MF + 11?' = A A
D'apr«3S cela, pour décrire une ellipse d'w/i mouvement continu, on plante sur la feuille de dessin» en F et en F', deux
Fig. 354.
épingles qu'on entoure d'un fil sans fin (c'est-à-dire dont les deux bouts sont réunis) auquel on donne la longueur totale
compléîJent. 3^7
FF' -+- AA'. On lend consiarumenl ce fil à l'aide d'un crayon que l'on fait mouvoir sur le papier jusqu'à ce qu'on soil ramené au point de dépari. La pointe du crayon trace évidemment l'ellipse demandée; car, pour une position quelconque M de cette pointe, on a
FF + MF MF = FF -i- AA' ou MFh-MF = AA'.
Le procédé qu'on vient d'indiquer est surtout applicable sur le terrain : on remplace alors les épingles' par des piquets, le fil par une corde et le crayon par un jalon.
Les points F et F' sont les foyers de Tellipse, les droites MF et MF' sont les rayons vecteurs du point M. La longueur constante AA' est ordinairement représentée par la, la dislance FF' ou distance focale est représentée par ic. L'existence du iriangle MFF' entraîne alors la condition 2c<^2a ou c <^a.
Le rapport ^ est VexceatricUé de l'ellipse. Cette excentricité peut varier de o à i. Pour c = o, elle est. nulle, les foyers se confondent et l'ellipse devient un cercle de rayon a. Pour c = a, rexcentrifiié est égale à i, et l'ellipse se réduit à la portion de droite FF'=: ia. Entre ces deux limites, l'ellipse se rapproche d'autant plus de la droite FF' que son excentricité est plus grànde. '
GOG. On peut aussi tracer l'ellipse par points. En effet, marquons {fi}^- 355) le milieu 0 de la distance focale FF' et, de part et d'autre du point 0, prenons
OA = 0A'=: rt; puis, un point quelconque K sur AA'. Si des points F et F' comme centres, avec des rayons respectivement égaux à AK et A'K, nous décrivons des arcs de cercle, leurs
C0MPLÉ31E^T.
points d'intersection M et M' appartiendront à l'ellipse, puisqu'on aura
MF + MF = M' F -I- M' F' = AK H- A' K = îï a.
La distance des centres FF' étant toujours moindre que la somme 2a des rayons» il suffit, pour l'intersection des deux circonférences, que cette distance soit plus grande que la différence des rayons, c'est-à-dire qu'on ait
FF'>A'K — AK ou 2<?>2a — aAK.
La condition cherchée est donc AK a — e ou AK>> AF.
D'ailleurs on peut échanger les centres F et F' sans modlBer les rayons employés, de manière à obtenir pour chaque point K quatre points M et M', N et N', de l'ellipse. Les limites des positions du point K sont alors l'un des foyers F et le point 0.
Si le point K est en O, les points correspondants de l'ellipse sont en B et en sur la perpendiculaire élevée à la droite FP par son milieu. Si le point K est en F, les deux points correspondants de l'ellipse sont en A et en A'. Le rayon vecteur minimum est AF ou a — c, le rayon vecteur maximum est A'F ou a c.
THÉORÈJME.
607. L'ellipse a r \^ pour axes, la droite kk' qui passe par ses deux foyers, et la droite BB' perpendiculaire au milieu de la première; 2* pour centre, V intersection de ces deux droites*
On appelle axe d'une courbe toute droite par rapport à laquelle les divers points de cette courbe sont symétriques deux à deux ; on appelle centre d'une courbe tout point par rapport auquel les divers points de cette courbe sont symétriques deux k deux (5^5).
i"* Soit M un point de Tellipse {Jig. 356); on aura
MF H- MF' = 2a.
Supposons alors que le plan de la figure fasse une demi-révolution autour "^de AA'. Dans ce mouvement, les foyers restent fixes, le point M vient dans la position symétrique Mi et, comme le triangle MFF' ne se déforme pas, on a
M.f -i-MiF' = 3a,
covplCbdit. ^79
c'est-à-dire que le point M, appai lient à l'eîlîpse. Donc, à tout point M de l'ellipse correspond un point M,, symétrique de M par rapport à AA'.
