BF*=A(2U

d'où

ou, en simplifiant,

On peut trouver directement cette for](nu1e, en regardant le segment i une base comme la somme ou la différence du

secteur sphérique terminé à la même' calotte sphérique et du

cône de révolution qui, ayant la même base que le scf^ment, a son sommet au centre de la sphère. Le segment sphérique est la somme ou la différence des deux volumes indiqués, suivant qu'il est plus grand ou plus petit que la demi-sphère.

coarUiuHi. 359 SX.

Pbogbâhmb officbl : Angle de deux arcs de grand cercle. — Noiiofu iur le$ triangles sphériques; leur analogie parfaite avec les angles trièdres.

Propriétés du triangle polaire ou supplémentaire. — Aires du fuseau et du triangle sphérique. — Plus voui t clwnnii d'un point à un autre sur la sphère, (Mathémaiiques spéciales.)

DÉFINITIONS

571. On nomme angle de deux courbes passant par un même point de l'espace i'angle de leurs tangentes en ce point. L'ange de deux courbes tracées sur la sphère est donc égal à l'angle des plans menés respectivement par le centre de la sphère et par les tangentes à ces courbes au point commun ; car, ces tangentes étant perpendiculaires au rayon qui aboutit au point commun (M5)> leur angle mesure (3^0) le dièdre des deux plans considérés. En particulier, Vangle de deux arcs de grand cercle est égal à Vangle des plans de ces arcs.

572. On appelle polygone sphérique la portion de surface sphérique AB€DE comprise entre plusieurs arcs de grand cercle. Ces arcs ÂB, BG, CD, DE, EA, sont les côtés du polygone; les angles ABC, BGD,..., qu'ils forment, et les sommets B, G, • . • de ces angles sont les angles, et les sommets du polygone [fig. 332).

Fi0.33a.

Un polygone sphérique est dit convexe lorsque chaque côté prolongé laisse tout le polygone dans le même hémisphère.

Chaque côté d'un polygone sphérique convexe est moindre

36o * coHFLÉnirr.

quune demi'circonférence de grand cercle* Car, si le côté AB, . par exemple, était plus grand qu'une demi-circonférence, on pourrait prendre sur AB, entre A et B, un point I tel, que AI

fût égal à une demi-circonférence; dès lors, le grand cercle auquel appartient le côté AE passerait par le ]^oint I (^^69), et le polygone ne serait pas loui entier dans l'un dies deux hémisphères déterminés par ce grand cercle AE.

Un polygone sphérique convexe ne peut être rencontré en plus de deux points par un arc de grand cercle (72}.

573. Le polygone sphérique le plus simple est le triangle êphériques c'est la portion ABC de la surface de la sphère comprise' entre trois arcs de grand cercle AB, BC, GA, qui sont chacun moindres qu'une demi-circonférence. D'après cela, un triangle sphérique est toujours convexe (Jig, 333).

Fiff. 333.

On pourrait admettre des côtés qui surpasseraient la demicirconférence, et appeler encore triangle sphérique la figure formée par des arcs tels que AB, AC, BDG, dont le dernfer est supérieur à une demi-circonférence. Mais d'abord cela serait

incommode, parce que ces nouvelles figures présenteraient

des angles tels que A qui surpasse deux angles droits; et ensuite cela est inutile, car la connaissance des éléments du triangle sphérique proprement dit ABC entraîne celle de tous les éléments de la ligure formée par les arcs AB, AC, BDC.

Un triangle sphérique est isocèle, équilatéral , rectangle, dans les mêmes circonstances qu'un triangle rectiligne (20 J.

574. En joignant les sommets d'un triangle sphérique ABC (fig. 335) au centre 0 de la sphère, on forme un angle trlèdre - OABG, dont les faces AOB, BOG, . . . , ont la même mesure (126 ) que les côtés correspondants AB, BC,. . ., du triangle sphérique, et dont les angles dièdres OA, OB,. . ., ont la même mesure (571) que les angles A; B,.. . . de ce triangle. La même

complcmbnt. 36 1

remarque s'étend à un polygone sphcrique ABCD (^gf. 334) cl à l'angle polyèdre correspondant OABCD.

D'après cela, à chaque propriété des angles trit'dres ou polyèdres répond une propriété analogue des triangles ou polygones sphériques ; et pour énoncer celte propriété, il sunU c!e remplacer respcciivemenl les V[iO\s face angle dièdre par les mois côté ei angle, •

Fig. 334. FIg. 335.

575. Si on prolonge les arêtes de Tangle polyèdre OABCD {Jig. 334) au delà du sommet 0, on forme un angle polyèdre symétrique OA'B'C'D', qui détermine sur la surface de la sphère un polygone A' IV CD'. Les deux polygones AIÎCD, A'B'C'D', dont les sommets sont ainsi diamétralement opposés deux à deux, sont appelés polygones sphériques symétriques. Les considérations développées aux 352 et 534 conduisent aux propriétés suivantes *

1° Deux polygones symétriques ont leurs angles et leurs côtés égaux deux à deux; tp ces polygones ne sont pas en gé^ néral superposahles y attendu que les parties respectivement égales sont disposées dans un ordre inverse: 3** pour qu'un triangie sphérique soit superposable à son ^létrique, il faut et il suffit qu'il ait deux angles égaux, et dans un tel triante les côtés opposés aux angles égaux sont égaux: en d*autre$ termes, ce triangle est isocèle,

57C. Dans tout polygone sphérique^ un côté quelconque est moindre que la somme de tous les autres (353).

577, Dans tout triangle sphérique, à un plus grand angle

est opposé un plus grand côté. Si un triangle sphérique est

isocèle, les angles opposés aux côtés égaux sont égaux, et si un triangle sphérique a deux côtés inégaux, au plus grand côté est opposé le plus grand angle (535).

36a cospiXhbrt.