Dam un même cercle ou dans des cercles égaux

i* Deux arcs égaux sont sous-tendus par des cordes égales; a* De deux ares inégaux, le plus grand est sous^iendu par la plus grande corde (Jig. 65 ).

Fig.e5.

Soient O et I deux cercles égaux :

f Si Tare AMB est égal à l'arc CND, les cordes AB et CD seront égales. En effet, portons le cercle I sur le cercle 0 de manière que le rayon IC coïncide avec son égal OA, 1 étant en 0 et G en A. Les circonférences coTncideront, l'arc CND tombera sur son égal AMB, et le point D' viendra en B. La corde CD s'appliquera donc sur la corde AB, et, par suite, lui sera égale.

2* Si l'arc AMH est plus grand que l'arc CND, la corde AH sera plus grande que la corde CD, £n effet, prenons à partir

52 GÉOMÉTRII PLàNB.

du point A, sur l'arc AMIÏ, un arc AMB égal à l'arc CND; les cordes AB, CD seront égales (i"), et il restera à démontrer que la corde AB est moindre que la corde AH. Or, l'arc A]\IB étant moindre que l'arc AMH, le point B lombe entre les points A et H, et l'angle AOBest inférieur à l'angle AOH. Par suite, les deux triangles AOB, AOH, ont un angle inégal compris entre deux côtés égaux chacun à chacun, savoir OA commun et OBr=OH comme rayons d'un même cercle. Donc (32), le côté AB opposé à l'angle AOB est moindre que le côté AU op-. posé k l'angle AOH.

96. Du ihéorème qu'on vient de démontrer et du principe général du n° 39 il suit que :

RtciPROQUBinirT, dans un même cercle ou dans de» cercles égaux, à des cordes égales répondent des ares égaux, et à une plus grande corde répond un plus grand arc.

SCOLIS.

97. Nous n'avons considéré dans ce qui précède que des arcs moindres qu'une demi-circonférence (9i). Si Yen considérai! des arcs plus grands qu'une demi-circonférence, pour la seconde partie du théorème les conclusions seraient inverses :' Tare augmentant, la corde diminuerait au lieu de croître.

THÉORÈME

98* Le diamètre AB, perpendiculaire sur une corde CD

divise cette corde et les deux arcs CBD, CAD, quelle sous-tend, chacun en deux parties égales {Jig. (ki).

En effet, soient 0 le centre de la circonférence cl I le point de rencontre du diamètre AB et de la corde CD. Les raj^ous OC,

uni II. — LA. OnCOHFfelBHGl DB CBECUE. 53

OD, étuitr pAi^ rapport à la perpendiculaire 01, deax obliques égales, s'écartent égalQinent du pied de cette perpendiculaire. On a do4i €1 = H). En d'autres termes, la corde CD est divisée au point i en deux parties égales. Dès lors, AB étant perpendiculaire sur le milieu de CD, tout point de AB, et en parti-* culier le point B, est équidislant des points C et D. Les cordes BC et BD sont donc égales et, par suite, les arcs BC et BD sont aussi égaux. En d'autres termes, rare CBD est divisé au point B en deux parties égales. On démontrerait de même que l'arc CAD est aussi divisé en deux parties -égales au point A.

CoBOtLAIBlS.

99. La droite AB satisfait d'après cela aux cinq conditions suivantes : elle passe par le centre 0, par le milieu I de la corde CD, et par les milieux A et B de chacun des arcs que cette corde sous-tend ; elle est enfin perpendiculaire sur la corde CD. Or, deux de ces cinq conditions suffisent pour déterminer la droite AB; car on sait que, par deux points, on ne peut mener qu'une droite, et que par un point on ne peut mener qu'une perpendiculaire sur une droite. Donc, toute ligne droite assujettie à deux des cinq conditions énoncées remplira néces^ sairement les trois autres. De là, une série de propositions que le lecteur énoncera sans difQculté, et parmi lesquelles nous ne citerons que les suivantes : La perpendiculaire élevée sur le milieu d'une corde passe par le centre et par le, milieu de chacun des arcs que cette corde sous-tend.

Le lieu géométrique des milieux d'un s^tème de cordes parallèles est le diamètre perpendiculaire à la direction com^ munede ces cordes,

THÉORÈME