AA' AP AA'AP

Prolongeons la corde MM' jusqu'au point T où elle rencontre

le proloni;enient de la corde PP' de la circonférence de base. Les deux triangles semblables MTP, M'ÏP', donnent

MP M'P' TP TF *

Par suite, en vertu de l'équation (i),

TP TF , . TP'— TP TF

ÂÂTSp- ÂTÂF' cest-à-dire

On peut écrire cette dernière égalité sous la forme

TF corde PP^ AA'AP'"" arcPF

Lorsque le point M' se rapproche indéfininient du point fixe M, le point F se rapproche indéfinimeni du point P. La sécante M'MT devient la lan^'enie MO -a l'hélice au point M, et la sécante P'PÏ devient la tangente en P au cercle de base. La

corde PP'

limite du rapport étant l'unité» on a finalement

arc MTjt

CoaOLLÀlEBS.

673. Le triangle MP0 restant toujours semblable à lui-même, la tangente à l'hélice fait un angle constant, aussi bien avec les génératrices du cylindre qu'avec le plan d'une section droite. Ces deux angles sont complémentaires.

Pour construire la tangente en un point M de l'bélice, il suffît, d'après le théorème précédent, de prendre sur la tangente à la base, à partir du point P, pied de l'ordonnée du point M, une longueur Pd égale à Parc AP rectifié, et de joindre le point $ au point M.

SCOLIE. ^

674>. Tout ce qui précède s'applique sans modifications aux cylindres droits à bases quelconques* Il fitut seulement s'a|H puyer sur ce théorème : La limite d'un arc de courbe iquel» conque à sa corde est Vunité, lorsque l'arc tend vers zéro»

PROBLÈME

675. Construire la projection de V hélice et de la tangente sur un plan perpendiculaire à la base du cylindre» ' {

Soient ac6</ la section droite du cylindre, et une droite

GOMPLfiMBNT.

tracée dans son plan parallèlement au diamètre ab qui passe par le point de départ a de l'hélice. Concevons par 47* un plan parallèle à l'axe du cylindre; c'est sur ce plan qu'il s'agit de projeter une spire de l'hélice.

Donnons au cylindre une hauteur égale au pas a^à' de l*h^-^

Flg. 393.

lice; la projection du cylindre sera alors le rectangle a! a!'h"b' .

Divisons l'arête dd* et la circonférence de base achd en un

même nombre de parties égales; sur la^^. 392, le nombre de

ces' parties a été pris égal à la. m étant l'un quelconque deà

points de division de la base, l'arête qui a son pied en m ren-^

contre Fhéllee en un point dont la hauteur au-dessus du plan

achd est au pas cStf de l'hélice comme l'arc acm est à la circon-

férence achd (671); ici l'arc acm étant les — de la circonfé-

rence» la hauteur du point considéré est les — de «a'. On obtiendra donc la projection m' de ce point en menant par le

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OOMfLfiMSNT. ' 4^9

point rt, cinquième division ûea'a", une parallèle à x^- jusqu'à la renconlre de la perpendiculaire à xj' menée par m. En opérant de même pour tous les points de division de la base, on obtiendra une série de points tels que m', qu'il suffira de joindre par un irait continu pour avoir la projection de l'hélice.

Pour avoir la projection 'de la tangente au point considéré, '

on prendra, sur la tangente mt au cercle de base, une longueur

mt égale à l'arc acm, c'est-à-dire ici aux — de la circonfé-

rence acbd; t sera la trace de la tangente sur le plan de la base (672). Ce point se projette au point que Ton obtient en Abaissant la perpendiculaire if sur xjr. Par suite, la droite i*m' est la projection de la tangente.

On reconnaît facilement d'après cela que la courbe obtenue touche l'arête af a" en a' et a" y l'arête b' b" en son milieu, et qu'elle est symétrique par rapport à la parallèle à menée par le milieu de b'b". Celte courbe est connue sous le nom de sinusoïde.

f^lJSSVlOA^S PROPOSÉES

sua LE COMPLÉMENT.

1. Deux systèmes homothétiques à un troisième sont homothétiques

entre eux, et les trois centres d'homolhétie correspondants sont sur une môme droite appelée nxe d'homotkétie, ,— Application au cas de itfàA

circonférences ou de trois sphères. »

2. Partager un quadrilatère quelconque en deux parties qui soient dans le rapport de deux droites donnéeSi par une parallèle ou une perpendiculaire à l'un de ses côtés.