Inscrire dans un carré un rectangle d'aire donnée

1. Troinrer sur l'hypoténufle d'un triangle rectangle un point tel, que le carré construit sur la perpendiculaire abaissée de ce point sur Tun^des côtés de l'angle droit, soit équivalent au rectangle qui a pourdimenskMis les deux segments correspondants de l'hypoténuse.

8. Construire un triangle isocèle équivalent à un triangle donné. 6. Insorire dans un cerdè donné un triangle isocèle dtmt la somme de la base et de la hauteur soft égale à une droite donnée.

(430 COMPLÉMBNT.

^. La droite AB étanl divisée au point C en moyenne ei eitréme raison, démontrer que le rapport des segments AG et CB est incommensurable.

8, On partage une droite donnée en moyenne et eitréme raison ; pu^ le plus grand segment trouvé en moyenne et extrême raison, et ainsi de suite indéfiniment. Vers quelle limite tend la somme des plus grands mente ainsi obtenus?

9» ÂB est divisée au point C en moyenne et extrême raison; sur le ' plus grand segment CA prolongé, on prend AD = CA, et sur GA on prend AE = BC; démontrer que les droites BD et BE sont aussi divisées en moyenne et extrême raison aux points A et C.

10. Démontrer que la différence entre un arc moindre qu'une demicirconférence et sa corde, est plus petite que le cube de Tare divisé par seize fois le carré du rayon.

11. La somme des angles fornaés par les arêtes d'un angle trièdre avec les faces opposées, est comprise entre la somme dos faces et la moitié de cette somme.

12. Si, par un point pris dans l'intérieur d'un ani^'le polyèdre, on abaisse des perpendiculaires sur toutes ses faces, le nouvel angle polyèdre ainsi formé est supplémentaire du premier. ( ^oir les xf*" 537, 538.)

13. Dans tout angle polyèdre convexe de n faces, la somme des angles dièdres est comprise entre m ai in — ^ angles droits.

14. Démontrer (jue le volume d'un tronc île parallélipipède quelconque a pour mesure le produit de sa section droite par la moyenne arithmétique des quatre arêtes latérales.

15. On donne Tarète A d'un prisme triangulaire quelconque ; sur l'une

des arêtes, on prend à partir do la base une longueur x \ sur la seconde arête, on prend de même une longueur et sur la troisième une longueur h. Par les trois points ainsi déterminés, on fait passer un plan qui divise le prisme en deux parties; pour quelle valeur de x ces parties seront-elles équivalentes? .

16. Dans une sphère de rayon donné, mener un plan sécant AlB tel, que le rapport du segment à une base qu'il détermine, au secteur sphérique ayant pour base la même calotte sphérique, soit égal à m\ discussion.

17. Étant donné sur une sphère de rayon R un cercle de rayon r, mener un second cercle parallèle au premier tel, que le rapport du segment compris entre ces deux cercles au cône qui a pour base le second cercle, et qui a pour sommet le centre du premier, soit égal à /»; discussion.

18. D'un point B extérieur à une circonférence 0, on lui mène deux tangentes BA, BÇ, et l'on projette le. pdint de contact C sur ie rayon OA

COMPLÉMENT. ^'il

en D; démontrer que, si Ton fait tourner la figure autour de l'axe AOD, le volume engendré par le triangle mixtiligne ABC est équivalent au cône engendré par le triangle rectangle BAD, et le segment sphériquo engendré par le triangle mixtiligne DÂC équivalent au volume engendré par le triangle BCD.

19. Connaissant les latitudes et les longitudes de deux lieux de la surface terrestre supposée parfaitement sphérique, trouver, à l'aide d'opérations exécutées sur un globe, la distance de ces deux lieux en degrés.

20. Construire un triangle sphérique, connaissant : 1" Un angle, un côté adjacent et la somme ou la diûérence deâ deuX'

autres côtés;

2** Un côté, un angle adjacent et la somme ou la dilléreuce des deux autres angles;

3** Deux côtés et la hauteur correspondante à Tun d'eux; 4" Un angle, un côté et la hauteur qui lui correspond; * 5^ Son aire, un angle et Vun des côtés adjacents.

