si l'on fait tendre vers zéro les côtés du polygone inscrit, le second membre a pour limite la longueur de Tare de courbe AEFGIB. Donc, Tare de grand cercle AHB est moindre que toute autre courbe sphérique allant de A en B ; c'est le plus court chemin du point A au point B sur la sphère.

THÉORÈBfB. *

894. Si, d'un point 0 de la sphère, on mène sur un grnnd cercle AB l*arc de grand cercle 01 perpendiculaire et moindre quun quadrant, et plusieurs arcs de grand cercle obliques OC, OD, OE {Jîg, 345 ) :

de A à G; pareillement, le plus eourt ehemin de B à E est le même que eeloi de B à C; il en résulte que le ehemin ADEB est plus long qne le plus court chemin de A. à B passant per le p<^ni C. On conclut de là que le pins court chemin de A à B doit passer par un point quelconque C de l'arcde grand cercle AB; il cojiacide donc avec cet are de grgnd cercle.

370 0OMPI.<HBNT.

I* Vore pcrpcnàicuUdre 01 est moindre que tmt are oblique OC ;

a* Deux ares obliques OC et OE, dont les pieds C et E sont équidistants du /9fW I de Pare perpendiculaire, sont égaux;

3* De deux ares obliques OC et OD, ou OC et OB, celui dont le pied ^écarte le plus 'du pied I de rare perpendiculaire est le pkts long.

Observons d'abord que du point 0 on peut mener un grand cercle, et an seul, qui soit perpendiculaire à ÂB; c'est celui qui passe par le point 0 et par le pôle P du grand cercle ÂB (882). Par suite» du point 0 on peut mener dans l'hémisphère OÂB deux arcs de grand cercle perpendiculaires à ÂB : l'un (H mmndre qu'un quadrant, l'autre OPI' plus grand qu'un quadrant. C'est de Tare CI qu'il est question dans le théorème énoncé. La démonstration de ce théorème est d'ailleurs identique à celle du n" 40 de la Géométrie pUtne; nous avons même employé les mêmes lettres, afin que le texte de ce numéro pût servir; seulement, les triangles qui interviennent dans la démonstration sont ici symétriques au lieu d'être égaux.

FIg. 345. Fig. 346.

ConOLIAIBBB.

808. L*arc de grand cercle CI, moindre qiâun quadrant, mené du point 0 'à angle droit sur un grand eerde ÂB, est Ut ligne la plus courte que l'on * puisse tracer sur la spihère du point 0 au grand cercle ÂB; nous donnerons, d'après cela, à cet arc 01 le nom de distance qtkéïïique du point 0 au grand cerde ÂB,

L'arc OPr est le plus long de tous les arcs de grand cercle qui vont du point 0 au grand cercle ÂB, dans l'hémisphère OÂB.

Les réciproques des propositions précédentes sont vraies (43).

Le lieu géométrique des points de la sphère équidistants de deux points de cette surface, est le grand cercle perpendiculaire sur le milieu de l'are ik grand cercle qui unit les deux points {41),

Deux triangles sphériques rectangles sont égaux ou symétriques : 1** lorsqu'ils ont Vhypoténusc égale et un angle oblique égal; %" lorsqu'ils ont l' hypoténuse égale et un côté égal (49).

Varc de grand cercle bissecteur de Vangle de deux grands cercles est le lieu (les points de la splière équidistants des deux côtés de cet angle (52).

COMPLÉUEM. 37 1

THÉORÈME

596. Varc de, grand cercle BIT, tangent à un petit cercle, est perpen» dieulaire à r extrémité du rayon sphéHqm FM qui aboutit au point de

• coR/âCl 346 ).

On appelle arc de grand eerde tangent en un point M d'une courbe sphérique la limite des positions que prend le gnÂd cerete mené par M et un point Yoisin H', lorsque ce second point M' de la courbe tend Ters M.

Gela posé, par le point H et un point voisin M' menons Tare de grand oerde MM'S, et joignons par nn arc de grand cercle le mileu I de MM' au pôle P du petit cercle. Le point I venant en M en m6me temps que M', Tangle TMP est la limite de l'angle SI? ; mais ce dernier angle est toujours droit, puisque P et I sont l'un et l'autre équidistants de M et de H'; donc l'angle TMP est droit.

SCOUB.

597. Lorsque deux petits cercles dhine spJière se coupent^ Parc de grand cercle qui passe par leurs pôles est perjx ndiculairc sur le milieu de l'arc de grand cercle qui passe par leurs deux points d'intersection.

