Les tangentes PM^ PM', menées d*un point extérieur P

à une parabole y font des anp^les égaux avec la droite qui joint ce point au foyer et avec la parallèle menée à l axe par ce point; la droite qui va du foyer au point P est bissectrice de l'angle formé par les rayons vecteurs, des points de contact M et M'.

Cette propriété est une conséquence immédiate des n«* 619 et 652.

PROBLÈUE.

()G7. Mener à la parabole une tangente parallèle à une droite donnée.

Tout revient encore à trouver le point 9 symétrique du foyer F par rapport à la tangente cherchée. Or, ce point se trouvera à l'intersection de la direcirice et de la perpendiculaire abaissée du foyer F sur la droite donnée. Il y a toujours une solution, et une seule.

Les constructions des n*** 664 et 667 n'exigent pas que la courbe soit tracée; il suffit d'en connaître le foyer et la directrice.

L'ellipse, l'hyperbole et la parabole, sont les courbes qu'on

peutobu nir en coupant par un plan un cône à base circulaire. Aussi leur atlribue-t-on la dénomination commune de sections coniques [voir noire Traité de Géométrie),

COMPLÉUENT.

§ Xlil.

Programme officiel : Déjinilion de Vht'lice considérée comme résultant de V enroulement du plan d'un triangle rectangle sur un cylindre droit à base circulaire. — Pns de i' hélice. — La tangente à V hélice fait avec raréte du cylindre un angle constant, — Construire la projection de l'hélice et de la tangente sur un plan perpendiculaire à la base du cylindre,

DÉFINITION ET TRACfi DE LA COURBE.

G08. Considérons un cylindre circulaire droit indéfini avant pour génératrice la droite GG' {Jîf^. 389). Si l'on enroule l'angle , indéfini BA« sur la surface cylindrique, de manière que le côlé Xa s'applique exactement sur la section droiie qui passe par le point À, la courbe que le côté AB trace ei^ s'appliquant sur la surface est une hélice,

Fig. 389.

Dans le niouvcmenl indiqué, les perpendic ulaires abaissées des différents points de A13 sur A a coïncident avec les différentes fîénératrices du cylindre. Si la longueur Aa est égale à celle de la circonférence de la section droite du cylindre, le point a venant rejoindre le point A, le point B vient se placer en B| sur la génératrice GG^ i une distance AB| du point A égale à Ba. On peut alors répéter pour le point B ce qu'on vient de dire pour le point A. Si la parallèle B^ à Aa lui est égale, le point G de la droite AB, qui se projette en |3 sur B^, viendra se placer en un point Ci de la génératrice OG', tel que l'on ail B, C, = C [î ^ AB„ etc.

Les portions égales de l'hélice qui correspondent ainsi aux divisions égales de la droite indéfinie AD, dont les projections sur le plan de la section droite du cylindre ont des longueurs égales à celle de la circonférence de cette section droite, s'ap* pellent spires, ,

Les longueurs égales ÀB„ B,Ci, etc., interceptées par deux spires successives sur une génératrice quelconque du cylindre, représcuienl le pas de l'hélice, (^iiangor, on edcl, la génératrice sur laquelle on mesure le pas, c'est prendre un nuire point de la surface; ryliudi i(|ue pour origine de l'hélice, sans rien changer aux conditions précédentes.

669. En remarquant que l'hélice se reproduit par spires identiques qui commencent et se terminent d'une manière continue sur une même génératrice, on peut concevoir autrement la génération de l'hélice.

Faisons glisser le triangle lU]^ sur BB, et amenons-le en B.C.li; amenons de même le triangle CDy en (',T).C,, etc. Si l'on enroule ces triangles sur la surlarc C}lindri(jue, les droites parallèles AB, B,C,, (-.Dj, etc., engendreront séparément les différentes spires de l'hélice.

En supposant donc le cylindre développé (i32) suivant le rectangle indéfini GG'G.G', {Jig. 389), en divisant à partir du point A la génératrice GG' en parties égales à Ba, en menant par les points B|, Ci, D,, . . . , ainsi obtenus, des parallèles à AB jusqu'à la rencontre de GiG'i, et en enroulant la figure formée sur le cjflindre, les droites distinctes AB, B.Cs, dD,,..., reproduiront l'hélice continue tracée par l'enroulement de la droite indéfinie ABCB

670. Si l'on considère un point quelconque M de la première spire de l'hélice {Jig. 389) et si Ton conçoit la génératrice MP qui passe par ce point et qui rencontre en P la section droite du cylindre menée par l'origine A de l'hélice, la longueur MP est Vordonnée y du point M et l'arc AP est son abscisse curviligne

Lorsque le point M appartient à une spire quelconque, son abscisse curviligne surpasse la circonférence AA'. Soit, par exemple [Jig. 389), le point \l situé sur la troisième spire et sur la même génératrice que le point M; il correspond au

point fti de la droite ABCD..., tel que Cr, — AP, = arc AP. Sod abscisse curviligne est donc égale à deux fois la circonférence de la section droite plus Tare ÂP, et son ordonnée à deux fois le pas Bot plus MP.

THÉORÈME

G71. L'ordonnée d'un point de l'hélice est proportionnelle à son abscisse curviligne {^/ig, Sbg).

Prenons un point quelconque p. sur l'hélice et menons son ordonnée fiP. Quand on déroulera le cylindre, le point viendra en fit sur la droite ABCD. . . ; les ordonnées pi P» et /xP

seront égales, ainsi que Tabscisse rectiligne APs et l'abscisse

ij. P

curviligne AA'QAA'QAP. Le rapport ^Tôr^taiit conslam-

ment égal au rapport = (en désignant par r le rayon du cylindre et par h le pas de l'hélice), il en est de même du rapport-'

RtciFROQuniBifT, si l'ordonnée d^une courbe tracée sur la surface d*un cylindre de révolution est proportionnelle à son

abscisse curvilignCf cette courbe est une hélice,

Soil en effet [fig' 390) la courbe AiMli,; lorsqu'on développe la surface du cyliiidre sur le plan langent suivant la génératrice AB, ), la circoniérence de la section droite en A

s'applique sur la droite Aa menée perpendiculairement à AB, dans ce plan, et les arcs AP et AP' sont rectifiés en AP, et AP^f Deux points quelconques M et M' de la courbe AMBi viennent se placer sur les perpendiculaires élevées à Aa par Pi et F,, en deux positions Mi et M', telles, que

M.P. = MP, m;p', = m'P'.

4l6 COMPLÉMENT.

MP M'P' Mais on a, par hypothèse, ~ ^Âp^' ^^^^