Si le plan de lu lifxure fait de même une demi-révolution autour de BB', les foyers ne font que s'échanger, le point M vient dans la position symétrique Ms et, comme le triangle MF F' ne se déforme pas» on a encore
ce qui montre qu'à tout point M de l'ellipse correspond un autre point M> de la courbe, ^métrique de M par rapport
Fig.356. ng.357. •
2* Soient [fig. 357) M un point de l'ellipse et M' son symétrique par rapport à 0; menons les rayons vecteurs de ces points. Les diagonales MM' et FF' se coupant niuluellement en parties égales, le quadrilatère MFM'F' est un parallélogramme (8V, 4"), et le point M' appartient à l'ellipse en vertu de l'égalité des deux contours FMF' et FM' F'.
CoHOLLAimES.
608. On appelle longueurs des axes de l'ellipse les longueurs AA' et BB' interceptées sur res axes par la courbe [Jig^ 355). La longueur du premier axe AA' est donc (606) égale à 2a» la longueur du second BB' est représentée par ih.
La perpendiculaire BO (Jig, 355) étant moindre que l'oblique BF =: a, on a
AA' est dit alors le grand axe et BB' le petit axe de l'ellipse.
Les extrémités A et A', B et B', des deux axes sont appelées les sommets de la courbe.
Le triangle rectangle BOF [Jig, 355) donne a'= 6^-+- c', re-
38o COMPLtlCBNT.
latîon qui permet de déterminer l'une des trois quantités a,
by c, lorsqu'on connaît les deux autres.
Quand on donne les longueurs a et 6, il est facile de déterminer (^raphiquemcnl les foyers. On n'a qu'à décrire de l'ex- Irémilé B du petit axe comme centre [Jig- 355 j, avec un rayon égal à tty un arc de cercle qui coupe le grand axe aux deux foyers F et F'.
THÉORÈME
609. Suivant qu'un point est intérieur ou extérieur à l'ellipse, la somme de ses distances aux deux fojrers est plus pe^ tite ou plus grande que sa.
; if)
Soit d*abord {Jig. 358) un point N intérieur k l'ellipse. Joignons ce point aux deux foyers, prolongeons F'N jusqu'à la rencontre de la courbe en M, et menons MF. Un théorème connu (90) donne immédiatement
NFH-NF'<MF-hMF ou NF-f-NF'<2a.
Soit de même un point N' extérieur à l'ellipse. Joignons ce point aux deux foyers; N'F' coupant la courbe au point M, menons MF. En s'appuyant sur le même théorème, on aura ici
N'F-f-N'F>MF-i-MF' ou N'F -h N'F' > 2a.
Corollaire.
610. Suivant que la somme des distances d'un point aux deux foyers est supérieure, égale ou inférieure àia,ce point, est hors de la courbe, sur la courbe ou dans son intérieur,
THÉORÈBIE.
61 1 . La tanfçente à V ellipse fait des angles égaux avec les raj ons vecteurs du point de contact, extérieurement à leur angle.
OOHPLtmSNT. 38 1
Prenons sur l'ellipse {fig. 3^9) deux points voisins M et M'; menons la sécante MM'S elles rayons vecteurs des deux points M et M'. Portons sur F' M une longueur F'D =: F' M' et sur FM une lonf:^ueur FC^^FM'. MD représente alors raugmeniaiion que subit le rayon vecteur mené du foyer F' quand on passe du point M au point M', MC la diminution que subit le rayon vecteur mené du fo^er F quand on passe du même point M au même point M';. comme la somme des rayons vecteurs d'an point de l'ellipse reste constante, MD est égal à MC.
Gela posé, d'un point quelconque G de la sécante MM'S, menons aux droites M'D et M'C des parallèles GI et GH jusqu'à la rencontre des rayons vecteurs du point M. Le quadrilatère GHMI étant semblable au quadrilatère M'CMD (185), régalité de MD et de MC entratne celle de MI et de MH.
Les droites GH et GI, étant parallèles aux bases M' G et M'D des triangles Isocèles CFM^ DF'M', sont perpendiculaires aux bissectrices de leurs angles au sommet. Mais à mesure que le point mobile M' se rapproche du puini fixe M, la sécante MM'S se rapproche de la tangente au point M. Les bissectrices des angles CFM', DF'M', ayant alors pour limites les rayons vecteurs FM, F'M, du point M, les droites GII et Gl ont ellesmêmes pour limites les perpendiculaires abaissées du point G sur ces rayons vecteurs. D'ailleurs, pendant ce mouvement, 'MH varie en restant toujours égal à Ml.
Fg. 359. Fig. 36o.
