MP*=TP.PN

d'où, en désignant par x l'abscisse AP et par ;r l'ordonnée MP

du point M, et ayant égard au lliéorème précédent,

ou

COKPLfiKBNT.

PROBLÈME

664>. Mener une tangente à la parabole par un point donné,

i" Si le point donné M est sur la courbe [fig. 387 ), on mène le rayon vecteur MF et la perpendiculaire M 9 sur la directrice, puis la bissectrice de l'angle FM(p qui est la tangente demandée (654).

Il vaut mieux prendre sur l'axe, du coté du sommet, une longueur FT égale à MF; en joignant le point T ainsi obtenu au point donné M, on a (GG'2, 1°) la tangente deniantlée.

2" Si le point donné V est extérieur à la parabole, on remarque que la question serait résolue si l'on connaissait le symétrique 9 du foyer F par rapport à la tangente cherchée; car on aurait alors cette tangente en abaissant du point P une perpendiculaire PMT sur ¥<f(fig. 388). La droite PMT couperait d'ailleurs la parallèle menée à Taxe par le point 9» au point de contact M. Or, le point 9 se trouve à la fois sur la directrice DD' (658) et sur le cercle décrit du point P comme centre avec PF pour rayon.

Ce cercle el la directrice se coupent toujours, quand le point P est extérieur à la courbe; car il est alors plus près de la directrice que du foyer (651) : il y a donc deux solutions, qui se réduisent à une seule quand le point P est sur la parabole, ou disparaissent lorsqu'il ^st intérieur à la courbe.

COROLI AIRES.

665. Cherchons la condilion pour que les deux tangentes menées du point P à la parabole soient à angle droit.

Fig. 388.

Ces tangentes étant supposées à angle droit, comme elles sont respectivement perpendiculaires aux milieux des droites

F(p et F 9', Tangle <pF(p' est aussi droit. Par suite, 99' est un

diamclre do la circonférence PF, et le point P est sur la directrice. Le lieu des sommets des angles droits circoiisciiis à la parabole est donc la directrice.

Dans ce cas, l'angle PFM est droit ainsi que l'angle PFM' (655) : la corde des contacts MM' passe donc alors par le foyer et est perpendiculaire à PF.