Lorsque deux petits cercles d'une sphère sont tangents, leur point de contact est sitÊié sur le grand eerde qui passe par leurs pôles, et l'arc de grand cercle mené par le point de contact à angle <Mf sur cebU qui wdt les pôles est tangent à chacun des deux petits cercles, ^

Les rayons sphériques R et r des deux petits cercles, et l'arc de grand cercle D, moindre qu'une demi-circonférence, qui passe par leurs pôles, satisfont aux mêmes relations que les rayons et la dislance des rentres de deux cercles situés dans un même plan. Les raisonnements sont d'ailleurs les mômes qu'aux n°' 114 et H5.

Il y a cependant une condition de plus à laquelle les quantités D, R et r, doivent satisfaire dans tons les cas. Quelle que soit la position relative des deux cercles, on a toujours

D-hR-hr<4,

en prenant le quart d'un grand cercle pour unité de longueur; en effét, D est toujours moindre que a, et R et r sont Tun et Tautre inférieurs à i. Ainsi la distance sphérique des deux jtôles et les rayons sp/icriques des deux cercles ont une somme moindre qi^une circonférence de grand cercle,

PROBLÈME

806. Tracer sur la sphère ttn grand cercle passant par deux points donnés  01 B \Jig^ 347). *

L'inconnue de la quostion est le pôle du cercle demandé. Or, la distarcc de ce jiôle P à chacun des points A et B e<t égale à la corde du quadnsnt { \ on l'i hliondra d<.'nc <'n déi rivant successivement deux arcs de cercle, des [ oinis A et li comme pôles, avec une distance polaire égale à la corde du quadrant.

Fijy. 347. Fiiî. 3.^3.

PROBLÈME

599. Mener par m point donné A sur la sphère un arc de grand cercle perpendiculaire à un grand cercle donné BP \Jig. 348).

LHnooDiiiie de la question est le pôle du cercle demandé. Or, ce pôle P doit se trouver sur le cercle BP (582), et être à une distance du point A égale à la corde du quadrant. On Tobtiendra donc en décrivant, du point A comme pôle, avec une distance polaire ^le à la corde du quadrant, un 2irc de cercle qui rencontre en P le cercle donné BP.

PROBLÈME

600. Mener un arc de grand cercle perpendiculaire sur un are de grand cercle dxmné ÂB^ en son milieu; ou, diviser un are de grand cercle AB en deux parties égales [fig, 349).

Il suffit de décrire des points A et B comme pôles, avec la même ouverture de compas, deux arcs qui se coupent en C et puis de faire passer un grand cercle par C et D.

Remarquons que ce grand cercle CD divise aussi en deux parties égales tous lea arcs de petit cercle dont les extrémités sont A et B.

Fig 349. Fig. 35o.

PROBLÈBIE.

601 . Trouver te pâle d'un petit cercle passan( par trois points donnés A, B, C, sur la sphère {fig. 35o).

Ce pôle P, étant équidisljint de A, B, C, est à rintersccliun des arcs de grand cercle (000) élevés perpendiculairement sur les milieux des arcs de grand cercle AB et BG.

Le pôle P une fois connu, on tracera le petit cercle avec une ouverture de compas égale à PA.

PROBLÈME

602. Pnr un point A pris sur un arc de grand cercle AB, mener un arc de grand cercle incliné d'un angle donné sur le premier [ Jîg. 35 1).

Sur une feuille de papier, on trace un angle rectiligne MON égal à l'angle donné, et de son sommet comme centre, avec un rayon égal à celui de la sphère, on décrit un arc de cercle HK ; cet arc HK sera la longueur de Tare de grand cercle qui mesure l'angle du grand cercle donné et du grand cercle inconnu.

Fig. 35 1.

Cela fait, du point A comme pôle, on décrira sur la sphère un grand cercle DE; puis, en prenant pour pôle le point B où ce cercle coii[)0 le grand cercle donné AB et en donnant au compas une ouverture égale à la corde HK, on décrira un petit arc de cercle coupant DE en C; il ne restera plus alors qu'à mener un grand cercle par les points C et Â, '

PROBLÈME

603. Construire un triangle sphéricjue, connaissant trois qutdconques de ses six éléments (angles ou côtés).

Ce problème offre six cas distincts; on peut donner : i" les trois côtés ou les trois angles ; a" deux côtés et l'angle compris, ou un côté et les deux angles adjacents ; 3° deux côtés et l'angle opposé à l'un d'eux, ou deux angles et le côté opposé à 1 un d'eux.

Dans cette énumération, nous avons réuni chaque fois les deux cas corrélatifs, c'est-à-dire qui se ramènent l'un à l'autre par la considération du triangle polaire. Il n'y a donc que trois cas à traiter directement.

1° On donne les trois côtés a, b, c.