La tangente MT au point M ( Jig, 36o) doit donc être telle,
que si, d'un point quelconque G de cette droite, on abaisse des perpendiculaires GH et GI sur les rayons vecteurs MF et MF' du point M, on ait MH^^ MI. Les triangles rectangles MGU, MGI, sont alors égaux (49). et ii en est de même des
Diyitizea
38a coHPLtaBifT.
angles GMH, 010. La tangente à l'ellipse est donc bissectrice de l'angle formé par l'un des nvjrons vecteurs du point de contact et le prolongement de l'autre rayon*
L'angle F'HTt étant Topposé par le sommet de l'angle GMI, les deux angles 6MH ou FUT et F'HTi sont égaux, ce qui vérifie le premier énoncé du tliéorème.
COKOLLAIRSS.
613. Tous les points de la tangente MT, sauf le point M» sont extérieurs à l'ellipse , qui est par suite une courbe convexe.
Abaissons du foyer F [fig* 36i), sur la tangente MT au point M, une perpendiculaire FK qui vient rencontrer en cp le prolongement de F' M. La tangente étant bissectrice de l'angle FMcp, l'égalité des triangles rectangles FMK, ^MK (33, i**), donne FK=f c'est-^i-dire que le point 9 est le symétrique du foyer F par rapport à la tangente MT. L'égalité des mêmes triangles donne MF = M9 et, par suite,
F'<p = MF-hMF' = 2fl.
Cela posé» la tangente étant perpendiculaire sur le milieu
Fig. 36i. .
de Fcp, un point quelconque T, de cette droite est équldistant de F et de ^ . On a donc, d'après le triangle F'Ti9,
T,F-*-T,F' = T,q)-|-T,F' ou T,F4-T,F'>F'<p = aa.
COMrLÉHENT. 3fô
Tous les points de la tangente IffC» sauf le point M» sont donc extérieurs à l'ellipse (610).
La tangente a nécessairement (107) avec la courbe au moins un point commun de moins que les droites qui en ont le plus. Il résulte de là qu'une droite ne peut rencontrer l'ellipse en plus de deux points.
613. Si l'on mène au point M (fig* 36o) une perpendiculaire MN à la tangente MT, ^es deux angles FMN, F'MN, sont égaux comme compléments d'angles égaux. Donc« la normale à Vellipse est bissectrice de l'angle formé par les reejrons vee^ teurs du point de contact*
La normale en un sommet de l'ellipse se confond avec l'axe correspondant et la tangente est perpendiculaire à cet axe» de sorte que la courbe est inscrite dans le rectangle construit sur ses axes.
Les propriétés précédentes justifient la dénomination de foyer. L'angle d'incidence et l'angle de réflexion étant égaux d'après une loi physique, les rayons lumineux, sonores ou calorifiques, qui parlent de l'un des foyers F d'une ellipse, viennent, après leur réflexion sur la courbe, converger à l'autre
THÉORÈME
61i. Le lieu des points spnétriques 9 de l'un des foyers F de l'ellipse, par rapport aux tangentes, est un cercle décrit de l'autre foyer F* comme centre, avec la longueur aa du grand axe pour rayon {fig, 36 1).
Le premier alinéa du n" 612 renferme la démonstration de ce théorème. ^
On donne au cercle F' 9 le nom de cercle directeur relatif : au foyer F'. L'ellipse a deux cercles directeurs correspondant j à ses deux foyers.
SCOUB.
615. Le lieu des points éfjuidistants d'un cercle de centre F' et d'un point intérieur F est une ellipse dont les points F et F' sont les foyers et qui a pour cercle directeur relatif au foyer F' le cercle donné {fig, 36i).
En effet, soit H un point da lieu. En le joignant aux deux
points F et F' et en prolongeant F' M jusqu'à sa rencontre f avec la circonférence donnée» on a par hypothèse
M9 = MF, d'où MF*H-MF' = F'(p.
Pour construire le lieu, il suflit é\ ideinriient de joindre le • point F à un point quelconque cp de la circonférence donnée, et d'élever une perpendiculaire TTt sur le milieu K de. la droite Fq; cette perpendiculaire coupe le rayon F'o en un point M du lieu, eielle est la tangente en ce point (611). ' Il résulte de là que : Si d'un point F prU à l'intérieur d'un cercle F 9, on mène des droites aux divers points de sa circoi^ férencCf les perpendiculaires élevées à ces droites par leurs milieux touchent ou enveloppent une ellipse, qui a pour foyers Its points F et ¥' et pour grand axe le rayon F' 9.
THÉORÈME
616. Le lien des projections des foyers d'une ellipse sur ses
tangentes est la circonférence de cercle décrite sur le grand axe comme diamètre.