. 21, Dans un losange sphérique, les diagonales se cou[)ent à angle droit.

22. Transformer un polygone sphérique en un triangle. spliénque équivalent.

23. Deux triangles sphériques sont équivaleni.s lorsque leurs triangles polaires ont même périiuèlre, et réciproquement.

21. Le lieu géométrique des sommets C des triangles sphériques de même base AB et de même aire, est un arc de pelit cercle passant par les points £ et D, diamétralement opposés aux extrémités A.el B de la base. ' ,

23. Quelle est la plus courte et la plus grande dislance du. centre .de l'ellipse à un point de la courbe?

26. Quel est le lieu du centre d'une ellipse qui glisse entre deux axés t

rectangulaires?

. 27. Quel est le lieu des points également distants de deux circonférences intérieures ou extérieures l'une à l'autre?

28. Quel est le lieu des centres dés. cercles tangents à deux cercles x donnés? — On examinera les différents, cas possibles.

29. Sur les deux tangentes PM, PM', à une ellipse* ou à une hyperbole dont les foyers sont F et F', on prend des longueurs PQ, PQ', respect!- — TSment égales à PF et à FF' ; démontrer que la droite QQ' est égale au grand axe de l'ellipse ou à l'axe transverse de l'hyperbole.

30. Le grand axe de l'ellipse, ou l'axe transrerse de Thypeirbole et une

tangente quelconque interceptent, sur les deux tangentes menées aux extrémités de Taxe de la courbe, des longueurs dont le produit est cônstânt.

31. Des cercles touchent une droite ÂB en un point fixe G, et des points

GOVPLAmrr.

fixes A et B on mène des tangentes à ces cercles; trouver le lieu des points d'intersection de ces tangentes.— Le point C peut être entre A el B ou sur AB prolongée.

32. Soient les deux tangentes menées à Tellipse ou à l'hyperbole par un point extérieur et une troisième tangente quelconque ; démontrer que la longueur interceptée sur cette troisième tangente par les deux premières, est vue de chaque foyer sous un angle constant.

33. Quels sont les lieux géométriques : i" des sommets; 2" des points de rencontre des côtés non parallèles; 3° des points d'intersection des diagonales, des trapèzes construits sur une base fixe, et dans 1ps(jup1s la longueur de l'autre base est donnée ainsi que la somme ou la différence des côtés non parallèles?

34. Construire une ellipse ou une hyperbole, connaissant : i** ses foyers et un point; 1° ses foyers et une tangente; 3° un foyer, deux points et une tangente; 4° un foyer, un sommet et ime tangente; un foyer, deux tangentes et le point de contact de l'une d'elles; 6** un foyer et trois tangentes ; 7° le centre, deux tangentes et la longueur du grand axe ou de Taxe iransverse.

35. Trouver les points de rencontre d'une droite avec une ellipse ou une hyperbole dont on connaît seulement les foyers et la longueur du grand axe ou de l'axe transverse. — Même problème pour la parabole, connaissant son foyer et sa directrice.

36. Si deux cordes de la parabole ae coupent, les produits de leurs segments sont dans le rapport des rayons vecteurs des extrémités des diamètres qui leur sont conjugués.

37. La tangente en un point de la parabole rencontre la direotrioe et la corde menée par le foyer perpendiculairement à Taxe, en des points équidistants du ibyer.

38. Si d'un point pris sur une tangente à la parabole on mène une autre tangente à la courbe, l'angle compris entre cette tangente et la droite menée du même point au foyer est constant.

39. Si le diamètre de la parabole mené par le point M rencontre la directrice en K et la corde menée par le foyer parallèlement à la tangente MT en H, on a

IfK = Vil.

iO. Quel est le lieu du point d'intersection du diamètre mené en un point de la parabole, avec la corde tracée par le foyer parallèlement à la tangente au même point?