Supposons, pour fixer les idées, a>6>c. Traçons un grand cercle sur la sphère, et prenons sur ce grand cercle un arc BC égal â o ; du point B comme pôle, avec une ouverture de compas égale à la corde de 6, traçons

$74 OOMPLÉMUIT.

un arc de cercle, et du point G comme pôle, avec une ouverture de compas égale à la corde de c, décrivons un second arc de cercle; À étant un point commun à ces deux arcs, le triangle sphérique ABC sera le triangle demandé.

Les deux arcs se coupei^t généralement en deux points  et À'» situés

de part et d'autre du grand cercle BC; de là deux solutions, le triangle ABC et le triangle A'BC, symétrique du premier.

Pour que le problème soit possible, il faut et il suffît que les deux cercles se coupent, c'est-à-dire qu'on ait (597), en supposant a, 6, c, eiprimés en degrés,

La seconde condition est toujours remplie, puisque nous supposons a > 6 > c ; les conditious de possibilité se réduisent donc à

a<6+c et tf-h*4-c<36o*

Donc, pour qiCon puisse construira un triangle sphérique avec trois côtés donnéSy il faut et il suffit (pie le plus i^rand côté soit moindre que la somme des deux autres, et que la somme des trois côtés soit moindre qu'une circonférence de grand cercle. Nous savions déjà que ces conditions étaient nécessaires (576, 578).

Pour qu'on puisse construire un triangle sphérique avec trois angles donnés A, B, G, il feut et it suffit que son triangle polaire, dont les côtés sont i8o<*~ A, t8oo— B, i8o*— G, soit possible. Diaprés l'alinéa préoé- . dent, en supposant, pour fixer les idées,

A<B<C, d'où iSo"— A>i8o''~B>i8o*— C,

on doit donc avoir

et

iBo»— A -h iSo» — B -f- ïSo*— G < 36o»,

ou

AH-i8o°>Bh-G et A + B + G>i8o«.

Nous savions déjà (579) que ces conditions étaient nécessaires.

a** On donne deux côtés a et b et P angle compris G. Même solution qu'en Géométrie plane (145).

3* On donne deux côtés a et b et l'angle A opposé au côté a [fg. 35-2).

Construisons sur la sphère deux grands cercles formant un angle égal à A (G02). Prenons, à partir du sommet, sur l'un des côtés de cet angle, un arc AC égal à b, et du point G comme pôle, avec une ouverture de compas égale à la corde de décrivons un arc de cercle \ B étant Tinter-

section de ce cercle ayec le second c^té de l'angle, le triangle ABC sera

le triangle demandé.

En discutant ce problème, on voit ais(^ment que si A et ^ sont do nature différente, le problème, s'il est possible, n'a qu'une solution; si A et a sont de même nature, le problème, s'il est possible, a une ou deux solutions (voir notre Traité de Géométrie).

7%. 353. Flg.353.

PROBLÈME

604. Par un point donné, mener un arc de grand cercle tangent à un petit cercle donné {fig. 353).

Si le point donné est sur le cercle, il suffit d*éleTer par ce point un arc de grand cercle perpendiculaire au rayon sphérique correspondant (596).

Supposons, en second lieu, que le point donné A soit extérieur au petit cercle donné, c'est>à-dire soit situé dans la plus grande des deux calottes

sphériques séparées par le petit cercle. Considérons le problème comme résolu; nommons P le jwMe du petit cercle donné, B le point do contact de l'arc BA, et prolongeons le rayon sphérique PB d'nne quantité BC = PB, Le pointe se trouve d'abord sur un cercle dé( rit du point P comme pôle avec une ouverture de compas égale à la corde d'un arc de grand cercle double du rayon sphérique r du petit cercle. Il se trouve en outre sur un second cercle décrit du point A pour pôle avec une ouverture de compas égale à la corde de Parc PA = D; car BA étant perpendiculaire sur le milieu de PBC, le point A est équidistant de P et de G (595).

Le point C une fois obtenu à l'aide de ces deux cercles auxiliaires, on mènera Parc de grand cercle PC qui coupera le petit cercle én B, et, en joignant B et A par un arc de grand cercle, on aura Parc tangent demandé.

Pour que le problème soit possible, il faut et il suffit que les deux cercles auxiliaires se coupent, c'est-à-dire qu'on ait (897)

D<D4-ar, D>ar--D, D-f-D + ar < 4.

La première condition est toujours remplie, et les deux autres équivalent à

elles expriment précisément que le point A doit être situé hors de )a ca*

lotte sphérique PB.

Les cercles auxiliaires se coupent en deux points C et G'; de là deux *

solutions, AB et AB'.

La construction que nous venons d'indiquer s'apjilique au problème analogue de Géométrie plane j mais elle exige plus de place que celle du n" 156.