41. AB et AC étant deux droites rectangulaires, on mène la droite quelconque AR et la parallèle fixe GR à AB; puis on prend sur AJl un

point M tel, que son ordonnée MQ par rapport à AB soit ég^le à CR ; quel est le lieu du point M?

42. On considère dans un cercle un diamètre fixe AOB et un rayon quelconque OC ; D étant le milieu de la corde CE menée parallèlement au diamètre fixe, on demande le lieu du point d'intersection des droites OC et AD.

43. Le cercle déterminé par les points d'intersection de trois, tang^tas à la parabole, passe par le foyer.

44. Du sommet S, on mène deux droites rectangulaires qui viennent rencontrer la parabole aux points M et M'; le paramètre a/> est la moyenne proportionnelle des abscisses des points M et M'.

45. Quel est le lieu du centre du cercle inscrit dans le secteur circulaire AOB, dont l'un des rayons OÂ est fixe et dont l'autre OB est

mobile?

. 46. Sur une corde de la parabole comme diamètre, on décrit un cercle qui coupe la parabole en deux autres points; si Ton joint ces points, les deux cordes considérées interceptent sur l'axe de la courbe une longueur

égale au paramètre ip.

JUl, Si l'on tire par le sommet de la parabole dea cordas à angle droit Tune sur l'autre et qu'on construise -sur ces cordes un rectangle, «piel est le. lieu de son quatrième sommet?

48. Quel est le lieu des points également distants d'une droite et d'une circonférence données?

49. Quel est le lieu des points dont la somme ou la différence des dis> lances à un point fixe et à une droite fixe est constante?

SSO. Construire une parabole, connaissant : i* le foyer ou la directrice et deux points; a* le foyOr ou la directrice, un point et une tang»te; 3" le foyer ou la directrice, une tangente et son point de contsct; 4* lo foyer ou la directrice et deux tangentes; 5* trois tangentes, parmi les« quelles la tangente au sommet; 6* quatre tangentes.

M. Si une parabole roule sur une autre parabole égale, les sommets étant d'abord confondus, le foyer de chsque courbe trace la directrice de Tautre.

52. Si les tangentes PM, PM', à la parabole sont coupées en Q et en Q' par une troisième tangente, on a

PQ q;m;

QM PQ' '

53. Deux paraboles égales qui ont même foyer et leurs axes dirigés en sens contraires, se coupent à angle droit.

54. 0ee extrémités d'une corde focale de la pambole on abaisse des

4^4 OOMPLÉMINT.

perpendiculaires sur une droite quelconque de son plan ; la somme des rupiK)rts de chaque ordonnée au rayon vecteur correspondant est constante.

55. Les carrés des perpendiculaires abaissées du foyer de la parabole sur deux tangentes, sont proportionnels aux rayons vecteurs des points de contact.

56. Si par le point de contact d'une tangente à la parabole on tire uno corde, puis qu'on trace une autre droite parallèle à l'axe, la portion de cette droite comprise entre la tangente et la corde sera divisée par son point de rencontre avec la courbe dans le même rapport que cette droite elle-même divise ta corde.

■57. Par deux points d'une surface cylindrique, on peut faire passer

une infinité d'hélices.

58. Deux hélices tracées sur un cylindre de révolution se coôpent orthogonalement; on donne le rayon du cylindre et le pas de l'une des hé<

lices, trouver le pas de Tautre.

59. Des extrémités  et Â' d'un diamètre de la section droite d'un cylindre de révolution, partent deux hélices orthogonales dont le pr«siier point d'intersection est en M; trouver, en fonction du pas h de la première hélice et du rayon R du cylindre, l'aire mixliligne -\MA'. — Quel doit être le pas // pour que l'aire AMA' soit maximum? Le rayon du cylindre étant un décimètre, évaluer à un millimètre carré près cette aire maximum.